1、考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设 A 为 nm 实矩阵，r(A)=n，则(A) AAT的行列式值不为零 (B) AA T必与单位矩阵相似(C) ATA 的行列式值不为零 (D) A TA 必与单位矩阵相似（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列结论正确的是(A) 方阵 A 与其转置矩阵 AT有相同的特征值，从而有相同的特征向量(B) 任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵(C) 对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的(D) 设 PTAP=B，若 A
2、为正定矩阵，|P|0，则 B 必为正定矩阵（分数：1.00）A.B.C.D.3.设 n(n2)阶矩阵 A 的行列式|A|=a0， 是 A 的一个特征值，A *为 A 的伴随矩阵，则 A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是(A) -1an-1 (B) -1an-2 (C) a n-2 (D) a n-1（分数：1.00）A.B.C.D.4.设 A 为 mn 实矩阵，r(A)=n，则(A) ATA 必合同于 n 阶单位矩阵 (B) AA T必等价于 m 阶单位矩阵(C) ATA 必相似于 n 阶单位矩阵 (D) AA T是 m 阶单位矩阵（分数：1.00）A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶实对
3、称矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，Q 为 n 阶正交矩阵，则下列矩阵与 A 有相同特征值的是(A) B-1QTAQB (B) (B -1)TQTAQB-1(C) BTQTAQB (D) BQ TAQ(BT)-1（分数：1.00）A.B.C.D.6.设线性方程组(E-A)x=0 的两个不同解向量是 1， 2，则矩阵 A 的对应于特征值 的特征向量必是(A) 1 (B) 2 (C) 1- 2 (D) 1+ 2（分数：1.00）A.B.C.D.7.设 ， 是 n 维列向量， T0，n 阶方阵 A=E+ T(n3)，则在 A 的 n 个特征值中，必然(A) 有 n 个特征值等于 1 (B) 有 n-1
4、个特征值等于 1(C) 有 1 个特征值等于 1 (D) 没有 1 个特征值等于 1（分数：1.00）A.B.C.D.8.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 A 为 n 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A) A 的 n 个特征向量两两正交(B) A 的 n 个特征向量组成单位正交向量组(C) A 的 k 重特征值 0有 r( 0E-A)=n-k(D) A 的 k 重特征值 0有 r( 0E-A)=k（分数：1.00）A.B.C.D.10.设 A 为 n
5、阶矩阵，则在下列条件中，不是“A 的特征值为-1”的充分条件的是(A) A2=E (B) r(A+E)n(C) A 的各行元素之和均为-1 (D) A T=-A，且 1 是 A 的特征值（分数：1.00）A.B.C.D.11.设 A，B 为实对称矩阵，则 A 合同于 B，如果(A) r()=r() (B) A，B 为同型矩阵(C) A，B 的正惯性指数相等 (D) 上述三项同时成立（分数：1.00）A.B.C.D.12.已知 （分数：1.00）A.B.C.D.13.设二次型 f(x1，x 2，x n)=xTAx，其中 AT=A，x=(x 1，x 2，x n)T，则 f 为正定二次型的充分必要条
6、件是(A) f 的负指数是 0 (B) 存在正交矩阵 Q，使 QTAQ=E(C) f 的秩为 n (D) 存在可逆矩阵 C，使 A=CTC（分数：1.00）A.B.C.D.14.已知 A，B 均为 n 阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) A+B，A-B，AB 是正定矩阵(B) AB 的特征值全大于零(C) 若 AB=BA，则 AB 是正定矩阵(D) 对任意正常数 k 与 l，kA+lB 为正定矩阵（分数：1.00）A.B.C.D.15.设 A 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是(A) 矩阵 A 有 n 个不同的特征值(B) 矩阵 A 与 AT有相同的特征值和特征向量(C) 矩阵 A 的特征
7、向量 1， 2的线性组合 c1 1+c2 2仍是 A 的特征向量(D) 矩阵 A 对应于不同特征值的特征向量线性无关（分数：1.00）A.B.C.D.16.设 A 为 n 阶矩阵，则下列命题设 A 为 n 阶实可逆矩阵，如果 A 与-A 合同，则 n 必为偶数若 A 与单位矩阵合同，则|A|0若|A|0，则 A 与单位矩阵合同若 A 可逆，则 A-1与 AT合同中正确的个数是(A) 3 个 (B) 2 个 (C) 1 个 (D) 0 个（分数：1.00）A.B.C.D.17.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 2， 2分别是 A 的对应于 1， 2的特征向量，则(A) 当 1= 2时，
8、 1与 2必成比例(B) 当 1= 2时， 1与 2必不成比例(C) 当 1 2时， 1与 2必成比例(D) 当 1 2时， 1与 2必不成比例（分数：1.00）A.B.C.D.18.设 A=(aij)nn为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) aij0(i=1，2，n) (B) A -1为正定矩阵(C) A*为正定矩阵 (D) 对任意正整数 k，A k为正定矩阵（分数：1.00）A.B.C.D.19.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 相似，则下述结论中不正确的是(A) A-kE-kE(k 为任意常数) (B) A m m(m 为正整数)(C) 若 A 可逆，则 A-1 -1 (D) 若 A 可
