1、考研数学一-线性代数向量、线性方程组及答案解析(总分：99.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：38.00)1.设 A 为 n 阶方阵且|A|=0，则（分数：2.00）A.A 中必有两行(列)的元素对应成比例B.A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C.A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D.A 中至少有一行(列)的元素全为 02.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示D. 必不可由 ， 线性表示3.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m
2、线性表示，但不能南向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则（分数：2.00）A.m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B.m 不能由()线性表示，但可由()线性表示C.m 可由()线性表示，也可由()线性表示D.m 可由()线性表示，但不可由()线性表示4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 rn 那么在 A 的 n 个行向量中（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示5.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关
3、的充分条件是（分数：2.00）A.1，2，s 均不为零向量B.1，2，s 中任意两个向量的分量不成比例C.1，2，s 中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示D.1，2，s 中有一部分向量线性无关6.设 1 ， 2 ， m 均为 n 维列向量，那么，下列结论正确的是（分数：2.00）A.若 k11+k12+kmm，则 1，2，m 线性相关B.若对任意一组不全为零的数 k1，k2，km，都有 k11+k22+kmm0，则1，2，m 线性无关C.若 1，2，m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1，k2，km，都有k11+k12+kmm=0D.若 1+02+0m=0，则 1，2，m
4、线性无关7.设有任意两个 n 维向量组 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， 2 ， m 和 k 1 ，k 2 ，k m ，使( 1 +k 1 ) 1 +( m +k m ) m +( 1 -k 1 ) 1 +( m -k m ) m =0，则（分数：2.00）A.1，2，m，和 1，2，m 都线性相关B.1，2，m，和 1，2，m 都线性无关C.1，+1，m+m,1-1，m-m 线性无关D.1，+1，m+m,1-1，m-m 线性相关8.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（分数：2.00）A.1+2，2+1，3-1B.1+
5、2，2+1，1+22+3C.1+22，22+33，33+1D.1+2+3，21-32+23，31+52-539.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则对于任何常数 k，必有（分数：2.00）A.1，2，3，k1+2 线性无关.B.1，2，3，k1+2 线性相关.C.1，2，3，1+k2 线性无关.D.1，2，3，1+k2 线性相关.10.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k1，k2，ks，都有 k11+k22+kss0，
6、则1，2，s 线性无关.B.若 1，2，s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k2，ks，都有k11+k22+kss0.C.1，2，s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.D.1，2，s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.11.设向量组 1 =(1，-1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1,5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（分数：2.00）A.1，2，3.B.1，2，4.C.1，2，5.D.1，2，3，5.12.设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则
7、 Ax=0 有非零解的充分必要条件是（分数：2.00）A.r=nB.rnC.rnD.rn13.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性无关14.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()：Ax=0 和()：A T Ax=0，必有（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解
8、15.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（分数：2.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解16.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量17.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（分数：2.00）A
9、.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解18.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解19.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2
10、，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，C 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x 等于 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：12.00)20.设 3 阶矩阵 （分数：1.50）21.设向量组 1 =(a，0，c)， 2 =(b，c，0)， 3 =(0，a，b)线性无关，则 a，b，c 必满足关系式 1。 （分数：1.50）22.已知向量组 1 =(1，2，-1，1)， 2 =(2，0，t，0)， 3 =(0，-4，5，-2)的秩为 2，则 t= 1。 （分数：1.50）23.已知 R 3 中的两个基为 （分数：1.50
11、）24.若线性方程组 （分数：1.50）25.设 （分数：1.50）26.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1。 （分数：1.50）27.设方程 （分数：1.50）三、计算证明题(总题数：26，分数：49.00)设有 3 维列向量 （分数：3.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表达式唯一?（分数：1.00）_(2). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表达式不唯一?（分数：1.00）_(3). 不能有 1 ， 2 ， 3 线性表示?（分数：1.00）_已知 1 =(1，4，0，2)
