【考研类试卷】考研数学一-高等数学常微分方程及答案解析.doc
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1、考研数学一-高等数学常微分方程及答案解析(总分:178.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是(分数:1.00)A.y=C1x2+C2x+C3B.x2+y2=CC.y=ln(C1x)+ln(C1sinx)D.y=C1sin2x+C2cos2x2.微分方程 y“-3y+2y=3x-2ex的特解形式为(分数:1.00)A.(ax+b)exB.(ax+b)xexC.(ax+b)+cexD.(ax+b)+cxex3.微分方程 y“+2y+y=3xe-x的特解形式为(分数:1.00)A.axe-xB.(ax+b)e-xC.(
2、ax+b)xe-xD.(ax+b)x2e-x4.设 y1(x),y 2(x),y 3(x)是二阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关解,C 1,C 2是任意常数,则此微分方程的通解是(分数:1.00)A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3C.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3D.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y35.若 A,B 为非零常数,c 1,c 2为任意常数,则微分方程 y“+k2y=cosx 的通解应具有形式(分数:1.00)A.c1coskx+c2sinkx+Asinx+BcosxB.c1coskx+
3、c2sinkx+AxsinxC.c1coskx+c2sinkx+AxcosxD.c1coskx+c2sinkx+Axsinx+Bxcosx6.下列结论不正确的是(分数:1.00)A.若已知 y=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解,则必定可将该方程化为伯努利方程B.若微分方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 有积分因子 (x,y),则 (x,y)必定满足C.若函数D.方程 y“-y2+2y=0 的任何积分曲线在下半平面内不能有拐点7.在下列微分方程中,以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C 2,C 3为任意常数)为通解的是(分数:1.00)A.y“+y“-4
4、y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=08.已知 y1=xex+e2x,y 2=xex+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解,则此方程为(分数:1.00)A.y“-y-2y=ex-2xexB.y“+y+2y=ex-2xexC.y“-y-2y=-ex+2xexD.y“+y+2y=-ex+2xex9.设 y1(x),y 2(x)为二阶常系数齐次线性方程 y“+py+qy=0 的两个特解,则 c1y1(x)+c2y2(x)(c1,c 2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是(分数:1.00)A.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)=
5、0B.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)0C.y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)=0D.y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)010.具有特解 y1=e-x,y 2=2xe-x,y 3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是(分数:1.00)A.y“-y“-y+y=0B.y“+y“-y-y=0C.y“-6y“+11y-6y=0D.y“-2y“-y+2y=011.微分方程 y“+2y+y=(x+1)e-x+2x+1 有一个特解 y*形式为(分数:1.00)A.y*=x(ax+b)e-x+(cx+d)B.y*=(ax+b)e-x+x2(cx+d)C.y*=x2(ax+b)e-x+