9、逆，则 AE（分数：1.00）A.B.C.D.20.二次型 （分数：1.00）A.B.C.D.21.设 n 阶矩阵 A 可逆， 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则下列结论中不正确的是(A) 是矩阵-2A 的属于特征值-2 的特征向量(B) 是矩阵 的属于特征值 的特征向量(C) 是矩阵 A*的属于特征值上 （分数：1.00）A.B.C.D.22.设 A，B 为 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的充分必要条件是(A) A，B 都相似于对角矩阵 (B) |E-A|=|E-B|(C) 存在正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ=B (D) 存在可逆矩阵 P，使得 ABT=PTB（分数：1.00）A.B
10、.C.D.23.与矩阵 合同的矩阵是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.24.正定实二次型的矩阵必是(A) 实对称矩阵且所有元素为正数 (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数 (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数（分数：1.00）A.B.C.D.25.n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是(A) A 有 n 个相异的特征值(B) AT有 n 个相异的特征值(C) A 有 n 个相异的特征向量(D) A 的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同（分数：1.00）A.B.C.D.26.设矩阵 A 与 B 相似，则
11、必有(A) A，B 同时可逆或不可逆 (B) A，B 有相同的特征向量(C) A，B 均与同一个对角矩阵相似 (D) 矩阵 E-A 与 E-B 相等（分数：1.00）A.B.C.D.27.已知矩阵 ，则下列矩阵与 A 既相似又合同的是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：18，分数：25.00)28.设 （分数：1.00）填空项 1:_29.若二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：1.00）填空项 1:_30.已知 =(1，3，2) T，=(1，-1，2) T，B= T，苦矩阵 A，B 相似，则(2A+E) *的特征值为_（分数：1.00
12、）填空项 1:_31.设-1，5， 都是矩阵 （分数：3.00）填空项 1:_32.设 n 阶方阵 A 的各列元素之和都是 1，则 A 的特征值是_（分数：1.00）填空项 1:_33.设 AP=PB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_34.设 A 是 2 阶实对称矩阵， 1， 2是 A 的两个不同的特征值， 1， 2是分别对应于 1， 2的单位特征向量，则矩阵 B=A+ 1 （分数：1.00）填空项 1:_35.设 A 为 n 阶可相似对角化的矩阵，且 r(A-E)=rn，则 A 必有特征值 =_，且其重数为_，其对应的线性无关的特征向量有_个（分数：3.00）填空项 1:_36.设 1
13、， 2是 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的对应于特征值 1的一个单位特征向量，则矩阵 B=A- 1 T的两个特征值为_（分数：1.00）填空项 1:_37.设 A 为 n 阶方阵AE，且 r(A+3E)+r(A-E)=n，则 A 的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项 1:_38.若二次型矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_39.若实对称矩阵 A 与矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_40.若二次型（分数：1.00）填空项 1:_41.已知向量 （分数：1.00）填空项 1:_42.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_43.设 2 阶矩阵 A 的特征值为
14、1=1， 2=2，已知 B=A2-3A+4E，则 B=_（分数：1.00）填空项 1:_44.设 A 为 n 阶方阵，且 A2-5A+6E=0，其中 E 为单位矩阵，则 A 的特征值只能是_（分数：1.00）填空项 1:_45.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设 A 为 nm 实矩阵，r(A)=n，则(A) AAT的行列式值不为零 (B) AA T必与单位矩阵相似(C) ATA 的行列式值不为零 (D) A TA 必与单位矩阵相似（分
15、数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 矩阵 AAT是 n 阶方阵，且方程组 AATx=0 与 ATx=0 是同解方程组，故系数矩阵的秩相同，即r(AAT)=r(AT)=r(A)而矩阵 ATA 为，n 阶方阵，无从由 r(A)=n 说明什么由 ATx=0 有 AATx=0反之若 AATx=0，则 xT(AATx)=(ATx)T(ATx)=0，故实向量 ATx=0由此证得方程组 AATx=0与 ATx=0 是同解方程组，故有 r(AAT)=r(AT)=r(A)=n，所以方阵 AAT的行列式|AA T|0故应选(A)由于(AA T)T=AAT，故 AAT为实对称矩阵，必可相似对角化，即与对角矩