12、T ， 2 =(2，7，1，3) T ， 3 =(0，1，-1，) T ，=(3，10，b，4)T，问：（分数：2.00）(1).a，b 取何值时， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出?（分数：1.00）_(2).a，b 取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出?并写出此表示式（分数：1.00）_28.已知向量组 与向量组 （分数：1.00）_设向量组 1 =(，2，10) T ， 2 =(-2，1，5)T， 3 =(-1，1，4) T ，=(1，b,c) T 。试问：当 a，b，c 满足什么条件时，（分数：3.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表现出来，且表示唯一?（分数
13、：1.00）_(2). 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出?（分数：1.00）_(3). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式（分数：1.00）_29.设有向量组()： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，-1，a+2) T 和向量组()： =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 试问：当 a 为何值时，向量组()与()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价? （分数：1.00）_设 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，-3a) T ， 3 =(-1，
14、-b-2，a+2b) T ，=(1，3，-3) T ，试讨论当 a，b 为何值时，（分数：3.00）(1). 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示?（分数：1.00）_(2). 可由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示?（分数：1.00）_(3). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不唯一?（分数：1.00）_设 1 =(1，1，1)， 2 =(1，2，3)， 3 =(1，3，t)（分数：3.00）(1).问当 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 2 线性无关?（分数：1.00）_(2).问当 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 2 线性相关?（分数：1.00）_(3).当 1
15、， 2 ， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合（分数：1.00）_设向量组 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(-1，-3，5，1) T ， 3 (3，2，-1，p+2) T ， 4 =(-2，-6，10，p) T （分数：2.00）(1).p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出；（分数：1.00）_(2).p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组（分数：1.00）_30.设 4 维向量组 1 =(1+a，1，1，1) T ， 2 =(2，2+a，2，2) T
16、， 3 =(3，3，3+a，3) T ， 4 =(4，4，4，4+a) T ，问 a 为何值时 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出 （分数：1.00）_31.解线性方程组 （分数：1.00）_32.已知线性方程组 （分数：1.00）_已知线性方程组 （分数：3.00）(1).a，b 为何值时，方程组有解?（分数：1.00）_(2).方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系（分数：1.00）_(3).方程组有解时，求出方程组的全部解（分数：1.00）_33.k 为何值时，线性方程组
17、 （分数：1.00）_34.设线性方程组 （分数：1.00）_35.对于线性方程组 （分数：1.00）_36.已知线性方程组 （分数：1.00）_37. 取何值时，方程组 （分数：1.00）_已知下列非齐次线性方程组()，()： （分数：2.00）(1).求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解（分数：1.00）_(2).当方程组中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解?（分数：1.00）_38.设 （分数：1.00）_设线性方程组 （分数：2.00）(1).方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（分数：1.00）_(2).该方程组满足 x 2 -x 3
18、 的全部解（分数：1.00）_已知 3 阶矩阵 B0，且 B 的每一列向量都是以下方程组的解 （分数：2.00）_(2).证明|B|=0（分数：1.00）_39.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若 1 = 1 +t 2 ， 2 = 2 +t 3 ， 3 = 3 +t 4 ， 4 = 4 +t 1 ，讨论实数 t 满足什么关系时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 也是 Ax=0 的一个基础解系 （分数：1.00）_40.设齐次线性方程组 （分数：1.00）_设 4 元齐次线性方程组()为 （分数：5.00）(1).求方程组()的一个基础解系； 1=(5，-3
19、，1，0) T， 2=(-3，2，0，1) T（分数：2.50）_(2).当 a 为何值时，方程组()与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解（分数：2.50）_已知齐次线性方程组 其中 （分数：5.00）(1).方程组仅有零解；（分数：2.50）_(2).方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系（分数：2.50）_41.设有齐次线性方程组 （分数：1.00）_考研数学一-线性代数向量、线性方程组答案解析(总分：99.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：38.00)1.设 A 为 n 阶方阵且|A|=0，则（分数：2.00）A.A 中必有两行
20、(列)的元素对应成比例B.A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C.A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 D.A 中至少有一行(列)的元素全为 0解析：2.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示解析：3.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能南向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则（分数：2.00）A.m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B.m 不能由()
