1、考研数学一-445 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：12，分数：24.00)1.设 （分数：2.00）2.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，则|B -1 +2E|= 1 （分数：2.00）3.设 A 为三阶正交阵，且|A|0，|B-A|=-4，则|E-AB T |= 1 （分数：2.00）4.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=a0，则|(kA) * |= 1 （分数：2.00）5.设 A，B 都是三阶矩阵， （分数：2.00）6.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 （分数：2.00
2、）7. （分数：2.00）8.设 （分数：2.00）9.设 （分数：2.00）10.设 （分数：2.00）11.设 （分数：2.00）12.设 为非零向量， （分数：2.00）二、选择题(总题数：11，分数：22.00)13.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是_（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则 A=O 或 B=OC.|A-B|=|A|-|B|D.|AB|=|A|B|14.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且|A|=| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，|B|=| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则| 3 ， 2 ，
3、 1 ， 1 + 2 |为_（分数：2.00）A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m15.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则_（分数：2.00）A.当 mn 时，必有|AB|0B.当 mn 时，必有|AB|=0C.当 nm 时，必有|AB|0D.当 nm 时，必有|AB|=016.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 皆为可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于_ A.A+B B.A-1+B-1 C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1（分数：2.00）A.B.C.D.17.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则_ A.(A+B)*=A*+B* B.(AB
4、)*=B*A* C.(A-B)*=A*-B* D.(A+B)*一定可逆（分数：2.00）A.B.C.D.18.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于_ A.kA* B.knA* C.kn-1A* D.kn(n-1)A*（分数：2.00）A.B.C.D.19.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是_（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E20.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则_ AA 的任意 m 个列向量都线性无关 BA 的任意 m 阶子式都不等于零 C非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多
5、个解 D矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为 （分数：2.00）A.B.C.D.21.设 若 （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=222.设 （分数：2.00）A.B.C.D.23.设 （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1D.当 t6 时，r(Q)=2三、解答题(总题数：11，分数：54.00)24.设 A 是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0 （分数：5.00）_25.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且|A|中每个元素 a ij 与其代数余子式 A
6、ij 相等证明：|A|0 （分数：5.00）_26.计算 （分数：5.00）_27.计算 （分数：5.00）_28.设 （分数：5.00）_29.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，|B|=2，求 （分数：5.00）_设 A=E- T ，其中 为 n 维非零列向量证明：（分数：5.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.50）_(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.50）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：5.00）(1).计算 PQ；（分数：2.50）_(2).证
7、明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.50）_30.设矩阵 A 满足(2E-C -1 B)A T =C -1 ，且 （分数：5.00）_31.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2 （分数：5.00）_32.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n （分数：4.00）_考研数学一-445 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：12，分数：24.00)1.设 （分数：2.00）解析：0 解析 A 31 +A 32 +A 33 =A 31 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 35 2.设 A
8、，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，则|B -1 +2E|= 1 （分数：2.00）解析：60 解析 因为|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，所以 A 的三个特征值为 1，又 AB，所以 B 的特征值为 3.设 A 为三阶正交阵，且|A|0，|B-A|=-4，则|E-AB T |= 1 （分数：2.00）解析：-4 解析 |A|0 4.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=a0，则|(kA) * |= 1 （分数：2.00）解析：k n(n-1) a n-1 解析 因为(kA) * =k n-1 A * ，且|A * |=|A| n-1 所以
9、|(kA) * |=|k n-1 A * |=k n(n-1) |A| n-1 =k n(n-1) a n-15.设 A，B 都是三阶矩阵， （分数：2.00）解析： 解析 |A|=-3，A * =|A|A -1 =-3A -1 ，则(A * ) -1 B=ABA+2A 2 化为 AB=ABA+2A 2 ，注意到 A 可逆，得 =BA+2A 或-B=3BA+6A，则 B=-6A(E+3A) -1 ， 6.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 （分数：2.00）解析： 解析 由 A * BA=2BA-8E，得 AA * BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A， 于是-2
10、B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E) -1 = 7. （分数：2.00）解析： 解析 因为 ，所以 ， 于是 8.设 （分数：2.00）解析：6 解析 因为 r(B * )=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又r(A)1，r(A)=1，于是 t=69.设 （分数：2.00）解析：1解析 BA=O10.设 （分数：2.00）解析： 1 ， 2 解析 则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组为 1 ， 2 ，且 11.设 （分数：2.00）解析：2 1 解析 12.设 为非零向量， （分数：2.00）解
11、析：3 k(-3，1，2) T 解析 AX=0 有非零解，所以|A|=0，解得 a=3，于是 二、选择题(总题数：11，分数：22.00)13.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是_（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则 A=O 或 B=OC.|A-B|=|A|-|B|D.|AB|=|A|B| 解析：解析 A、C 显然不对，设14.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且|A|=| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，|B|=| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |为_（分数：2.00）A
