1、考研数学一-线性代数行列式、矩阵(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：20，分数：20.00)1.设矩阵 A= （分数：1.00）2.设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E- T 的秩为 1 （分数：1.00）3.设 A=(a ij )是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则A= 1 （分数：1.00）4.设 （分数：1.00）5.设 （分数：1.00）6.设 （分数：1.00）7.设 n(n3)阶方阵 （分数：1.00）8.设 （分数：1
2、.00）9.设 （分数：1.00）10.设 A、B 分别为 m 阶和 n 阶方阵，且A=a，B=b，则行列式 （分数：1.00）11.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A * 的秩为 1 （分数：1.00）12.设 A、B 均是 n 阶矩阵，且A=2，B=-3，A * 为 A 的伴随矩阵，则行列式2A * B -1 = 1 （分数：1.00）13.设 （分数：1.00）14.设 为 3 维列向量 T 是 的转量若 （分数：1.00）15.设三阶方阵 A、B 满足 A 2 B-A-B=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 （分数：1.00）16.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T
3、，a T ， （分数：1.00）17.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵已知 AB=2A+B，B= （分数：1.00）18.设 （分数：1.00）19.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1 （分数：1.00）20.已知 1 ， 2 均为 2 维向量，矩阵 A=2 1 + 2 ， 1 - 2 ，= 1 ， 2 ，若行列式A=6，则B= 1 （分数：1.00）二、选择题(总题数：10，分数：20.00)21.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵若A=2，B=3，则
4、分块矩阵 的伴随矩阵为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则_（分数：2.00）A.秩 r(A)=m，秩 r(B)=mB.秩 r(A)=m，秩 r(B)=nC.秩 r(A)=n，秩 r(B)=mD.秩 r(A)=n，秩 r(B)=n23.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵记 P 1 = ，P 2 = ，则 A=_ AP 1 P 2 B CP 2 P 1 D （分数：2.00）A.B.C.D.24.设 A 为 3
5、 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵且 P -1 AP= 若 P=( 1 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q -1 AQ=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 A、B、A+B、A -1 +B -1 均为 n 阶可逆方阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =_ A.A-1+B-1 B.A+B C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1（分数：2.00）A.B.C.D.26.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C.D.27.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0D.a
6、b 且 a+2b028.设矩阵 （分数：2.00）A.2B.3C.4D.529.设 （分数：2.00）A.B.C.D.30.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为_ A B3 C D （分数：2.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：13，分数：60.00)31.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：4.00）_32.设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，A+B=0，证明：A+B=0 （分数：4.00）_设
7、（分数：8.00）(1).求 A n (n=2，3，)；（分数：4.00）_(2).若方阵 B 满足 A 2 +AB-A=E，求矩阵 B（分数：4.00）_33.设 A、B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，证明 A-E 可逆，并求(A-E) -1 （分数：4.00）_34.设有矩阵 A mn ，B nm 已知 E m -AB 可逆，证明：E n -BA 可逆，且(E n -BA) -1 -E n +B(E m -AB) -1 A （分数：4.00）_35.设 A 为 mn 矩阵，证明： （分数：4.00）_36.设 A=(a ij )为 n 阶方阵，证明：对任意的 n 维列向量 X，都