16、阵相似，而相似对角矩阵一般不是单位矩阵，故(B)不对而(C)和(D)中矩阵 ATA 为 m 阶方阵，由 r(A)=n 这一条件无法判断其是否满秩，而且“实对称矩阵必与单位矩阵相似”的说法也是不对的2.下列结论正确的是(A) 方阵 A 与其转置矩阵 AT有相同的特征值，从而有相同的特征向量(B) 任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵(C) 对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的(D) 设 PTAP=B，若 A 为正定矩阵，|P|0，则 B 必为正定矩阵（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于(A)：由矩阵的特征值和特征向量的性质可知，方阵 A 与 AT有相同的特征
17、多项式，故A 和 AT有相同的特征值，但对应的特征向量不一定相同例如：矩阵 与 AT有相同的特征值 1 和-2，而 A 对应的特征向量是 ，A T对应的特征向量是 因此(A)不正确对于(B)：由“两个同阶但秩不相等的矩阵一定不相似于同一个对角矩阵”可知(B)不正确要注意的是若矩阵 B 与 A 相似，即存在可逆矩阵 P，满足 P-1AP=B，这实际上也是矩阵 A 经若干次初等行变换和初等列变换而成为矩阵 B 的而初等变换不改变矩阵的秩，即等价矩阵的秩相同，所以相似矩阵当然也是等价矩阵，也具有相同的秩例如，对应于实矩阵 的两个相异特征值 1 和-2 的实特征向量3.设 n(n2)阶矩阵 A 的行列
18、式|A|=a0， 是 A 的一个特征值，A *为 A 的伴随矩阵，则 A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是(A) -1an-1 (B) -1an-2 (C) a n-2 (D) a n-1（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由 A*A=|A|E 得 A*=|A|A-1对 A*应用此式，得(A*)*=|A*(A*)-1=|A|A-1|(|A|A-1)-1=|A|n|A-1|(|A|-1A)=|A|n-2A=an-2A于是，由 是 A 的一个特征值知，a n-2是(A *)*的一个特征值，故选(C)4.设 A 为 mn 实矩阵，r(A)=n，则(A) ATA 必合同于 n 阶单位矩阵
19、 (B) AA T必等价于 m 阶单位矩阵(C) ATA 必相似于 n 阶单位矩阵 (D) AA T是 m 阶单位矩阵（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 注意到题中 ATA 和 AAT都是实对称矩阵，其合同于单位矩阵的充分必要条件是其为正定矩阵，而方阵等价于单位矩阵的充分必要条件是其为可逆矩阵，方阵相似于单位矩阵的充分必要条件为其是单位矩阵对任意 n 维非零列向量 x，由 r(A)=n 可知 Ax0，而xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)=|Ax|20，所以 ATA 为正定矩阵，故选(A)而 AAT是 mm 矩阵，由题设不能得出 r(AAT)=m，因此选项(B)不成立，进而选项(D
20、)也不成立矩阵 ATA 的特征值不一定都是 1，因而选项(C)不一定成立5.设 A 为 n 阶实对称矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，Q 为 n 阶正交矩阵，则下列矩阵与 A 有相同特征值的是(A) B-1QTAQB (B) (B -1)TQTAQB-1(C) BTQTAQB (D) BQ TAQ(BT)-1（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 与 A 有相同特征值的矩阵即是与 A 有相同特征多项式的矩阵，因而看哪个矩阵有可能与 A有相同的特征多项式这里要注意的是曰仅为可逆矩阵，Q 为正交矩阵，故有 QT=Q-1记 P=QB，则 P-1=B-1QT，有|E-B -1QTAQB|=|E-P
21、 -1AP|=|P-1(E-A)P|=|E-A|故选(A)6.设线性方程组(E-A)x=0 的两个不同解向量是 1， 2，则矩阵 A 的对应于特征值 的特征向量必是(A) 1 (B) 2 (C) 1- 2 (D) 1+ 2（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 1 2，故 1- 20，且 A( 1- 2)= 1- 2=( 1- 2)，所以， 1- 2是 A 的属于特征值 的特征向量，(C)正确而 1， 2， 1+ 2均可能是零向量，故不是 A 的特征向量因此，(A)，(B)，(D)都不对7.设 ， 是 n 维列向量， T0，n 阶方阵 A=E+ T(n3)，则在 A 的 n 个特
22、征值中，必然(A) 有 n 个特征值等于 1 (B) 有 n-1 个特征值等于 1(C) 有 1 个特征值等于 1 (D) 没有 1 个特征值等于 1（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为矩阵 E-A=E-(E+ T)=- T，r(E-A)=1，所以 =1 至少是 A 的 n-1 重特征值，而A=E+ T的主对角线上元素的和 n+ Tn，故 A 至少有一个特征值不是 1因此 A 有 n-1 个特征值为1故应选(B)8.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.
