1、考研数学一-线性代数矩阵的特征值和特征向量(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：100.00)设 A为 3阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：6.00）(1).求 A的所有特征值与特征向量（分数：3.00）_(2).求矩阵 A（分数：3.00）_1.证明 n阶矩阵 与 （分数：3.00）_2.设 3阶矩阵 A的特征值为-1，1，1，相应的特征向量分别为(1，-1，1) T ，(1，0，-1) T ，(1，2，-4) T ，求 A 100 （分数：3.00）_3.3阶矩阵 A的特征值为 1，-1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，
2、 3 ，若 B=A 2 -2A+3E，试求 B -1 的特征值和特征向量 （分数：3.00）_4.3阶矩阵 A的特征值分别为 1，2，-3，B=A 3 -7A+5E，求矩阵 B （分数：3.00）_5.3阶矩阵 A与对角阵 （分数：3.00）_6.设 A为 n阶非零矩阵，存在某正整数 m，使 A m =O，求 A的特征值，并证明 A不与对角阵相似 （分数：3.00）_下列矩阵是否相似于对角阵?为什么? (1) ；(2) （分数：6.00）_7.已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 （分数：3.00）_设矩阵 与 （分数：6.00）(1).求 x和 y的值；（分数：3.00）_(2).求可逆矩
3、阵 P，使 P -1 AP=B（分数：3.00）_8.设 3阶矩阵 A满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，求矩阵 A （分数：2.00）_9.设 1 ， 2 是 n阶方阵 A的两个不同特征值，X 1 、X 2 分别为属于 A。、A。的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A的特征向量 （分数：2.00）_10.设 （分数：2.00）_11.设 （分数：2.00）_12.设 4阶方阵 A满足条件 （分数：2.00）_13.设 与 （分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.设
4、（分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0记 n阶矩阵 A= T ，求：(1)A 2 ；(2)矩阵 A的特征值和特征向量 （分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.已知 3阶实对称矩阵 A的特征值为 6，3，3， 1 =(1，1，1) T 是属于特征值 1 =6的特征向量，求矩阵 A （分数：2.00）_20.已知矩阵 A=(a ij ) nn (n2)的秩为 n-1，求 A的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量 （分数：2.00）_21.设
5、n阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A有 n个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵 （分数：2.00）_22.若矩阵 （分数：2.00）_23.设矩阵 可逆，向量 （分数：2.00）_设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 为 R n 中的非零向量，方阵 A= T （分数：4.00）(1).证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 A m =t m-1 A，并求出 t；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP为对角阵 A（分数：2.00）_设 n阶矩阵 （分数：4.00）(1).求 A的特征值和特征向量；（分数
6、：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_设三阶实对称矩阵的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，O) T ， 2 =(2，1，1) T 3 =(-1，2，-3) T 都是 A的属于特征值 6的特征向量（分数：4.00）(1).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3，A2=22+3，A3=22+3336. 求矩阵 B，使 A1，2，3=1，2，3B；由题设条件，
7、有A1，2，3=A1，A2，A3=1+2+3，22+3，22+33=1，2，3*所以，*37. 求 A的特征值；记矩阵 C=1，2，3，则由(1)知 AC=CB，又因 1，2，3 是线性无关的 3维列向量，知 C为 3阶可逆方阵，故得 C-1AC=B，计算可得 B特征值为 1= 2=1， 3=4，因相似矩阵有相同特征值，得 A的特征值为 1= 2=1， 3=438. 求一个可逆矩阵 P，使得 P-1AP为对角矩阵对于 1= 2=1，解方程组(E-B)x=0，得基础解系 1=(-1，1，0) T，2=(-2，0，1) T；对应于 3=4，解方程组(4E-B)x=0，得基础解系 3=(0，1，1)
8、T令矩阵*则有*，因 Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵P=CQ=1，2，3*=-1+2，-21+3，2+3则有 P-1AP=diag(1，1，4)，故 P为所求的可逆矩阵（分数：6.00）(1).求矩阵 B，使 A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 B；（分数：2.00）_(2).求 A的特征值；（分数：2.00）_(3).求一个可逆矩阵 P，使得 P -1 AP为对角矩阵（分数：2.00）_24.设 3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0的两个解，求出矩阵 A
9、及 （分数：2.00）_设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 为 A的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 （分数：6.00）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性无关；（分数：3.00）_(2).令 P= 1 ， 2 ， 3 ，求 P -1 AP（分数：3.00）_25.设 ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵.若 Q的第 1列为 （分数：3.00）_考研数学一-线性代数矩阵的特征值和特征向量(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：100.00)设 A为 3阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：6.
