1、考研数学一-高等数学常微分方程及答案解析(总分：178.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是（分数：1.00）A.y=C1x2+C2x+C3B.x2+y2=CC.y=ln(C1x)+ln(C1sinx)D.y=C1sin2x+C2cos2x2.微分方程 y“-3y+2y=3x-2ex的特解形式为（分数：1.00）A.(ax+b)exB.(ax+b)xexC.(ax+b)+cexD.(ax+b)+cxex3.微分方程 y“+2y+y=3xe-x的特解形式为（分数：1.00）A.axe-xB.(ax+b)e-xC.(
2、ax+b)xe-xD.(ax+b)x2e-x4.设 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)是二阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C 1，C 2是任意常数，则此微分方程的通解是（分数：1.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3C.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3D.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y35.若 A，B 为非零常数，c 1，c 2为任意常数，则微分方程 y“+k2y=cosx 的通解应具有形式（分数：1.00）A.c1coskx+c2sinkx+Asinx+BcosxB.c1coskx+
3、c2sinkx+AxsinxC.c1coskx+c2sinkx+AxcosxD.c1coskx+c2sinkx+Axsinx+Bxcosx6.下列结论不正确的是（分数：1.00）A.若已知 y=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解，则必定可将该方程化为伯努利方程B.若微分方程 P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 有积分因子 (x，y)，则 (x，y)必定满足C.若函数D.方程 y“-y2+2y=0 的任何积分曲线在下半平面内不能有拐点7.在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是（分数：1.00）A.y“+y“-4
4、y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=08.已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为（分数：1.00）A.y“-y-2y=ex-2xexB.y“+y+2y=ex-2xexC.y“-y-2y=-ex+2xexD.y“+y+2y=-ex+2xex9.设 y1(x)，y 2(x)为二阶常系数齐次线性方程 y“+py+qy=0 的两个特解，则 c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c 2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是（分数：1.00）A.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)=
5、0B.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)0C.y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)=0D.y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)010.具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：1.00）A.y“-y“-y+y=0B.y“+y“-y-y=0C.y“-6y“+11y-6y=0D.y“-2y“-y+2y=011.微分方程 y“+2y+y=(x+1)e-x+2x+1 有一个特解 y*形式为（分数：1.00）A.y*=x(ax+b)e-x+(cx+d)B.y*=(ax+b)e-x+x2(cx+d)C.y*=x2(ax+b)e-x+
6、(cx+d)D.y*=(ax+b)e-x+x(cx+d)二、填空题(总题数：22，分数：22.00)12.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_14.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_15.微分方程 2x3y=y(2x2-y2)的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_16.微分方程 x3yy=1-xyy+y2的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_17.微分方程 3extanydx+(1-ex)sec2ydy=0 的通解是_（分数：1.00）填空项 1:_18.微分方程(2y-x)dy=ydx 的通解是 1（分数：1.00）填空项
