1、考研数学一-线性代数行列式及答案解析(总分：45.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：6.00)1.设矩阵 A=(aij)44，B=(b ij)44，且 aij=-2bij，则行列式|B|=（分数：1.00）A.2-4|A|B.24|A|C.-2-4|A|D.-24|A|2.设 A 为 3 阶矩阵，A j是 A 的第 j 列元素(j=1，2，3)，矩阵 B=(A3，3A 2-A3，2A 1+5A2)若|A|=-2，则|B|=（分数：1.00）A.7B.10C.12D.163.设 4 阶行列式 D4=|aij|，a 11=a12=a13=a14=m，m0，A ij表示元素
2、aij的代数余子式，则 A21+A22+A23+A24=（分数：1.00）A.B.0C.-mD.-D44.设 A 为 n 阶方阵，B 是只对换 A 中第 1 列与第 2 列所得的方阵，若|A|B|，则（分数：1.00）A.|A|可能为 0B.|A|0C.|A+B|0D.|A-B|05.设 n 阶行列式 D=|aij|n，A ij是 D 中元素 aij的代数余子式，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.B.C.D.6.设 33 矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2均为 3 维列向量，已知行列式|A|=2， （分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：1
3、2，分数：14.00)7.已知 （分数：1.00）填空项 1:_8.已知 4 阶行列式 ，M 4j，A 4j分别是元素 a4j(j=1，2，3，4)的余子式与代数余子式，则 ，（分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：1.00）填空项 1:_10.设行列式 （分数：1.00）填空项 1:_11.已知 （分数：1.00）填空项 1:_12.设 A=(aij)33，且 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij为元素 aij的代数余子式，a 110 则|A|=_，|A *|=_（分数：2.00）填空项 1:_13.设 n 阶行列式 Dn=|aij|，已知 aij=-aji，i，j=1
4、，2，n，n 为奇数，则 Dn=_（分数：1.00）填空项 1:_14.设 A，B 为 3 阶方阵，且|A|=2，|B|=-1，矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_15.设 A 为 3 阶矩阵，|A|=-2，将 A 按列分块为 A=( 1， 2， 3)，其中 j(j=1，2，3)是 A 的第 j列令 B=( 3-2 1，3 2， 1)，则|B|=_（分数：1.00）填空项 1:_16.设 A，B 都是 n 阶正交矩阵，且|A|=-|B|，则|A+B|=_（分数：1.00）填空项 1:_17.设 4 阶方阵 A 和 B 相似，如果 B*的特征值是 1，-1，2，4，则|A *|=_（分数：1.
5、00）填空项 1:_18.已知 1， 2， 3是线性非齐次方程组 Ax=b 的三个线性无关解向量， 1=a1 1+a2 2+a3 3， 2=b1 1+b2 2+b3 3， 3=c1 1+c2 2+c3 3，是对应线性齐次方程组 Ax=0 的解，则 （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：5，分数：25.00)19.计算 n 阶行列式（分数：5.00）_20.设 n 阶行列式 （分数：5.00）_21.设 A 是 n 阶(n2)非零实矩阵，其中元素 aij与其代数余子式 Aij相等，求|A|（分数：5.00）_22.计算行列式|E-2 T|，其中 E 为 n 阶单位矩阵，=(a 1，
6、a 2，a n)T为 n 维实列向量，且 T=1（分数：5.00）_23.已知 A，B 为 n 阶方阵，n 为奇数，且（分数：5.00）_考研数学一-线性代数行列式答案解析(总分：45.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：6.00)1.设矩阵 A=(aij)44，B=(b ij)44，且 aij=-2bij，则行列式|B|=（分数：1.00）A.2-4|A| B.24|A|C.-2-4|A|D.-24|A|解析：分析 因为*故应选(A)2.设 A 为 3 阶矩阵，A j是 A 的第 j 列元素(j=1，2，3)，矩阵 B=(A3，3A 2-A3，2A 1+5A2)若|A|
7、=-2，则|B|=（分数：1.00）A.7B.10C.12 D.16解析：分析 |B|=|A 3，3A 2-A3，2A 1+5A2|=|A3，3A 2，2A 1+5A2|=3|A3，A 2，2A 1+5A2|=3|A3，A 2，2A 1|=-6|A1，A 2，A 3|=12，故应选(C)3.设 4 阶行列式 D4=|aij|，a 11=a12=a13=a14=m，m0，A ij表示元素 aij的代数余子式，则 A21+A22+A23+A24=（分数：1.00）A.B.0 C.-mD.-D4解析：分析 由题设 a11=a12=a13=a14=m，n0，由行列式展开定理，有a11A21+a12A2