10、00）(1).求 A的所有特征值与特征向量（分数：3.00）_正确答案：()解析：由于 A的秩为 2，故 0是 A的一个特征值由题设可得 ， 所以，-1 是 A的一个特征值，且属于-1 的特征向量为 k 1 (1，0，-1) T ，k 1 为任意非零常数；1 也是A的一个特征值，且属于 1的特征向量为 k 2 (1，0，1) T ，k 2 为任意非零常数 设 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 A的属于 O的特征向量，由于 A为实对称矩阵，A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，则 即 (2).求矩阵 A（分数：3.00）_正确答案：()解析：令矩阵 ，则 ，于是 本题综合考查矩阵分
11、块乘法、特征值与特征向量、逆矩阵、方阵的相似对角化等基本知识及其应用注意，对本题()中齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，得 由此得一般解 1.证明 n阶矩阵 与 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证 1 设矩阵 ， 因为 所以 A与 B有相同的特征值 1 =n， n =0(n-1重)由于 A为实对称矩阵，所以 A相似于对角矩阵 因为 r( 2 E-B)=r(B)=l，所以 B的对应于特征值 2 =0有 n-1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知 B也相似于 A再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知 A与 B也相似 证 2 设存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP
12、=B，或 AP=PB，设 P按列分块为 P=p 1 ，p 2 ，p n ，则 Ap 1 =0，Ap n-1 =0，Ap n =p 1 +2p 2 + +np n 由解上面的方程组，可求出可逆矩阵 2.设 3阶矩阵 A的特征值为-1，1，1，相应的特征向量分别为(1，-1，1) T ，(1，0，-1) T ，(1，2，-4) T ，求 A 100 （分数：3.00）_正确答案：()解析：由条件知 3阶方阵 A有 3个线性无关的特征向量，故 A可相似对角化即存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=diag(-1，1，1)， A=Pdiag(-1，1，1)P -1 ， 3.3阶矩阵 A的特征值为 1，
13、-1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，若 B=A 2 -2A+3E，试求 B -1 的特征值和特征向量 （分数：3.00）_正确答案：()解析：对于 A的特征值 i ，有 (i=1，23；m=1，2，)，故 B 1 =(A 2 -2A+3E) 1 =A 2 1 -2A 1 +3 1 = =(1 2 -21+3) 1 =2 1 ，类似地有 B 2 =(-1) 2 -2(-1)+3 2 =6 2 ，B 3 =0 2 -2xO+3 3 =3 3 因此，B 有特征值 2，6，3(由 B为 3阶方阵知这就是 B的全部特征值)，对应的线性无关特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ， B=26
14、30，故 B可逆，再由特征值的性质知 B -1 的全部特征值为 4.3阶矩阵 A的特征值分别为 1，2，-3，B=A 3 -7A+5E，求矩阵 B （分数：3.00）_正确答案：()解析：-EB 的特征值为-1，-1，-1，由 A相似于对角阵，知 B相似于对角阵，故有可逆阵 P，使 P -1 BP=-E， 5.3阶矩阵 A与对角阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：存在可逆阵 P，使 P -1 AP=D，故 A=PDP -1 ， B=(PDP -1 - 1 PP -1 )(PDP -1 - 2 PP -1 )(PDP -1 - 3 PP -1 )=P(D- 1 E)P -1 P(D- 2
15、 E)P -1 P(D- 3 E)P -1 =P(D- 1 E)(D- 2 E)(D- 3 E)P -1 = 6.设 A为 n阶非零矩阵，存在某正整数 m，使 A m =O，求 A的特征值，并证明 A不与对角阵相似 （分数：3.00）_正确答案：()解析：设 为 A的任一特征值，X 为对应的特征向量，则有 Ax=x，两端左乘 A，得 A 2 z=Ax= 2 x，再左乘 A，得 A 3 x= 3 x，一般地可得 A m x= m x，因 A m =O，得 x=0，因 x0，得 =0，故A的特征值全为 0因 r(0E-A)=r(-A)1，故(0E-A)x=0 的基础解系最多含 n-1个向量，故 A