6、(cx+d)D.y*=(ax+b)e-x+x(cx+d)二、填空题(总题数:22,分数:22.00)12.微分方程 (分数:1.00)填空项 1:_13.微分方程 (分数:1.00)填空项 1:_14.微分方程 (分数:1.00)填空项 1:_15.微分方程 2x3y=y(2x2-y2)的通解为_(分数:1.00)填空项 1:_16.微分方程 x3yy=1-xyy+y2的通解为_(分数:1.00)填空项 1:_17.微分方程 3extanydx+(1-ex)sec2ydy=0 的通解是_(分数:1.00)填空项 1:_18.微分方程(2y-x)dy=ydx 的通解是 1(分数:1.00)填空项
7、 1:_19.微分方程 (分数:1.00)填空项 1:_20.微分方程 (分数:1.00)填空项 1:_21.微分方程 (分数:1.00)填空项 1:_22.设函数 y1(x),y 2(x),y 3(x)是二阶线性微分方程 y“+a(x)y+b(x)y=f(x)的三个不同特解,且(分数:1.00)填空项 1:_23.已知(x-1)y“-xy+y=0 的一个解是 y1=x,又知 y=ex-(x2+x+1),y *=-x2-1 是(x-1)y“-xy+y=(x-1) 2的两个解,则此方程的通解是 y=_(分数:1.00)填空项 1:_24.已知 y1=3,y 2=3+x2,y 3=3+x2+ex都
8、是微分方程(x2-2x)y“-(x2-2)y+(2x-2)y=6x-6的解,则此方程的通解为_(分数:1.00)填空项 1:_25.设二阶线性微分方程 y“+p(z)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex, (分数:1.00)填空项 1:_26.设二阶常系数线性齐次方程有两个解: (分数:1.00)填空项 1:_27.以 y=(C1+C2x)e-x+x2e-x(其中 C1,C 2为任意常数)为通解的微分方程为_(分数:1.00)填空项 1:_28.以 y=C1e-x+C2e2x+sinx 为通解的二阶常系数非齐次微分方程为_(分数:1.00)填空项 1:_29.微分方程 y“+2y=1
9、2x2-10 的通解是_(分数:1.00)填空项 1:_30.微分方程 y“+4y=cos2x 的通解为 y=_(分数:1.00)填空项 1:_31.微分方程 y“-3y+ay=e-x有一特解为 Axe-x,则 a=_(分数:1.00)填空项 1:_32.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_(分数:1.00)填空项 1:_33.已知 ,及相应的齐次方程 ,分别有特解则方程 (分数:1.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:29,分数:145.00)34.求微分方程 xy=y(1+lny-lnx)的通解(分数:5.00)_35.求微分方程(
10、1+y 2)dx+(x-arctany)dy=0 的通解(分数:5.00)_36.求微分方程 (分数:5.00)_37.求微分方程 (分数:5.00)_38.设 求微分方程 (分数:5.00)_39.求微分方程 y“-2y-3y=3x+1+e-x+sin2x 的通解(分数:5.00)_40.求微分方程 y“+4y+4y=cos2x 满足条件 y(0)=y(0)=0 的特解(分数:5.00)_41.求微分方程 y“+4y=3|sinx|在-,上满足 (分数:5.00)_42.求常数 a,b,c,d 的值,使得微分方程 y“+ay+by=(cx+d)e2x有一个解是 y=ex+x2e2x(分数:5
11、.00)_43.求微分方程 3y-ysecx=y4tanx 的通解(分数:5.00)_44.已知方程(6y+x 2y2)dx+(8x+x3y)dy=0 的两边乘以 y3f(x)后便成为全微分方程,试求出可导函数 f(x),并解此微分方程(分数:5.00)_45.求微分方程 (分数:5.00)_46.设 f(x)在(-,+)上满足对任意 x,y 恒有 f(x+y)=e2yf(x)+f(y)cosx,又 f(x)在 x=0 处可导,且f(0)=1,求 f(x)(分数:5.00)_47.设函数 f(x)在0,+)上可导,且 f(1)=3,若 f(x)的反函数 g(x)满足(分数:5.00)_48.设
12、 f(x)连续,又满足 (分数:5.00)_49.若 y(x)是0,1上的连续可微函数,且满足条件(分数:5.00)_50.设函数 f(x)在(-,+)内有连续导数,且满足(分数:5.00)_51.设函数 u 的全微分 du=ex+f(x)ydx+f(x)dy,其中 f 在(-,+)内具有二阶连续的导数,且 f(0)=4,f(0)=3,求 f(x)(分数:5.00)_52.设 f(x)在区间0,+)上连续,且 ,求证:微分方程 (分数:5.00)_53.设 f(x)二阶连续可导,且 f(0)=0,f(0)=1,求 u(x,y),使du=yf(x)+3e2xdx+f(x)dy(分数:5.00)_