23、 D.解析：解析 方法一 因 f(x1，x 2，x 3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)20，而(B)： ，(D)： ，故可排除又 f(2，1，1)=0，故 f 不是正定二次型又可排除(A)由排除法知应选(C)方法二 将 f 根据配方法要求重新配方，由其正、负惯性指数情况来判别其规范形因显然 f 的规范形为9.设 A 为 n 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A) A 的 n 个特征向量两两正交(B) A 的 n 个特征向量组成单位正交向量组(C) A 的 k 重特征值 0有 r( 0E-A)=n-k(D) A 的 k 重特征值 0有 r( 0E-A)=k（分数：1.0
24、0）A.B.C. D.解析：解析 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量正交，但未必两两正交；n 个特征向量未必是单位正交向量组，故(A)，(B)均不正确由于实对称矩阵 A 必可对角化，A 的属于 k 重特征值 0的线性无关的特征向量必有 k 个，故 r( 0E-A)=n-k于是可得出(C)正确，同时说明(D)不对应选(C)10.设 A 为 n 阶矩阵，则在下列条件中，不是“A 的特征值为-1”的充分条件的是(A) A2=E (B) r(A+E)n(C) A 的各行元素之和均为-1 (D) A T=-A，且 1 是 A 的特征值（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对于选项(A)
25、：由于 A2=E，故 A 的特征值是 1 或-1，但-1 不一定是 A 的特征值例如，A=E，A 2=E，但-1 不是 A 的特征值因此，应该选(A)对于(B)，(C)，(D)：若 r(A+E)n，则|A+E|=0，A 的特征值为-1；若 A 的各行元素之和均为-1，则有11.设 A，B 为实对称矩阵，则 A 合同于 B，如果(A) r()=r() (B) A，B 为同型矩阵(C) A，B 的正惯性指数相等 (D) 上述三项同时成立（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据实二次型惯性定理的推论，即如果 f=xTAx 与 g=yTBy 却都是 n 个变量的实二次型，它们有相同的秩与正
26、惯性指数，则必有非退化的线性代换 x=Py，使得 xTAx=yT(PTAP)y=yTBy因为 A，B 为实对称矩阵，并且为同型矩阵，故 A，B 分别为相同变量的两个实二次型的矩阵，且 r(A)=r(B)及 A，B 正惯性指数相等，即两个二次型有相同的秩和正惯性指数，据实二次型惯性定理的推论，则必有非退化的线性代换 x=Py，使得 xTAx=yT(PTAP)y=yTBy，由 PTAP=B 可知 A 与 B 合同故应选(D)12.已知 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 ，P=( 1， 2， 3)，则有 AP=P，即13.设二次型 f(x1，x 2，x n)=xTAx，其中 AT=
27、A，x=(x 1，x 2，x n)T，则 f 为正定二次型的充分必要条件是(A) f 的负指数是 0 (B) 存在正交矩阵 Q，使 QTAQ=E(C) f 的秩为 n (D) 存在可逆矩阵 C，使 A=CTC（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 选项(A)是必要条件，但不是充分条件因为 f=xTAx 正定的充分必要条件是正指数 p=n负指数为零不一定有 p=n选项(B)是充分条件，但不是必要条件实际上，如果 f 为正定二次型，则 A 为正定矩阵，可知 A 的特征值全大于零假设存在正定矩阵 Q，使 QTAQ=Q-1AQ=E，则 A 的特征值全为 1显然，A 正定时，其特征值虽大于零但未
28、必全是 1选项(C)是必要条件，但非充分条件因为 f 的秩为 n 时，其规范形中仍可能有负的平方项选项(D)正确A 正定的充分必要条件是 A 合同于 E，即存在可逆矩阵 C，有 A=CTEC=CTC故应选(D)14.已知 A，B 均为 n 阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) A+B，A-B，AB 是正定矩阵(B) AB 的特征值全大于零(C) 若 AB=BA，则 AB 是正定矩阵(D) 对任意正常数 k 与 l，kA+lB 为正定矩阵（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对于(A)：由 A，B 为 n 阶正定矩阵，故对于 xR n，x0，有 xTAx0，x TBx0，又因为(A+