16、没有 n个线性无关的特征向量亦可用反证法证明 A不相似于对角阵下列矩阵是否相似于对角阵?为什么? (1) ；(2) （分数：6.00）_正确答案：()解析：是因该 3阶方程有 3个两两不同的特征值 1，2，3；_正确答案：()解析：否因该 4阶方阵 A的线性无关特征向量只有 2个：特征值为 1 = 2 = 3 = 4 =1，而 E-A的秩为 2，故(E-A)x=0 的基础解系含 2个向量，即 A的线性无关特征向量只有 2个7.已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：由条件有 A -1 =，两端左乘 A，得 A=，即 ， 对照上式两端的对应分量得方程组 由
17、此解得 k=-2，=1；或 k=1， 设矩阵 与 （分数：6.00）(1).求 x和 y的值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：由条件知 A的特征值为 1 =-1， 2 =2， 3 =y，故有 0=-E-A-(-1) 3 E+A=-E+A=- =2x， (2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B（分数：3.00）_正确答案：()解析：对于 1 =-1，由-E-AE+A= ，得对应于 1 =-1的线性无关特征向量可取为 1 =(0，2，-1) T ；类似可求出对应于 2 =2， 3 =-2的线性无关特征向量分别可取为 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，0，-1) T 因此，令矩
18、阵 8.设 3阶矩阵 A满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T ，求矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：()解析：由条件知 1 ， 2 ， 3 分别是 A的对应于特征值 1，2，3 的特征向量，因此 A可相似对角化，令矩阵 ， 则有 9.设 1 ， 2 是 n阶方阵 A的两个不同特征值，X 1 、X 2 分别为属于 A。、A。的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A的特征向量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：可用反证法：若 X 1 +X 2 是 A的属于特征值 0 的特征向量，则
19、有 A(X 1 +X 2 )= 0 (X 1 +X 2 )得 AX 1 +AX 2 = ，因为 X 1 与 X 2 线性无关， 10.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-1，A 有 3个线性无关特征向量 A的属于 1 = 2 =1的线性无关特征向量有 2个 矩阵 的秩为 11.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：求3E-A=8(2-y)=0， y=2(2)A T =A，可知(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P，由配方法：X T A 2 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )A 2 (x 1 ，x 2
20、 ，x 3 ，x 4 ) T = ，令 ，即 X=PY 则 故所求可逆阵 且使 若用正交矩阵化实对称阵 A。为对角阵，则可取 且使 12.设 4阶方阵 A满足条件 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 知 A有一个特征值 ，由 AA T =2I， A 2 =2 4 =16，及A * 有一个特征值为 13.设 与 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 解得 a=5，b=6，计算可得对应于特征值 2，2；6 的线性无关特征向量分别可取为 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ， 3 =(1，-2，3) T ，于是可取 P= 1 2 3 = 14.设 （分数：2.00
21、）_正确答案：()解析：由 =(+1) 2 (-1)=0，得 A的全部特征值为 1 = 2 =-1， 3 =1故 A可对角化 A的属于 2重特征值 1 = 2 =-1的线性无关特征向量有 2个方程组(-E-A)x=0 的基础解系含2个向量 r(-E-A)= 当 k=0时，可求出 A的对应于特征值-1，-1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1 =(-1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ； 3 =(1，0，1) T ，故令 P= 1 2 3 = 15.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由条件知方程组(2E-A)x=0 的基础解系含 2个向量，故 2E-A的秩为 1，得 x=