8、有 （分数：4.00）_37.设实方阵 A=(a ij ) 44 满足：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0求A （分数：4.00）_38.设 A * 是 A 33 的伴随矩阵， （分数：4.00）_39.设 （分数：4.00）_40.设 3 阶矩阵 A 的逆阵为 （分数：4.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：8.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：4.00）_(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：4.00）_41.已知矩阵
9、（分数：4.00）_考研数学一-线性代数行列式、矩阵(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：20，分数：20.00)1.设矩阵 A= （分数：1.00）解析：1 解 利用矩阵乘法，容易计算得 2.设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E- T 的秩为 1 （分数：1.00）解析：2 解 1 若取单位向量 =(1，0，0) T ，则矩阵 的秩为 2，本题作为填空题，要求一般成立的结果，自然应对个例成立，所以矩阵 E= T 的秩为 2 解 2 设 3 维单位列向量 ， 矩阵 的左上角的 2 阶子式为 ，所以矩阵 E- T 的秩至少是 2；又
10、由 T =1，得(E- T )=-( T )=0，知齐次线性方程组(E- T )x=0 存在非零解 ，所以矩阵 E- T 的秩小于 3，综上知矩阵 E- T 的秩为 2 解 3 记矩阵 A=E- T ，则由 T =1，易得 A 2 =A，由此知 A 不可逆(否则 A 可逆，用 A -1 左乘 A 2 =A 两端，得 A=E，这与 AE 矛盾(若 A=E，则 T =O，但 T 0)，所以 A 不可逆(由此也可知 A的秩小于 3)，因此 A 有特征值为 0设 A 按列分块为 A=( 1 ， 2 ， 3 )，则由 A 2 =A 可得 A j = j (j=1，2，3)，这表明 j 是 A 的属于特征
11、值 1 的特征向量以上说明 A 有特征值 1 =0， 2 =1再由 A 的全部特征值之和=A 的主对角线元素之和= 3.设 A=(a ij )是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则A= 1 （分数：1.00）解析：-1 解 由 AO，不妨设 a 11 0，由已知的 A ij =-a ij (i，j=1，2，3)，得 4.设 （分数：1.00）解析：2 秩(AB)=秩(A)=25.设 （分数：1.00）解析：-3t=-3BA=O 且 BO 时，必有A=06.设 （分数：1.00）解析：B=(A+2E)
12、-1 (A 2 -4E)=(A+2E) -1 (A+2E)(A-2E) 7.设 n(n3)阶方阵 （分数：1.00）解析：或 a=1，而当 a=1 时，有 r(A)=1；则当 时，有 r(A)=n-1.8.设 （分数：1.00）解析：B=8(2E-A * ) -1 A -1 =8A(2E-A * ) -1 =8(2A-AA * ) -1 =8(2A-AE) -1 =8(2A+2E) -1 9.设 （分数：1.00）解析：0 因 A 2 =2A，故当 n=2 时，A n -2A n-1 =A 2 -2A=O；当 n2 时，A n -2A n-1 =A n-2 (A2-2A)=A n-2 O=O，
13、故恒有 A n -2A n-1 =O(n2).10.设 A、B 分别为 m 阶和 n 阶方阵，且A=a，B=b，则行列式 （分数：1.00）解析：(-1) mn ab. 可用行列式的拉普拉斯展开法则，或经 mm 次相邻两列的互换，得 11.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A * 的秩为 1 （分数：1.00）解析：0 当 r(A 44 )=2 时，A 中 3 阶子式全为零 12.设 A、B 均是 n 阶矩阵，且A=2，B=-3，A * 为 A 的伴随矩阵，则行列式2A * B -1 = 1 （分数：1.00）解析： 2A * B -1 =2 n A * B -1 =2 n A n
14、-1 B -1 = 13.设 （分数：1.00）解析： E+B=E+(E+A) -1 (E-A)，两端左乘 E+A，得 (E+A)(E+B)=E+A+E-A=2E 14.设 为 3 维列向量 T 是 的转量若 （分数：1.00）解析：3 设 ，则 故 15.设三阶方阵 A、B 满足 A 2 B-A-B=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 （分数：1.00）解析：.由题设方程解得(A-E)B=E，两端取行列式，得 2B=1，故 .16.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T ，a T ， （分数：1.00）解析：-1 由 T =2a 2 ，及 ， 得 17.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单
15、位矩阵已知 AB=2A+B，B= （分数：1.00）解析： 由题设方程得(A-E)B-2A=O. 18.设 （分数：1.00）解析： 由于 ，A 4 =(A 2 ) 2 =E，A 2004 =(A 4 ) 501 =E 501 =E， 故 B 2004 -2A 2 =P -1 A 2004 P-2A 2 =E-2A 2 = 19.设 A=(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1 （分数：1.00）解析： 由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 ，又 A -1 =A T ，故方程组Ax=b 的解为 x=A -