29、B)T=AT+BT=A+B，故 A+B 是对称矩阵，且有 xT(A+B)X=xTAx+xTBx0，因此 A+B 为正定矩阵对于 A-B，若 A=B 时，A-B 为零矩阵，显然不是正定矩阵又(AB) T=BTAT=BA，由于 AB=BA 一般不成立，即不能保证 AB 是实对称矩阵，因此 AB 也不一定是正定矩阵故(A)不正确，应选(A)对于(B)：由于 A，B 均为正定矩阵，则存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 A=PTP，B=Q TQ，于是 Q(AB)Q-1=Q(PTP)(QTQ)Q-1=QPTPQT=(PQT)T(PQT)，又 PQT为可逆矩阵，从而(PQ T)T(PQT)是正定矩阵，它的所有的
30、特征值都大于零，且由上式知，AB 与该矩阵相似，故 AB 的特征值全大于零故(B)正确对于(C)：因为(AB) T=BTAT=BA=AB，则 AB 为实对称矩阵，又由(B)知 AB 的特征值全大于零，故 AB 为正定矩阵(C)正确对于(D)：由于对任意 n 维列向量 x=(x1，x 2，x n)T，有xT(kA+lB)x=k(xTAx)+l(xTBx)0，故(D)正确15.设 A 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是(A) 矩阵 A 有 n 个不同的特征值(B) 矩阵 A 与 AT有相同的特征值和特征向量(C) 矩阵 A 的特征向量 1， 2的线性组合 c1 1+c2 2仍是 A 的特征向量(D
31、) 矩阵 A 对应于不同特征值的特征向量线性无关（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于选项(A)：矩阵 A 有 n 个特征值(在复数范围内)，但这些特征值中可能有重根，故(A)错对于选项(B)：A 与 AT有相同的特征值，但是，对应的特征向量不一定相同，故(B)错选项(C)中，未说明 1， 2对应的特征值如果 1， 2是对应于 A 的同一特征值 的特征向量，则当 c1，c 2不全为零时，c 1 1+c2 2仍是 A 的对应于特征值 的特征向量如果 1， 2是对应于 A 的不同特征值 1， 2的特征向量，则 c1 1+c2 2不是 A 的特征向量(c10，c 20，为任意常数)故(
32、C)不一定正确选项(D)是矩阵特征值的重要性质，故应选(D)16.设 A 为 n 阶矩阵，则下列命题设 A 为 n 阶实可逆矩阵，如果 A 与-A 合同，则 n 必为偶数若 A 与单位矩阵合同，则|A|0若|A|0，则 A 与单位矩阵合同若 A 可逆，则 A-1与 AT合同中正确的个数是(A) 3 个 (B) 2 个 (C) 1 个 (D) 0 个（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对命题：由于 A 为 n 阶实可逆矩阵，且 A 与-A 合同，则存在可逆矩阵 C，使-A=CTAC两边取行列式(-1)n|A|=|CTAC|=|A|V|2又 A 是可逆的，有|A|0，那么|C| 2=(
33、-1)n0，则 n 必为偶数故命题正确对命题：若 A 与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵 C，使E=CTAC，|A|C| 2=1，所以|A|0故命题正确对命题：设17.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 2， 2分别是 A 的对应于 1， 2的特征向量，则(A) 当 1= 2时， 1与 2必成比例(B) 当 1= 2时， 1与 2必不成比例(C) 当 1 2时， 1与 2必成比例(D) 当 1 2时， 1与 2必不成比例（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 1= 2时，它们为 A 的重数大于等于 2 的特征值，故对应的线性无关的特征向量个数可能大于 1，也可能等于 1，所以选