7、 1:_19.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_20.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_21.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_22.设函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)是二阶线性微分方程 y“+a(x)y+b(x)y=f(x)的三个不同特解，且（分数：1.00）填空项 1:_23.已知(x-1)y“-xy+y=0 的一个解是 y1=x，又知 y=ex-(x2+x+1)，y *=-x2-1 是(x-1)y“-xy+y=(x-1) 2的两个解，则此方程的通解是 y=_（分数：1.00）填空项 1:_24.已知 y1=3，y 2=3+x2，y 3=3+x2+ex都
8、是微分方程(x2-2x)y“-(x2-2)y+(2x-2)y=6x-6的解，则此方程的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_25.设二阶线性微分方程 y“+p(z)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex， （分数：1.00）填空项 1:_26.设二阶常系数线性齐次方程有两个解： （分数：1.00）填空项 1:_27.以 y=(C1+C2x)e-x+x2e-x(其中 C1，C 2为任意常数)为通解的微分方程为_（分数：1.00）填空项 1:_28.以 y=C1e-x+C2e2x+sinx 为通解的二阶常系数非齐次微分方程为_（分数：1.00）填空项 1:_29.微分方程 y“+2y=1
9、2x2-10 的通解是_（分数：1.00）填空项 1:_30.微分方程 y“+4y=cos2x 的通解为 y=_（分数：1.00）填空项 1:_31.微分方程 y“-3y+ay=e-x有一特解为 Axe-x，则 a=_（分数：1.00）填空项 1:_32.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_（分数：1.00）填空项 1:_33.已知 ，及相应的齐次方程 ，分别有特解则方程 （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：29，分数：145.00)34.求微分方程 xy=y(1+lny-lnx)的通解（分数：5.00）_35.求微分方程(
10、1+y 2)dx+(x-arctany)dy=0 的通解（分数：5.00）_36.求微分方程 （分数：5.00）_37.求微分方程 （分数：5.00）_38.设 求微分方程 （分数：5.00）_39.求微分方程 y“-2y-3y=3x+1+e-x+sin2x 的通解（分数：5.00）_40.求微分方程 y“+4y+4y=cos2x 满足条件 y(0)=y(0)=0 的特解（分数：5.00）_41.求微分方程 y“+4y=3|sinx|在-，上满足 （分数：5.00）_42.求常数 a，b，c，d 的值，使得微分方程 y“+ay+by=(cx+d)e2x有一个解是 y=ex+x2e2x（分数：5
11、.00）_43.求微分方程 3y-ysecx=y4tanx 的通解（分数：5.00）_44.已知方程(6y+x 2y2)dx+(8x+x3y)dy=0 的两边乘以 y3f(x)后便成为全微分方程，试求出可导函数 f(x)，并解此微分方程（分数：5.00）_45.求微分方程 （分数：5.00）_46.设 f(x)在(-，+)上满足对任意 x，y 恒有 f(x+y)=e2yf(x)+f(y)cosx，又 f(x)在 x=0 处可导，且f(0)=1，求 f(x)（分数：5.00）_47.设函数 f(x)在0，+)上可导，且 f(1)=3，若 f(x)的反函数 g(x)满足（分数：5.00）_48.设
12、 f(x)连续，又满足 （分数：5.00）_49.若 y(x)是0，1上的连续可微函数，且满足条件（分数：5.00）_50.设函数 f(x)在(-，+)内有连续导数，且满足（分数：5.00）_51.设函数 u 的全微分 du=ex+f(x)ydx+f(x)dy，其中 f 在(-，+)内具有二阶连续的导数，且 f(0)=4，f(0)=3，求 f(x)（分数：5.00）_52.设 f(x)在区间0，+)上连续，且 ，求证：微分方程 （分数：5.00）_53.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)=1，求 u(x，y)，使du=yf(x)+3e2xdx+f(x)dy（分数：5.00）_
13、54.设当 x0 时，f(x)存在一阶连续导数，且 f+(0)存在，并设对于半空间 x0 内的任意光滑封闭曲面，恒有（分数：5.00）_55.作变换 t=tanx 把微分方程 （分数：5.00）_56.若一曲线上任一点 M(x，y)处的切线斜率为 ，且过点 ，求此曲线方程又当 x 取何值时，切线的斜率为 （分数：5.00）_57.在 xOy 平面的第一象限求一曲线，使由其上任一点 P 处的切线，x 轴与线段 OP 所同成的三角形的面积为常数 k，且曲线通过点(1，1)（分数：5.00）_58.对任意实数 x0，设曲线 y=f(x)上点(x，f(x)处的切线在 y 轴上的截距等于连续函数 （分数
14、：5.00）_59.设函数 f(z)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1现已知曲线 y=f(x)，x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于x 轴的直线所围成的平面图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长的值相等，求函数 f(x)（分数：5.00）_60.设有连接点 O(0，0)和 A(1，1)的一段凸的曲线弧 上的任一点 P(x，y)，曲线弧 与直线段所围图形的面积为 x2，求曲线弧 （分数：5.00）_61.一容器在开始时盛有液体 100 升，其中含净盐 10 公斤，然后以每分钟 3 升的速率注入清水，同时又以每分钟 2 升的速率将冲淡的液体放出容器中装有搅拌器使容器巾的液体保持均
