1、考研数学一-438 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若函数 f(x)在点 x 0 处的左导数 f“ - (x 0 )和右导数 f“ + (x 0 )都存在，则_ A函数 f(x)在点 x 0 处必可导 B函数 f(x)在点 x 0 处不一定可导，但必连续 C函数 f(x)在点 x 0 处不一定连续，但极限 必存在 D极限 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设平面 平行于两直线 （分数：4.00）A.4x+2y-z=0B.4x-2y+z+3=0C.16x+8y-16z+11=0D.16x-8y十 8z-1=03.的渐近线的条
2、数为_ （分数：4.00）A.2B.3C.4D.54.设 D为 xOy平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D上连续，在 D内可偏导，且满足 + （分数：4.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值5. （分数：4.00）A.B.C.D.6.对三阶矩阵 A的伴随矩阵 A * 先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设连续型随机变量 X的分布函数 F(x)严格递增，YU(0，1)，则 Z=F -1 (Y)的分布函数_（
3、分数：4.00）A.可导B.连续但不一定可导且与 X分布相同C.只有一个间断点D.有两个以上的间断点8.对于任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=EXEY，则_（分数：4.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X和 Y独立D.X和 Y不相关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x -cosxax 2 ，则 a= 1 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 z=z(x，y)由 F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0 确定，其中函数 F连续可偏导且 aF“ 1 -cF“ 2 0，则 （分数：4.
4、00）12.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：4.00）13.设矩阵 （分数：4.00）14.设随机变量 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算二重积分 （分数：9.00）_设 f(x)Ca，b且 f(x)为单调增函数，若 f(a)0， （分数：10.00）(1).存在 (a，b)，使得 （分数：5.00）_(2).存在 (a，b)，使得 （分数：5.00）_16.设 f(x，y)=(x-6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 25上的最大值与最
5、小值 （分数：10.00）_17.求曲面积分 （分数：11.00）_18.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它在进入大气层开始燃烧的前 3s内，减少了体积的 （分数：10.00）_19.设 （分数：11.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX经过正交变换化为标准形 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x 1 ，
6、x 2 ，x 3 )=X T AX化为标准形（分数：5.50）_设(X，Y)的联合密度函数为 （分数：11.01）(1).求常数 k；（分数：3.67）_(2).求 X的边缘密度；（分数：3.67）_(3).求当 X=x （分数：3.67）_设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布其方差为 2 ，令 （分数：11.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：5.50）_(2). YZ （分数：5.50）_考研数学一-438 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若函数 f(x)在点 x 0 处的左导数 f“ - (
7、x 0 )和右导数 f“ + (x 0 )都存在，则_ A函数 f(x)在点 x 0 处必可导 B函数 f(x)在点 x 0 处不一定可导，但必连续 C函数 f(x)在点 x 0 处不一定连续，但极限 必存在 D极限 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f“(x 0 )存在，即 存在，得 即 f(x 0 -0)=f(x 0 )； 由 f“ + (x 0 )存在，即 存在，得 2.设平面 平行于两直线 （分数：4.00）A.4x+2y-z=0B.4x-2y+z+3=0C.16x+8y-16z+11=0 D.16x-8y十 8z-1=0解析：解析 平面 的法向量为 n=2，-2，1
8、1，2，2=-32，1，-2 设平面 与曲面 z=x 2 +y 2 +1相切的切点为(x 0 ，y 0 ，z 0 )，则曲面在该点处的法向量为2x 0 ，2y 0 ，-1， 因此 的方程为 3.的渐近线的条数为_ （分数：4.00）A.2B.3C.4 D.5解析：解析 由 为两条水平渐近线； 由 得 x=-1与 x=0为铅直渐近线； 由 4.设 D为 xOy平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D上连续，在 D内可偏导，且满足 + （分数：4.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到 B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值解析：解析 因为 f(x，y)在
9、 D上连续，所以 f(x，y)在 D上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D上的最大值 M在 D内的点(x 0 ，y 0 )处取到，即 f(x 0 ，y 0 )=M0。此时 这与 5. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 6.对三阶矩阵 A的伴随矩阵 A * 先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A等于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由-E=E 13 A * E 23 (-2)得 因为|A * |=|A| 2 =1且|A|0，所以|A|=1，于是 A * =A -1 故 7.设连续型随机变量
10、 X的分布函数 F(x)严格递增，YU(0，1)，则 Z=F -1 (Y)的分布函数_（分数：4.00）A.可导B.连续但不一定可导且与 X分布相同 C.只有一个间断点D.有两个以上的间断点解析：解析 因为 YU(0，1)所以 Y的分布函数为 8.对于任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=EXEY，则_（分数：4.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X和 Y独立D.X和 Y不相关 解析：解析 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，于是 XY =0，即 X，Y不相关，应选 D二、填空题(总题数