34、项(A)与(B)均不对而当 1 2时，则由对应于不同特征值的特征向量线性无关知， 1与 2必不成比例，故选(D)18.设 A=(aij)nn为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) aij0(i=1，2，n) (B) A -1为正定矩阵(C) A*为正定矩阵 (D) 对任意正整数 k，A k为正定矩阵（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对于(A)：因为 A 正定，所以对任意的非零向量 x，都有 xTAx0，取xi=(0，0，1，0，0) T0，即第 i 个分量为 1，其余分量为 0，则即正定矩阵主对角线元素全大于零因此，(A)不正确，应选(A)对于(B)：由于 A 正定，故 AT=A
35、，所以(A -1)T=(AT)-1=A-1，故 A-1亦为对称矩阵，对此有如下几种证法：方法 1 由 A 正定，故 A 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 M，使 A=MTM于是有 A-1=M-1(MT)-1=M-1(M-1)T令矩阵 Q=(M-1)T，则 Q 可逆，且使 A-1=QTQ，即 A-1与单位矩阵 E 合同，故 A-1为正定矩阵方法 2 由于 A 正定，则 A 的特征值全大于零设 为 A 的任一特征值，则 为 A-1的特征值，且因此，对称矩阵 A-1的特征值全大于零，故 A-1是正定矩阵(B)正确对于(C)：由于 A*=|A|A-1，A -1是对称矩阵，故 A*为对称矩阵因此，也有两种
36、证法：方法 1 由于已证 A-1正定，故对于 xR n，x0，均有 xTA-1x0又由 A 正定，有|A|0，故对于xR n，x0，均有 xTA*x=xT|A|A-1x=|A|xTA-1x0，即二次型 xTA*x 正定，所以 A*正定方法 2 由 A 正定知，A 的特征值都大于零设 为 A 的任一特征值，有 0，又因为|A|0，战 A*的特征值 因此，对称矩阵 A*的特征值全大于零，所以 A*为正定矩阵(C)正确对于(D)：由 A 为对称矩阵，故(A k)T=(AT)k=Ak，即 Ak为对称矩阵又由于 A 的全部特征值 i0(i=1，2，n)，因此 Ak的全部特征值19.设 n 阶矩阵 A 与
37、对角矩阵 相似，则下述结论中不正确的是(A) A-kE-kE(k 为任意常数) (B) A m m(m 为正整数)(C) 若 A 可逆，则 A-1 -1 (D) 若 A 可逆，则 AE（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 A，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A，所以 P-1AP-kE=-kE而P-1AP-kE=P-1AP-kP-1P=P-1(A-kE)P，于是有 P-1(A-kE)P=-kE所以 A-kE-kE，故选项(A)正确由 P-1AP=，得(P -1AP)m= m，即 P-1AmP= m所以 Am m，故选项(B)正确若 A 可逆，则(P -1AP)-1= -1，即
38、 P-1A-1P= -1所以 A-1 -1，故选项(C)正确综上分析，本题应选(D)实际上，矩阵 A 可逆，并不能保证 A 可对角化，更不一定与 E 相似例如，20.二次型 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 原矩阵 不是实对称矩阵由于故二次型的矩阵为21.设 n 阶矩阵 A 可逆， 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则下列结论中不正确的是(A) 是矩阵-2A 的属于特征值-2 的特征向量(B) 是矩阵 的属于特征值 的特征向量(C) 是矩阵 A*的属于特征值上 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 A=(0)，可得又 ，两边左乘 ，可得22.设 A，B 为 n
39、阶矩阵，则 A 与 B 相似的充分必要条件是(A) A，B 都相似于对角矩阵 (B) |E-A|=|E-B|(C) 存在正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ=B (D) 存在可逆矩阵 P，使得 ABT=PTB（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 AB 存在可逆矩阵 P1，使得 AP1=B 存在可逆矩阵 ，使得(P T)-1APT=B存在可逆矩阵 P，使得 APT=PTB故应选(D)由于 AB，不一定 A，B 都相似于对角矩阵，故(A)不对|E-A|=|E-E|是 AB 的必要条件，但不是充分条件，例如：矩阵23.与矩阵 合同的矩阵是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.