15、匀，求过程开始后 1 小时溶液的含盐量（分数：5.00）_62.子弹以速度 v0=200 米/秒与板垂直的方向打入厚度为 10 米的板，穿过后以速度 v1=80 米/秒离开此板，设板对子弹 l 拘阻力与速度平方成正比，求子弹穿过板 5 米厚时的速度（分数：5.00）_考研数学一-高等数学常微分方程答案解析(总分：178.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是（分数：1.00）A.y=C1x2+C2x+C3B.x2+y2=CC.y=ln(C1x)+ln(C1sinx)D.y=C1sin2x+C2cos2x 解析：分析
16、 由二阶微分方程的通解需含两个任意的独立常数可知，仅(D)符合要求，故应选(D)2.微分方程 y“-3y+2y=3x-2ex的特解形式为（分数：1.00）A.(ax+b)exB.(ax+b)xexC.(ax+b)+cexD.(ax+b)+cxex 解析：分析 由于特征方程为 2-3+2=0，所以特征根为 1=1， 2=2从而方程 y“-3y+2y=3x 待定特解形式为*；方程 y“-3y+2y=-2ex待定特解形式为*，于是*是原方程的一个特解，故选(D)3.微分方程 y“+2y+y=3xe-x的特解形式为（分数：1.00）A.axe-xB.(ax+b)e-xC.(ax+b)xe-xD.(ax
17、+b)x2e-x 解析：分析 由于方程对应的特征方程为 2+2+1=0，故特征根为重根 1= 2=-1，方程的非齐次项为Q(x)e-x且 Q(x)=3x 为一次多项式，因此待定特解的形式为(ax+b)x 2e-x故应选(D)4.设 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)是二阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C 1，C 2是任意常数，则此微分方程的通解是（分数：1.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 C.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3D.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3解析：分析 因为 y
18、1(x)，y 2(x)，y 3(x)是线性微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，所以 y1-y3和 y2-y3都是相应的二阶齐次微分方程的解由于 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)线性无关，若令k1(y1-y3)+k2(y2-y3)=0，即 k 1y1+k2y2-(k1+k2)y3=0，则必有 k1=k2=0，故 y1-y3和 y2-y3线性无关所以原方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3，故正确选项为(B)5.若 A，B 为非零常数，c 1，c 2为任意常数，则微分方程 y“+k2y=cosx 的通解应具有
19、形式（分数：1.00）A.c1coskx+c2sinkx+Asinx+BcosxB.c1coskx+c2sinkx+Axsinx C.c1coskx+c2sinkx+AxcosxD.c1coskx+c2sinkx+Axsinx+Bxcosx解析：分析 由于对应的齐次方程的通解为 c1coskx+c2sinkx这样需验证的是哪一个是非齐次方程的特解如果非齐次方程的特解有形式 Asinx+Bcosx，说明此时 k1，经验证可知特解为*，即A=0，*而根据题设，A，B 均为非零常数，说明它不符合题意，故选项(A)错误如果 k=1，则特解应具有形式 Axsinx+Bxcosx，代入原方程可知：*，B=
20、0，由此可见，应选(B)6.下列结论不正确的是（分数：1.00）A.若已知 y=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解，则必定可将该方程化为伯努利方程B.若微分方程 P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 有积分因子 (x，y)，则 (x，y)必定满足C.若函数 D.方程 y“-y2+2y=0 的任何积分曲线在下半平面内不能有拐点解析：分析 对于(A)：设 y*是微分方程y=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解令 y=z+y*，代入方程化简得z=Q(x)+2R(x)y*z+R(x)z2，这正是伯努利方程，故(A)正确对于(B)：函数 =(x，y)是微分方程 Pdx+Qdy=0 的
21、积分因子的充分必要条件是*即 *故(B)正确对于(C)：显然*不满足方程 y+y2=0，故(C)不正确对于(D)：用反证法假设下半平面(y0)的点(x 0，y 0)是积分曲线的拐点，则 y“(x0)=0，于是*与题设条件矛盾故(D)正确综上分析，应选(C)7.在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是（分数：1.00）A.y“+y“-4y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=0 解析：分析 从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1，*，对应的特征方