21、线性表示，但可由()线性表示C.m 可由()线性表示，也可由()线性表示D.m 可由()线性表示，但不可由()线性表示 解析：4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 rn 那么在 A 的 n 个行向量中（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示解析：5.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是（分数：2.00）A.1，2，s 均不为零向量B.1，2，s 中任意两个向量的分量不成比例C.1，2，s 中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示 D.1，
22、2，s 中有一部分向量线性无关解析：6.设 1 ， 2 ， m 均为 n 维列向量，那么，下列结论正确的是（分数：2.00）A.若 k11+k12+kmm，则 1，2，m 线性相关B.若对任意一组不全为零的数 k1，k2，km，都有 k11+k22+kmm0，则1，2，m 线性无关 C.若 1，2，m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1，k2，km，都有k11+k12+kmm=0D.若 1+02+0m=0，则 1，2，m 线性无关解析：7.设有任意两个 n 维向量组 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， 2 ， m 和 k 1 ，k 2 ，k m
23、，使( 1 +k 1 ) 1 +( m +k m ) m +( 1 -k 1 ) 1 +( m -k m ) m =0，则（分数：2.00）A.1，2，m，和 1，2，m 都线性相关B.1，2，m，和 1，2，m 都线性无关C.1，+1，m+m,1-1，m-m 线性无关D.1，+1，m+m,1-1，m-m 线性相关 解析：8.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（分数：2.00）A.1+2，2+1，3-1B.1+2，2+1，1+22+3C.1+22，22+33，33+1 D.1+2+3，21-32+23，31+52-53解析：9.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性
24、无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则对于任何常数 k，必有（分数：2.00）A.1，2，3，k1+2 线性无关. B.1，2，3，k1+2 线性相关.C.1，2，3，1+k2 线性无关.D.1，2，3，1+k2 线性相关.解析：10.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k1，k2，ks，都有 k11+k22+kss0，则1，2，s 线性无关.B.若 1，2，s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1，k2，ks，都有k11+k22+kss0. C.1
25、，2，s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.D.1，2，s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.解析：11.设向量组 1 =(1，-1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，-2，2，0)， 5 =(2，1,5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（分数：2.00）A.1，2，3.B.1，2，4. C.1，2，5.D.1，2，3，5.解析：12.设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 Ax=0 有非零解的充分必要条件是（分数：2.00）A.r=nB.rnC.rn D.rn解析：13.设 A 为 mn 矩
26、阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性无关解析：14.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()：Ax=0 和()：A T Ax=0，必有（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：15.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（分数：2.00）A.
27、当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解 解析：16.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量解析：17.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 A
28、x=b 有无穷多解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解 解析：18.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解解析：19.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，C 表
29、示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x 等于 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：二、填空题(总题数：8，分数：12.00)20.设 3 阶矩阵 （分数：1.50）解析：-121.设向量组 1 =(a，0，c)， 2 =(b，c，0)， 3 =(0，a，b)线性无关，则 a，b，c 必满足关系式 1。 （分数：1.50）解析：abc022.已知向量组 1 =(1，2，-1，1)， 2 =(2，0，t，0)， 3 =(0，-4，5，-2)的秩为 2，则 t= 1。 （分数：1.50）解析：323.已知 R 3 中的两个基为 （分数：1.50）解析：24.若线性方程组
30、 （分数：1.50）解析：a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0；25.设 （分数：1.50）解析：(1，0，0) T26.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1。 （分数：1.50）解析：(1，0，0) T27.设方程 （分数：1.50）解析：-2三、计算证明题(总题数：26，分数：49.00)设有 3 维列向量 （分数：3.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表达式唯一?（分数：1.00）_正确答案：()解析：0 且 -3(2). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表达式不唯一?
31、（分数：1.00）_正确答案：()解析：=0(3). 不能有 1 ， 2 ， 3 线性表示?（分数：1.00）_正确答案：()解析：=-3已知 1 =(1，4，0，2) T ， 2 =(2，7，1，3) T ， 3 =(0，1，-1，) T ，=(3，10，b，4)T，问：（分数：2.00）(1).a，b 取何值时， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出?（分数：1.00）_正确答案：()解析：b2(2).a，b 取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出?并写出此表示式（分数：1.00）_正确答案：()解析：b=2，a1 时，有唯一表示式：=- 1 +2 2 +0 3 ； 当 b=2，a=1 时，=(-2k-1) 1 +(k+2) 2 +k 3 28.已知向量组 与向量组 （分数：1.00）_正确答案：()解析：a=15，b=5设向量组 1 =(，2，10) T ， 2 =(-2，1，5)T， 3 =(-1，1，4) T ，=(1，b,c) T 。试问：当 a，b，c 满足什么条件时