8、2+a13A23+a14A24=m(A21+A22+A23+A24)=0，所以 A 21+A22+A23+A24=0故应选(B)4.设 A 为 n 阶方阵，B 是只对换 A 中第 1 列与第 2 列所得的方阵，若|A|B|，则（分数：1.00）A.|A|可能为 0B.|A|0 C.|A+B|0D.|A-B|0解析：分析 记 A=( 1， 2，A 1)，其中 1， 2是 A 的第 1 列和第 2 列，A 1是其余各列构成的子块，依题意有 B=( 2， 1，A 1)，于是，由行列式的性质有|A|=-|B|如果|A|=0，则有|B|=0，因而|A|=|B|，与题设|A|B|矛盾，因此排除(A)A+B
9、=( 1+ 2， 2+ 1，2A 1)，因此|A+B|中第 1，2 两列元素相同，则有|A+B|=0，故排除(C)A-B=( 1- 2， 2- 1，0)，当 n3 时，A-B 的第 3 列以后各元素均为 0，因此|A-B|=0，故排除(D)综上分析，应选(B)5.设 n 阶行列式 D=|aij|n，A ij是 D 中元素 aij的代数余子式，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 由行列式按行或列展开的性质*可知，应选(C)6.设 33 矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2均为 3 维列向量，已知行列式|A|=2， （分数：1.00）A
10、. B.C.D.解析：分析 根据行列式的性质，得|A+B|=|+，2 1， 2|=|，2 1，2 2|+|，2 1，2 2=22|， 1， 2|+22|， 1， 2|*故应选(A)二、填空题(总题数：12，分数：14.00)7.已知 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 方法一 将 A13+A23+A33+A43改写成 a2A13+a2A23+a3A33+a2A43，即理解成是第 2 列元素乘第 3 列相应元素的代数余子式之和，则由重要公式*，得a2(A13+A23+A33+A43)=0从而，当 a20 时，由上式得 A13+A23+A33+A43=0而当 a2=0 时
11、，显然 A13=A23=A33=A43=0，上式仍成立方法二 将 A13+A23+A33+A43改写成 1413+1A23+1A33+1A43，理解成将行列式 D 的第 3 列元素全部换成1 后按第 3 列展开而得到的，于是*8.已知 4 阶行列式 ，M 4j，A 4j分别是元素 a4j(j=1，2，3，4)的余子式与代数余子式，则 ，（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-28）解析：分析 由于 D 中第 2 行的元素相同，将第 2 行各元素与第 4 行对应元素的代数余子式的乘积相加，按行列式的性质，有2(A41+A42+A43+A44)=0，即有*利用 M4j与 D 中第 4 行的
12、元素无关及其与 A4j的符号关系，构造一个 4 阶行列式 D1=*，并将 D1按第 4 行展开，得*另一方面，直接计算 D1，有*即*，所以*9.设 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 由*，易知*是矩阵 A*的第 2 行第 3 列元素 A32的余子式依题设 A 的特征值是 2，1，-1，得|A|=21(-1)=-2， |A *|=|A|2=4又由*和行列式按列展开定理，有A11+A21+A31=0，A12+A22+A32=|A|=-2，A13+A22+A33=0计算 A 的伴随矩阵的行列式*于是 A 11A23-A21A13=210.设行列式 （分数：1.00）填空
13、项 1:_ （正确答案：0 和 a1+a2+a3+a4）解析：分析 将行列式的第 2，3，4 列均加到第 1 列，并提出公因式，得*=(a1+a2+a3+a4-x)(-x3)，所以方程 f(x)=0 的根为 0 和 a1+a2+a3+a411.已知 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 求 6 阶行列式 f(x)=|aij|6中某一项的值，选择不同行、不同列的 6 个元素，要求乘积含x5，然后根据*确定此项的符号及值记行列式为 f(x)=|aij|6，取不同行不同列的 6 个元素，此项为(-1)(543 216) a15a24a33a42a51a66=(-1)102x5
14、=2x5故 x5的系数为 212.设 A=(aij)33，且 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij为元素 aij的代数余子式，a 110 则|A|=_，|A *|=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1，1）解析：分析 因为 aij=Aij(i，j=1，2，3)，则由伴随矩阵定义，有 A*=AT，于是由AAT=AA*=|A|E，得 |A|A T|=|A|3，即|A| 2=|A|3因此|A|=0 或|A|=1又*则|A|=1于是|A *|=|A|2=113.设 n 阶行列式 Dn=|aij|，已知 aij=-aji，i，j=1，2，n，n 为奇数，则 Dn=_（分数：1