40、 C.D.解析：解析 A 是实对称矩阵，为确定与 A 合同的矩阵时，需先求出 A 的秩及正惯性指数方法 1 由 A 写出二次型，并用配方法得从而 A 的秩为 3，且正惯性指数为 2，与(B)中矩阵的秩和正惯性指数相同，故选(B)方法 2 对 A 采用相同的初等行、列变换化为对角矩阵(因不需求合同变换矩阵 P，故不必构造矩阵进行化简)24.正定实二次型的矩阵必是(A) 实对称矩阵且所有元素为正数 (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数 (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 正定矩阵必是实对称矩阵，正定矩阵的充分
41、必要条件是顺序主子式全大于零故应选(C)正定矩阵的所有元素不一定为正数，只要能保证顺序主子式为正数即可，故选项(A)不对；副对角线上的元素为负数的实对称矩阵有可能是正定矩阵，故选项(B)不对；而反对称矩阵主对角线上的元素全为零，不可能是正定矩阵，所以选项(D)也不对25.n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是(A) A 有 n 个相异的特征值(B) AT有 n 个相异的特征值(C) A 有 n 个相异的特征向量(D) A 的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵 的充分必要条件是 A 有 n 个线性无
42、关的特征向量n 阶矩阵A 有 n 个不同的特征值时，必有 n 个线性无关的特征向量，则 A 必能对角化但 A 可对角化不一定必是因A 有 n 个相异的特征值，所以选项(A)只是矩阵可对角化的充分条件而不是必要条件若 n 阶矩阵 A 有 s 个不同的特征值，它们的重数分别为 n1，n 2，n s，且 n1+n2+ns=n，那么任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同，就是 n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，所以选项(D)是矩阵 A 可对角化的充分必要条件故应选(D)26.设矩阵 A 与 B 相似，则必有(A) A，B 同时可逆或不可逆 (B) A，B 有相同的特征向量(
43、C) A，B 均与同一个对角矩阵相似 (D) 矩阵 E-A 与 E-B 相等（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 如果矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 应该有相同的特征多项式乃至有相同的特征值由于相似矩阵相同的特征值对应的特征向量未必相同，故(B)不对另外，相似矩阵虽然特征值相同但不一定与同一个对角矩阵相似，因为对角矩阵的对角线元素相同但排列顺序未必相同，故(C)不对又相似矩阵有相同的特征多项式，即|E-A|=|E-B|，故(D)不对因此选(A)27.已知矩阵 ，则下列矩阵与 A 既相似又合同的是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 两
44、个实对称矩阵如果相似必然合同，因存在正交矩阵 Q，使 Q-1AQ=QTAQ=A，但合同不一定相似，所以只要找出与 A 相似的矩阵即可，由于 A 的特征值为 0，2，2，从而 A 与二、填空题(总题数：18，分数：25.00)28.设 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：a=c=0，b 任意）解析：解析 |E-A|=(-1) 2(-2) 2，所以 A 的特征值为 1= 2=1， 3= 4=2为使 A 可对角化，则A 对应二重特征值 1 和 2 应分别有 2 个线性无关的特征向量，即 r(E-A)=2，r(2E-A)=2由于29.若二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：1.00）
45、填空项 1:_ （正确答案：t2）解析：解析 二次型的矩阵为 ，可求得 A 的各阶顺序主子式30.已知 =(1，3，2) T，=(1，-1，2) T，B= T，苦矩阵 A，B 相似，则(2A+E) *的特征值为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1，5，5）解析：解析 由于 AB，所以 A 与 B 有相同的特征值而 ，于是31.设-1，5， 都是矩阵 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：2，线性无关，相互正交）解析：解析 因为 A 的行列式等于其所有特征值的乘积，即32.设 n 阶方阵 A 的各列元素之和都是 1，则 A 的特征值是_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 设 A=(aij)nn，由 A 的各列元素之和都是 1，得a1i+a2i+ani=1 (i=l，2，n)，用矩阵表示即为33.设 AP=PB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：PBP -1，A）解析：解析 由题设可知矩阵 P 可逆，则 A=PBP-1又34.设 A 是 2 阶实对称矩阵， 1， 2是 A 的两个不