22、2，y=-2， ，使 16.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由条件知17.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0记 n阶矩阵 A= T ，求：(1)A 2 ；(2)矩阵 A的特征值和特征向量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：(1)由于 T = T =0，故 A 2 = T T =( T ) T =(0) T =O(2)因 A 2 =O，故 A的特征值全为零因 0，0，不妨设 a 1 0，b 1 0，则由 则 A的属于特征值 0的线性无关特征向量为 18.设 （分数：2.00）_正确答案：(
23、)解析：易求得实对称矩阵 A的特征值为 2，2，0，故存在可逆矩阵 P，使 ，故 P -1 BP=P -1 (kE+A) 2 =P -1 (kE+A)P=(kE+P -1 AP) 2 = =D，即 B与对角矩阵 D相似；且由 D知 B的特征值为(2+k) 2 ，(2+k) 2 ，k 2 ，因为实对称矩阵正定当且仅当它的特征值都大于零，故 B正定 19.已知 3阶实对称矩阵 A的特征值为 6，3，3， 1 =(1，1，1) T 是属于特征值 1 =6的特征向量，求矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：()解析：设 A的属于特征值 2 = 3 =3的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )
24、 T ，则由实对称矩阵的性质，有 0=，t=x 1 +x 2 +x 3 ，解这个齐次线性方程得其基础解系为 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，1，-2) T ，则 2 ， 3 就是属于 2 = 3 =3的线性无关特征向量 1 ， 2 ， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得 A的标准正交的特征向量为 ，于是得正交矩阵 由此得 20.已知矩阵 A=(a ij ) nn (n2)的秩为 n-1，求 A的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 A * A=AE=O，知 A的 n-1个线性无关的列向量都是方程组 A * X=0的解向量，即 =0 至少
25、是 A * 的 n-1重特征值，而上述 n-1个列向量即为对应的线性无关的特征向量又由全部特征值之和等于A 11 +A 22 +A nn (A ij 为 a ij 的代数余子式)，故 A * 的第 n个特征值为 ，由 r(A * )=1，故A * 的列成比例，不妨设 A 11 0，则有常数 k 2 ，k n ，使 于是 A 11 +A 22 +A nn =A 11 +k 2 A 12 +k n A 1n ，且有 可推知(A 11 ，A 12 ，A 1n ) T 为 A * 的对应于特征值 21.设 n阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A有 n个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向
26、量都是 B的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由于 A有 n个互不相同特征值，故 A有 n个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)必成立，故只需证明(1)设 为 A之特征向量，则有数 ，使 A=，两端左乘 B，并利用 BA=AB，得A(B)=(B)，若 B0，则 B 亦为 A的属于特征值 的特征向量，因(E-A)x=0 的解空间为 1维的，故有数 ，使 B=，故 亦为 B之特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B的属于特征值0的特征向量总之， 必为 B之特征向量，由于 的任意性，说明 A的特征向量都是 B的特征向量22.若矩阵 （分数：
27、2.00）_正确答案：()解析：A 的特征值为 1 = 2 =6， 3 =-2，由 A相似于对角阵知矩阵 6E-A的秩为 1， ，可使 23.设矩阵 可逆，向量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：设 A * 的属于特征值 的特征向量为 A，则由 A可逆知 A * 可逆，有 A0，A * =， ，比较两端对应分量得方程组 ，解之得 b=1或 b=-2，a=2，再由A=3a-2=4， 设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 为 R n 中的非零向量，方阵 A= T （分数：4.00）(1).证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 A m =t m-1 A，并求出 t；（分数：2.00）_