16、1 b=A T b= 20.已知 1 ， 2 均为 2 维向量，矩阵 A=2 1 + 2 ， 1 - 2 ，= 1 ， 2 ，若行列式A=6，则B= 1 （分数：1.00）解析：-2 A=2 1 + 2 ， 1 - 2 = 1 ， 2 二、选择题(总题数：10，分数：20.00)21.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解 1 记矩阵 ，则 C 的的行列式 ，因此 C 为可逆矩阵，由公式 CC * =CE，得 故只有选项 B 正确 解 2 记矩阵 ，并记
17、C的(i，j)元素的代数余子式为 A ij (i，j=1，2，3，4)，则计算可得： A 11 =0，A 21 =0，A 31 =Ah，A 41 =-Af， A 12 =0，A 22 =0，A 32 =Ag，A 42 =Ae， A 13 =Bd，A 23 =-Bb，A 33 =0，A 43 =0， A 14 =-Bc，A 24 =Ba，A 34 =0，A 44 =0 于是由伴随矩阵的定义(C * 的(i，j)元为 A ji )，得 ， 其中 22.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则_（分数：2.00）A.秩 r(A)=m，秩 r(B)=m B.秩
18、 r(A)=m，秩 r(B)=nC.秩 r(A)=n，秩 r(B)=mD.秩 r(A)=n，秩 r(B)=n解析：解 由于 m=r(E)=r(AB)r(A)m，所以有 r(A)=m，同理有 r(B)=m 本题主要考查矩阵的秩的概念及“乘积矩阵的秩不大于每个因子矩阵的秩”这一性质的应用本题的逆命题也成立，即：若 r(A mn )=m，则必存在矩阵 B nm ，使 AB=E；对称地有：若 r(B nm )=m，则必存在矩阵 A mn 使 AB=E，并称 A 为 B 的左逆，称 B 为 A 的右逆23.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第
19、 3 行得单位矩阵记 P 1 = ，P 2 = ，则 A=_ AP 1 P 2 B CP 2 P 1 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解 由题设条件有 P 2 AP 1 =I，两端左乘 ，两端右乘 ，得 ，因 ，而 24.设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵且 P -1 AP= 若 P=( 1 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q -1 AQ=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解 1 其中，矩阵 M= ，易求出 M -1 = 于是，Q -1 AQ=(PM) -1 A(PM)=M -1 (P -1 AP)M . 因此选
20、 B. 解 2 已知 两端左乘 Q -1 ，得 Q -1 AQ= ，故选 B 解 3 由已知 A 相似于对角矩阵 diag(1，1，2)，知 1 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2 1 + 2 0(否则 1 ， 2 线性相关，与 1 ， 2 ， 3 线性无关矛盾)，且 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 + 2 ，因此 1 + 2 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量 从而知 1 + 2 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 ( 1 + 2 ， 2 ， 3 )
21、 -1 A( 1 + 2 ， 2 ， 3 )=diag(1，1，2)，即 Qq -1 AQ=diag(1，1，2)因此选 B 本题主要考查矩阵乘法、特别是矩阵乘法的按列表示的应用解 I 中矩阵 M 是一个第 3 类初等矩阵，求其逆阵可以直接利用初等矩阵的求逆阵公式 本题中，矩阵 Q 的可逆性可以根据 Q 的 3 个列向量线性无关而知道，也可以由 Q=( 1 ， 2 ， 3 ) 25.设 A、B、A+B、A -1 +B -1 均为 n 阶可逆方阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =_ A.A-1+B-1 B.A+B C.A(A+B)-1B D.(A+B)-1（分数：2.00）A.B.C. D
22、.解析：由(A -1 +B -1 )A(A+B) -1 B=(E+B -1 A)(A+B) -1 B=B -1 (B+A)(A+B) -1 B=B -1 B=E或 A(A+B) -1 B=B -1 (A+B)A -1 -1 =(B -1 AA -1 +B -1 BA -1 ) -1 =(B -1 +A -1 ) -1 =(A -1 +B -1 ) -1 即知只有 C正确26.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：AB=(I- T )(I+2 T )=I+2 T - T -2 T T =I+ T -2 T ( T )，而 27.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.a=b 或
23、a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0 D.ab 且 a+2b0解析：由 r(A * )=1，知 A * 至少有一个元素 A ij =(-1) i+j M ij 0，其中 M ij 为 A 的(i，j)元素的余子式即 A 的一个 2 阶子式，故 r(A)2，又由 0=A * -A 2 ，知A=0，故得 r(A)=2由0=A=(a+2b)(a-b) 2 ，得 a=b 或 a+2b=0，若 a=b，则显然有 r(A)1，与 r(A)=2 矛盾，故 ab 且a+2b=028.设矩阵 （分数：2.00）A.2B.3C.4 D.5解析：由条件知存在可逆矩阵 P，使 P -1 A
