1、考研数学一-440 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：30，分数：100.00)1.若正项级数 收敛，证明： （分数：4.00）_设 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_2.设 ，讨论级数 （分数：4.00）_3.设na n 收敛，且 收敛，证明：级数 （分数：4.00）_4.设 a n 0(n=1，2，)且 单调减少，又级数 发散，判断 （分数：4.00）_证明：（分数：4.00）(1).设 a n 0，且na n 有界，则级数 （分数：2.00）_(2).若 ，则级数 （分数：2.00
2、）_设 （分数：4.00）(1).若级数 收敛，则级数 （分数：2.00）_(2).若级数 发散，则级数 （分数：2.00）_5.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n -c n+1 u n+1 0，且 发散，则 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 n(a0)，且 收敛，则 （分数：4.00）_6.对常数 p，讨论幂级数 （分数：4.00）_7.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有“f“(x)|q1，令 u n =f(u n-1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：4.00）_8.设 f(x)在(-，+)内
3、一阶连续可导，且 证明： 收敛，而 （分数：3.00）_9.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 证明：级数 （分数：3.00）_10.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：3.00）_11.求幂级数 （分数：3.00）_12.求函数 f(x)=ln(1-x-2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域 （分数：3.00）_13.求幂级数 （分数：3.00）_14.求幂级数 （分数：3.00）_15.求幂级数 （分数：3.00）_16.求 （分数：3.00）_设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 的满足
4、 （分数：3.00）(1).求 F(x)关于 x 的幂级数；（分数：1.50）_(2).求 （分数：1.50）_17.将函数 （分数：3.00）_设 （分数：3.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：1.50）_(2).求 （分数：1.50）_18.证明 （分数：3.00）_19.将函数 f(x)-2+|x|(-1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数 （分数：3.00）_20.将函数 f(x)=x-1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数 （分数：3.00）_21.设 u n 0，且 存在证明：当 q1 时级数 收敛，当 q1 时级数 （分数：3.00）_22.设级数
5、收敛，且 绝对收敛证明： （分数：3.00）_23.设 ，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：3.00）_设函数 f 0 (x)在(-，+)内连续， （分数：3.00）(1).证明： （分数：1.50）_(2).证明： （分数：1.50）_24.设 a 0 =1，a 1 =-2， 证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：3.00）_考研数学一-440 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：30，分数：100.00)1.若正项级数 收敛，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 收敛，所以 ， 当 x0 时，ln(1+x)x于是 ，即 为正项级数，
6、 而 ， 所以 n时， ，再由 收敛，故 设 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 (2).证明：对任意常数 0， （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为2.设 ，讨论级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 收敛，所以 收敛 因为 所以 于是 的和为 3.设na n 收敛，且 收敛，证明：级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 S n =a 1 +a 2 +a n ，S“ n+1 =(a 1 -a 0 )+2(a 2 -a 1 )+(n+1)(a n+1 -a n )， 则 S“ n+1 =(n+1)
7、a n+1 -S n -a 0 ，因为 收敛且数列na n 收敛， 所以 都存在，于是 存在，根据级数收敛的定义， 4.设 a n 0(n=1，2，)且 单调减少，又级数 发散，判断 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 单调减少且 a n 0(n=1，2，)，所以 存在，令 ， 由 发散，得 A0根据正项级数的根值审敛法，由 ，得级数 证明：（分数：4.00）(1).设 a n 0，且na n 有界，则级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为na n 有界，所以存在 M0，使得 0na n M，即 ，而级数 收敛，所以级数 (2).若 ，则级数 （分数：2.00）
8、_正确答案：()解析：证明 取 ，因为 ，所以存在 N0，当 nN 时， 即 或者 ， 而 收敛，所以 设 （分数：4.00）(1).若级数 收敛，则级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 由 ，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则， 存在，令 无论 A=0还是 A0，若级数 收敛，则级数(2).若级数 发散，则级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 若 A=0，由级数 发散，得级数 发散；若 A0，级数 敛散性相同，故若级数 发散，则级数5.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n -c n+1 u n+1 0，且 发散
9、，则 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 n(a0)，且 收敛，则 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n -c n+1 u n+1 0，于是 c n u n c n+1 u n+1 c n u n c 1 u 1 0， 从而 u n c 1 u 1 因为 发散，所以 也发散 (2)因为对所有 n 满足 ，则 c n u n -c n+1 u n+1 au n+1 ，即 c n u n (c n+1 +a)u n+1 ，所以 ，于是 因为 收敛，所以 6.对常数 p，讨论幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解