13、54.设当 x0 时,f(x)存在一阶连续导数,且 f+(0)存在,并设对于半空间 x0 内的任意光滑封闭曲面,恒有(分数:5.00)_55.作变换 t=tanx 把微分方程 (分数:5.00)_56.若一曲线上任一点 M(x,y)处的切线斜率为 ,且过点 ,求此曲线方程又当 x 取何值时,切线的斜率为 (分数:5.00)_57.在 xOy 平面的第一象限求一曲线,使由其上任一点 P 处的切线,x 轴与线段 OP 所同成的三角形的面积为常数 k,且曲线通过点(1,1)(分数:5.00)_58.对任意实数 x0,设曲线 y=f(x)上点(x,f(x)处的切线在 y 轴上的截距等于连续函数 (分数
14、:5.00)_59.设函数 f(z)当 x0 时连续可微,且 f(0)=1现已知曲线 y=f(x),x 轴、y 轴及过点(x,0)且垂直于x 轴的直线所围成的平面图形的面积与曲线 y=f(x)在0,x上的一段弧长的值相等,求函数 f(x)(分数:5.00)_60.设有连接点 O(0,0)和 A(1,1)的一段凸的曲线弧 上的任一点 P(x,y),曲线弧 与直线段所围图形的面积为 x2,求曲线弧 (分数:5.00)_61.一容器在开始时盛有液体 100 升,其中含净盐 10 公斤,然后以每分钟 3 升的速率注入清水,同时又以每分钟 2 升的速率将冲淡的液体放出容器中装有搅拌器使容器巾的液体保持均
15、匀,求过程开始后 1 小时溶液的含盐量(分数:5.00)_62.子弹以速度 v0=200 米/秒与板垂直的方向打入厚度为 10 米的板,穿过后以速度 v1=80 米/秒离开此板,设板对子弹 l 拘阻力与速度平方成正比,求子弹穿过板 5 米厚时的速度(分数:5.00)_考研数学一-高等数学常微分方程答案解析(总分:178.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是(分数:1.00)A.y=C1x2+C2x+C3B.x2+y2=CC.y=ln(C1x)+ln(C1sinx)D.y=C1sin2x+C2cos2x 解析:分析
16、 由二阶微分方程的通解需含两个任意的独立常数可知,仅(D)符合要求,故应选(D)2.微分方程 y“-3y+2y=3x-2ex的特解形式为(分数:1.00)A.(ax+b)exB.(ax+b)xexC.(ax+b)+cexD.(ax+b)+cxex 解析:分析 由于特征方程为 2-3+2=0,所以特征根为 1=1, 2=2从而方程 y“-3y+2y=3x 待定特解形式为*;方程 y“-3y+2y=-2ex待定特解形式为*,于是*是原方程的一个特解,故选(D)3.微分方程 y“+2y+y=3xe-x的特解形式为(分数:1.00)A.axe-xB.(ax+b)e-xC.(ax+b)xe-xD.(ax
17、+b)x2e-x 解析:分析 由于方程对应的特征方程为 2+2+1=0,故特征根为重根 1= 2=-1,方程的非齐次项为Q(x)e-x且 Q(x)=3x 为一次多项式,因此待定特解的形式为(ax+b)x 2e-x故应选(D)4.设 y1(x),y 2(x),y 3(x)是二阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关解,C 1,C 2是任意常数,则此微分方程的通解是(分数:1.00)A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 C.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3D.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3解析:分析 因为 y
18、1(x),y 2(x),y 3(x)是线性微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解,所以 y1-y3和 y2-y3都是相应的二阶齐次微分方程的解由于 y1(x),y 2(x),y 3(x)线性无关,若令k1(y1-y3)+k2(y2-y3)=0,即 k 1y1+k2y2-(k1+k2)y3=0,则必有 k1=k2=0,故 y1-y3和 y2-y3线性无关所以原方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3,故正确选项为(B)5.若 A,B 为非零常数,c 1,c 2为任意常数,则微分方程 y“+k2y=cosx 的通解应具有
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