24、P=B，故有 P -1 (A-2E)P=P -1 AP-2E=B-2E= ，P -1 (A-E)P=B-E= ，利用相似矩阵有相同的秩，得 r(A-2E)+r(A-E)= 29.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：利用初等变换与初等矩阵的关系，可得 B=AP 2 P 1 ，故 B -1 = 30.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为_ A B3 C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：由比较 A * =A T 对应元素知
25、 a ij =A ij (i，j=1，23)其中 A ij 为A中 a ij 的代数余子式，利用行列式按行展开法则得A= 又由 A * =A T 两端取行列式得A 2 =A， ，故得 三、解答题(总题数：13，分数：60.00)31.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 1 由A * -A n-1 ，有A 3 =8，得A=2 又由题设方程，有 (A-E)BA -1 =3E 两端右乘 A，得 (A-E)B=3A 两端左乘 A，得 (E-A -1 )B=3E 即 亦即 (2E-A * )B=6E 又 2E-A * 为可逆矩阵，于是 B=6(2E-A * )
26、 -1 计算可得 因此 解 2 A=2(解法同解 1) 由 AA * =AE，得 A=A(A * ) -1 =2(A * ) -1 可见 A-E 为可逆矩阵，于是由(A-E)BA -1 =3E，有 B=3(A-E) -1 A 而 因此 32.设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，A+B=0，证明：A+B=0 （分数：4.00）_正确答案：()解析：由条件知A=1，B=1，且A=-B AB=-1，故A+B=AE+EB=AB 2 +A 2 B=A(B+A)B=AB+AB-A+B 设 （分数：8.00）(1).求 A n (n=2，3，)；（分数：4.00）_正确答案：()解
27、析：A 2 =4E，故 A 2k =(A 2 ) k =(4E) k =4 k E，A 2k+1 =A 2k A=4 k A(k=1，2，)(2).若方阵 B 满足 A 2 +AB-A=E，求矩阵 B（分数：4.00）_正确答案：()解析：由 B=A -1 (E+A-A 2 )=A -1 +E-A= 33.设 A、B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，证明 A-E 可逆，并求(A-E) -1 （分数：4.00）_正确答案：()解析：(A-E)(B-E)=E 34.设有矩阵 A mn ，B nm 已知 E m -AB 可逆，证明：E n -BA 可逆，且(E n -BA) -1 -E n
28、+B(E m -AB) -1 A （分数：4.00）_正确答案：()解析：只要验证(E n )E n +B(E m -AB) -1 A=E n .35.设 A 为 mn 矩阵，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：若 r(A)=n 存在可逆矩阵 P mm 及 Q nn ，使 PAQ= 为 A 的秩标准形 ，两端左乘Q O，得Q OPA=E n ，故 C=Q OP，使得 CA=E n 反之，若存在 C nm ，使得 CA=E n ，则 n=r(E n )=r(CA)r(A)n 36.设 A=(a ij )为 n 阶方阵，证明：对任意的 n 维列向量 X，都有 （分数：4.00）_正确答
29、案：()解析：必要性：取 X= j =(0，0，1，0，0) T (第 j 个分量为 1，其余分量全为零的 n 维列向量)，则由 0= ，及 ij 时，有 0=( i + j ) T A( i + j )= =0+a ij +a ji +0=a ij +a ji 可知 A 为反对称矩阵充分性：若 A T =-A，则 X T A T X=-X T AX，又 X T A T X 为 1 阶方阵，其转置不变，因而有 37.设实方阵 A=(a ij ) 44 满足：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0求A （分数：4.0
30、0）_正确答案：()解析：A+1.38.设 A * 是 A 33 的伴随矩阵， （分数：4.00）_正确答案：()解析：由 ，及 ，得 39.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：利用 AA * =AE=4E，用 A 左乘方程两端，得 4B=E+2AB， 40.设 3 阶矩阵 A 的逆阵为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：8.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：4.00）_正确答案：()解析：(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：4.00）_正确答案：()解析：由(1)得PQ=A 2 (b= T A -1 )，而PQ=PQ，且由条件知 A(b- T A -1 )，因而 Q 可逆 41.已知矩阵 （分数：4.00）_正确答案：()解析：由题设等式得(A-B)X(A-B)=E，故 X=(A-B) -1 (A-B) -1 =