10、 由 ，得幂级数的收敛半径为 R=1 (1)当 p0 时，记 q=-p，则有 ，因而当 x=1 时， 发散，此时 幂级数的收敛区间为(-1，1)； (2)当 0p1 时，对 ，因为 ，所以 x=1 时，级数 发散，当 x=-1 时， 显然收敛，此时幂级数的收敛区间为-1，1)； (3)当 p1 时，对 ，因为 ，而 收敛，所以级数 收敛，当 x=-1 时， 7.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有“f“(x)|q1，令 u n =f(u n-1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由|u n+1 -u n |=|f(u n
11、 )-f(u n-1 )|=|f“( 1 )|u n -u n-1 |q|u n -u n-1 |q 2 |u n-1 -u n-2 |q n |u 1 -u 0 | 且 收敛，所以 收敛，于是 8.设 f(x)在(-，+)内一阶连续可导，且 证明： 收敛，而 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 得 f(0)=0，f“(0)=1，于是 因为 ，所以存在 0，当|x| 时，f“(x)0， 于是存在 N0，当 nN 时， ， 由莱布尼兹审敛法知 收敛， 因为 n时， 发散，所以 9.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 证明：级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析
12、：证明 由 ，得 f(0)=0，f“(0)=0由泰勒公式得 其中 介于 0 与 x 之间 又 f“(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有|f“(x)|M，其中 M0 为 f“(x)在该闭区间上的界 所以对充分大的 n，有 因为 收敛，所以 收敛，即 10.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 y“=x+y 得 y“=1+y“，再由 y(0)=1 得 y“(0)=1，y“(0)=2，根据马克劳林公式，有 因为 n， 收敛，所以 11.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案
13、：()解析：解 幂级数 的收敛半径为 ， 当 时，因为 发散， 所以 的收敛区间为 ； 幂级数 的收敛半径为 ， 当 时，因为 发散， 所以 的收敛区间为 ， 故 的收敛区间为 12.求函数 f(x)=ln(1-x-2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x)=ln(1-x-2x 2 )=ln(x+1)(1-2x)-ln(1+x)+ln(1-2x)， 因为 所以 13.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(-，+) 令 则 14.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 显
14、然该幂级数的收敛区间为-1，1， 令 则 而 则 S(x)=x+(1-x)ln(1-x)(-1x1) 当 x=1 时， 所以 15.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(-，+)， 令 则 16.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，显然其收敛域为(-1，1)， 则 于是 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 的满足 （分数：3.00）(1).求 F(x)关于 x 的幂级数；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由 xy“+y=e x 得 ，解得 因为 ，所以 C=-1
15、，于是 (2).求 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 17.将函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由逐项可积性得 所以 设 （分数：3.00）(1).求 f(x)满足的微分方程；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 则 f(x)满足的微分方程为 f“(x)-f(x)=xe x ， 因为 a 0 =1，所以 f(0)=1，从而 C=1，于是 (2).求 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 18.证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 显然级数的收敛域为(-，+)， 显然 S(x)满足微分方程 y (4) -y=0 y (4) -y=0 的通解为
16、y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 cosx+C 4 sinx， 由 S(0)=1，S“(0)=S“(0)=S“(0)=0 得 ，C 4 =0，故和函数为 19.将函数 f(x)-2+|x|(-1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 显然函数 f(x)是在-1，1上满足收敛定理的偶函数，则 b n =0(n=1，2，)， 又 f(x)C-1，1，所以 令 x=0 得 令 解得 20.将函数 f(x)=x-1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，
17、b n =0(n=1，2，)，于是 21.设 u n 0，且 存在证明：当 q1 时级数 收敛，当 q1 时级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 当 q1 时，取 ，因为 ，所以存在 N0，当 nN 时， ，从而有 ，所以有 ，而 收敛，所以 收敛，故 收敛 当 q1 时，取 ，因为 ，所以存在 N0，当 nN 时， ，从而有 所以有 ，而发散，所以 发散，故 22.设级数 收敛，且 绝对收敛证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 S n =(a 1 -a 0 )+(a 2 -a 1 )+(a n -a n-1 )，则 S n =a n -a 0 因为级数 收敛
18、，所以 存在，设 ，则有 ，即 存在，于是存在 M0，对一切的自然数 n 有|a n |M 因为 绝对收敛，所以正项级数 收敛，又 0|a n b n |M|b n |， 再由 收敛，根据正项级数的比较审敛法得 收敛，即级数 23.设 ，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得 ，即 ，所以 (1)当 0 时，因为级数 收敛，所以级数 收敛； (2)当 0 时，因为级数 发散，所以级数 设函数 f 0 (x)在(-，+)内连续， （分数：3.00）(1).证明： （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 n=1 时， ，等式成立； 设 n=k 时， 则 n=k+1 时， 由归纳法得 (2).证明： （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x(-，+)，f 0 (t)在0，x或x，0上连续，于是存在 M0(M 与 x 有关)，使得|f 0 (t)|M(t0，x或 tx，0)，于是 因为 ，所以 收敛，根据比较审敛法知 24.设 a 0 =1，a 1 =-2， 证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 ，得幂级数的收敛半径 R=1，所以当|x|1 时，幂级数 收敛由 ，得 ，所以