11、：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x -cosxax 2 ，则 a= 1 （分数：4.00）解析： 解析 因为当 x0 时，(1+2x) x -1=e xln(1+2x) -1xln(1+2x)2x 2 ， 所以(1+2x) x -cosx=(1+2x) x -1+1-cosx 10. （分数：4.00）解析：2(1-ln2) 解析 11.设 z=z(x，y)由 F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0 确定，其中函数 F连续可偏导且 aF“ 1 -cF“ 2 0，则 （分数：4.00）解析：b 解析 F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0 两边对 x求偏导得
12、 F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0 两边对 y求偏导得 故 12.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：4.00）解析：x(1-cosx) 解析 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微， 由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 由 13.设矩阵 （分数：4.00）解析： 解析 B -1 =B * A+A两边左乘 B得 E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则 14.设随机变量 （分数：4.00）解析： 解析 由 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 得 因为 XY的可能取值为0，1,，所以 由 PX=1=PX=1，Y=0+PX=1，Y=1，得 PX=
13、1，Y=0= 再 PY=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=0= 得 则(X，Y)的联合分布律为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算二重积分 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，y0，D 2 =D/D 1 ， 设 f(x)Ca，b且 f(x)为单调增函数，若 f(a)0， （分数：10.00）(1).存在 (a，b)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由积分中值定理， 其中 ca，b， 显然 f(c)0 且 c(a，b 因为 f(a)f(c)0，所以由零点定理，存在 x 0 (a，c)，使得 f(
14、x 0 )=0 再由 f(x)单调增加得，当 xa，x 0 )时，f(x)0；当 x(x 0 ,b时，f(x)0 令 显然 F(x 0 )0，F(b)0，由零点定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，即 (2).存在 (a，b)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 令 (a)=()=0， 由罗尔定理，存在 (a，) (a，b)，使得 “()=0， 而 且 e -x 0，故 16.设 f(x，y)=(x-6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 25上的最大值与最小值 （分数：
15、10.00）_正确答案：()解析：解 函数 f(x，y)的梯度为 gradf(x，y)=y+8，x-6， 其中 e为射线对应的单位向量， 为梯度与射线的夹角， 则 令 H(x，y)=(x-6) 2 +(y+8) 2 当 x 2 +y 2 25 时，因为 在 x 2 +y 2 25 内无解，所以 H(x，y)的最大值与最小值在区域 D的边界上取到 当 x 2 +y 2 =25， 令 F(x，y，)=(x-6)+(y+8) 2 +(x 2 +y 2 -25)， 17.求曲面积分 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 0 ：z=0(x 2 +y 2 1)，取下侧，则 由高斯公式得 18.
16、当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它在进入大气层开始燃烧的前 3s内，减少了体积的 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t的函数， 因为 S=4r 2 ，所以 由题设条件得 其中 V 0 为燃烧前的体积 解得 再由条件 所以 19.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 X=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，矩阵方程化
17、为 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )，即 当 a=1，b=2，c=-2 时，矩阵方程有解， 此时 方程组 A 1 = 1 的通解为 方程组 A 2 = 2 的通解为 方程组 A 3 = 3 的通解为 于是 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX经过正交变换化为标准形 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 显然 A的特征值为 1 =2， 2 =-1， 3 =-1，|A|=2，伴随矩阵 A * 的特征值为 1 =1， 2 =-2， 3 =-2由 A * = 得 AA * =A，即 A=2，即 =(1，1，-1
18、) T 是矩阵 A的对应于特征值 1 =2的特征向量 令 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为矩阵 A的对应于特征值 2 =-1， 3 =-1的特征向量，因为 A为实对称矩阵，所以 T =0，即 x 1 +x 2 -x 3 =0，于是 2 =-1， 3 =-1对应的线性无关的特征向量为 (2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX化为标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设(X，Y)的联合密度函数为 （分数：11.01）(1).求常数 k；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 故 (2).求 X的边缘密度；
19、（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 0x 时， 于是 (3).求当 X=x （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布其方差为 2 ，令 （分数：11.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立， 所以 (2). YZ （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 Cov(Y，Z)=Cov(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m+1 +X m+n =Cov(X 1 +X m ，X m+1 +X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X m+1 +X m+n ) =D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n )=(n-m) 2 ， 则