15、.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 设 n 阶矩阵 A=(aij)nn由于 aij=-aji，i，j=1，2，n，所以 AT=-A，于是|AT|=|A|=|-A|=(-1)n|A|=-|A|，即|A|=-|A|，那么|A|=0，故 Dn=|A|=014.设 A，B 为 3 阶方阵，且|A|=2，|B|=-1，矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-16）解析：分析 本题求分块矩阵的行列式，可利用拉普拉斯定理求解由于|A|=2，|2A|=2 3|A|=16，|B|=-1，|-B|=(-1) 3|B|=1，故 *15.设 A 为 3 阶矩阵，|A|=-2，将 A 按列
16、分块为 A=( 1， 2， 3)，其中 j(j=1，2，3)是 A 的第 j列令 B=( 3-2 1，3 2， 1)，则|B|=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：分析 当矩阵用列向量或行向量给出时，可利用行列式性质计算其行列式方法 1将行列式按第 1 列拆分为两个行列式之和，可得|B|=|( 3-2 1，3 2， 1)|=|( 3，3 2， 1)|-|(2 1，3 2， 1)|=3|( 3， 2， 1)|+0=-3|( 1， 2， 3)|=-3|A|=6方法 2*方法 3因为*，所以*16.设 A，B 都是 n 阶正交矩阵，且|A|=-|B|，则|A+B|=_（分数：1
17、.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 利用正交矩阵的定义及正交矩阵的行列式只能是 1 或-1 的性质求解因为 A，B 为正交矩阵，则有AAT=ATA=E BB T=BTB=E且|A|，|B|只能是 1 或-1，不妨设|A|=1，故|B|=-1而|A+B|=|BBTA+BATA|=|B(BT+AT)A|=|B|BT+AT|A|=-|B+A|，所以 |A+B|=017.设 4 阶方阵 A 和 B 相似，如果 B*的特征值是 1，-1，2，4，则|A *|=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-8）解析：分析 依题设|B *|=1(-1)24=-8，又|B*|=|B|B-1
18、|=|B|4|B|-1=|B|3，所以|B|=-2根据 A 与 B 相似知|A|=|B|=-2，故|A*|=|A|A-1|=|A|4|A-1|=|A|3=(-2)3=-818.已知 1， 2， 3是线性非齐次方程组 Ax=b 的三个线性无关解向量， 1=a1 1+a2 2+a3 3， 2=b1 1+b2 2+b3 3， 3=c1 1+c2 2+c3 3，是对应线性齐次方程组 Ax=0 的解，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 因 A i=b，i=1，2，3故A(a1 1+a2 2+a3 3) =a1A 1+a2A 2+a3A 3=(a1+a2+a3)b但 a1 1
19、+a2 2+a3 3是 Ax=0 的解，则有(a 1+a2+a3)b=0，由于 b0，从而得a1+a2+a3=0同理有 b 1+b2+b3=0，c1+c2+c3=0于是*三、解答题(总题数：5，分数：25.00)19.计算 n 阶行列式（分数：5.00）_正确答案：(方法一 将 Dn表示成两个行列式的乘积：*方法二*即当 n3 时 Dn=0)解析：20.设 n 阶行列式 （分数：5.00）_正确答案：(令*，则 Dn的第 n 行各元素的代数余子式与 Dn的相同，故An1+An2+Ann=Dn而*故 A n1+An2+Ann=(x-a)n-1)解析：21.设 A 是 n 阶(n2)非零实矩阵，其
20、中元素 aij与其代数余子式 Aij相等，求|A|（分数：5.00）_正确答案：(因为 aij=Aij(i，j=1，2，n)，所以 A*=(Aji)nn=(aji)nn=AT于是 AAT=AA*=|A|E，该式两边取行列式，得|A|AT|=|A|E|，即|A| 2=|A|n则有|A| 2(|A|n-2-1)=0又由 A0 且 A 为实矩阵知，必有某个元素*0，所以*可见当 n2 时，有|A| n-2=1，即|A|=1；而当 n=2 时，|A|可以是任意实数)解析：22.计算行列式|E-2 T|，其中 E 为 n 阶单位矩阵，=(a 1，a 2，a n)T为 n 维实列向量，且 T=1（分数：5.00）_正确答案：(将此行列式增加一行、一列，把行列式升为 n+1 阶行列式，但其值与原行列式相同，即*)解析：23.已知 A，B 为 n 阶方阵，n 为奇数，且（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：