12、.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m 解析：解析 | 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |=| 3 ， 2 ， 1 ， 1 |+| 3 ， 2 ， 1 ， 2 |=-| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |-| 1 ， 2 ， 3 ， 2 |=-| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |+| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n-m， 选 D15.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则_（分数：2.00）A.当 mn 时，必有|AB|0B.当 mn 时，必有|AB|=0 C.当 nm 时，必有|AB|0D.当 nm 时，必有|AB|=0解析：解析 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)mi
13、nm，n，r(B)minm，n，且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是|AB|=0，选 B16.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 皆为可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于_ A.A+B B.A-1+B-1 C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A(A+B) -1 B(A -1 +B -1 )=(A+B)A -1 -1 (BA -1 +E)=(BA -1 +E) -1 (BA -1 +E)=E，所以选 C17.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则_ A.(
14、A+B)*=A*+B* B.(AB)*=B*A* C.(A-B)*=A*-B* D.(A+B)*一定可逆（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为(AB) * =|AB|(AB) -1 =|A|B|B -1 A -1 =|B|B -1 |A|A -1 =B * A * ，所以选 B18.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于_ A.kA* B.knA* C.kn-1A* D.kn(n-1)A*（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n-1 阶子式，所以(kA) * =k n-1 A * ，选
15、C19.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是_（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E 解析：解析 因为 A 2 =A，所以 A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E-A)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(E-A)=0，A=E，选 D20.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则_ AA 的任意 m 个列向量都线性无关 BA 的任意 m 阶子式都不等于零 C非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解 D矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析
16、显然由 r(A)=mn，得 21.设 若 （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5 C.m=2，n=3D.m=2，n=2解析：解析 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1 = 且 22.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 B=AE 14 E 23 或 B=AE 23 E 14 即 B=AP 1 P 2 或 B=AP 2 P 1 ，所以 或 ，注意到 23.设 （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1 D.当 t6 时，r(Q)=2解析：解析 因为 QO，所以 r(Q)
17、1，又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选 C三、解答题(总题数：11，分数：54.00)24.设 A 是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 A 是正交矩阵，所以 A T A=E，两边取行列式得|A| 2 =1，因为|A|0，所以|A|=-1 由|E+A|=|A T A+A|=|(A T +E)A|=|A|A T +E|=-|A T +E|=-|(A+E)| T =-|E+A| 得|E+A|=025.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且|A|中每个元素 a ij
18、 与其代数余子式 A ij 相等证明：|A|0 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 |A|=a k1 A k1 +a k2 A k2 +a kn A kn = 26.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 方法一 27.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 28.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 |A|=(-1) n+1 n!， 则 得 A * =|A|A -1 =(-1) n+1 n!A -1 ，所以 29.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2
19、 =2 为 A 的两个特征值，|B|=2，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3 ，由|B|= 1 2 3 =2 得 3 =1 A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) -1 的特征值为 ，则 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B * 的特征值为 ，即为 2，1，2，于是|B * |=4， |(2B)*|=|4B * |=4 3 |B * |=256，故 设 A=E- T ，其中 为 n 维非零列向量证明：（分数：5.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明
20、令 T =k，则 A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T +k T ，因为 为非零向量，所以 T O，于是 A 2 =A 的充分必要条件是 k=1，而 T =| 2 ，所以 A 2 =A 的充要条件是 为单位向量(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 当 是单位向量时，由 A 2 =A 得 r(A)+r(E-A)=n，因为 E-A= T O，所以 r(E-A)1，于是 r(A)n-1n，故 A 是不可逆矩阵设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：5.00）(1).计算 PQ；（分数：2.50）_正确答案
21、：()解析：解 (2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.50）_正确答案：()解析：证明 |PQ|=|A| 2 (b- T A -1 )，PQ 可逆的充分必要条件是|PQ|0，即 T A -1 b30.设矩阵 A 满足(2E-C -1 B)A T =C -1 ，且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由(2E-C -1 B)A T =C -1 ，得 A T =(2E-C -1 B) -1 C -1 =C(2E-C -1 B) -1 =(2C-B) -1 31.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2 （分数：5.00）_正确答案：(
22、)解析：证明 r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )，而 r( T )r()=1，r( T )r()=1，所以 r(A)r( T )+r( T )232.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T + T T ，因为 为单位列向量，所以 T =1，于是 A 2 =A由 A(E-A)=O 得 r(A)+r(E-A)n，又由 r(A)+r(E-A)rA+(E-A)=r(E)=n，得 r(A)+r(E-A)=n因为 E-A= T O，所以 r(E-A)=r( T )=r()=1，故 r(A)=n-1n