22、程是(-1)(+2i)(-2i)=(-1)( 2+4)= 3- 2+4-4=0，因此所求的微分方程是 y“-y“+4y-4y=0选(D)8.已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为（分数：1.00）A.y“-y-2y=ex-2xex B.y“+y+2y=ex-2xexC.y“-y-2y=-ex+2xexD.y“+y+2y=-ex+2xex解析：分析 因 y1-y2=e2x-e-x为对应齐次方程的解，故特征方程为(-2)(+1)= 2-2=0，从而对应齐次方程为 y“-y-2y=0把特解 y1代入方程得 y“1-y1-2y1=ex-2xex，因此
23、所求方程为 y“-y-2y=ex-2xex所以应选(A)9.设 y1(x)，y 2(x)为二阶常系数齐次线性方程 y“+py+qy=0 的两个特解，则 c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c 2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是（分数：1.00）A.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)=0B.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)0 C.y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)=0D.y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)0解析：分析 根据题设，y 1(x)与 y2(x)应线性无关，也就是说*(常数)反之若这个比值为常数，即y1(x)=y 2(x)，则 y1(x)与 y
24、2(x)线性相关由 y1(x)=y 2(x)可得：y 1(x)=y 2(x)，从而行列式*，所以 y1(x)y2(x)-y2(x)，y 1(x)=0，因此应选(B)10.具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：1.00）A.y“-y“-y+y=0B.y“+y“-y-y=0 C.y“-6y“+11y-6y=0D.y“-2y“-y+2y=0解析：分析 首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r1=r2=-1，r 3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即 r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为 y“+y“-y-y=0应选(B
25、)11.微分方程 y“+2y+y=(x+1)e-x+2x+1 有一个特解 y*形式为（分数：1.00）A.y*=x(ax+b)e-x+(cx+d)B.y*=(ax+b)e-x+x2(cx+d)C.y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d) D.y*=(ax+b)e-x+x(cx+d)解析：分析 因为特征方程为 2+2+1=0，特征根为重根 1= 2=-1，所以对应于非齐次项(x+1)e -x应设特解*，对应非齐次项 2x+1 应设特解*，再由迭加原理知应设特解y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)，故应选(C)二、填空题(总题数：22，分数：22.00)12.微分方程 （分数：1.00）填
26、空项 1:_ （正确答案：y=*）解析：分析 原方程可化为*，这是一阶线性微分方程，所以其通解为*13.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y(x-1)=Cx）解析：分析 方程是变量可分离的微分方程，将原方程变为*，并求积分，可得方程的通解为y(x-1)=Cx14.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：x=*）解析：分析 此微分方程既不是齐次微分方程也不是可分离变量的微分方程若以 y 为未知函数也不是一阶线性微分方程但注意到其特点，把它改写成以 x 为未知函数的微分方程，即*这是以 x 为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得：*15.微分方程 2x3y
27、=y(2x2-y2)的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*(C 是不为零的任意常数)）解析：分析 原方程可改写为*，从而是齐次微分方程，令*得*方程(*)是变量可分离的，其通解为*的原方程的通解为*(C 是不为零的任意常数)16.微分方程 x3yy=1-xyy+y2的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 原方程经整理后化成可分离变量的方程*两边积分得*即*17.微分方程 3extanydx+(1-ex)sec2ydy=0 的通解是_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：tany=C(e x-1)3）解析：分析 在原方程两边同乘以*，经
28、分离变量可化为*积分得 ln|tany|=3ln|e x-1|+ln|C|，所以方程有通解为 tany=C(ex-1)318.微分方程(2y-x)dy=ydx 的通解是 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2-xy=C）解析：分析 题设方程可变形为 2ydy-(xdy+ydx)=0 即 d(y2-xy)=0，故通解为 y2-xy=C19.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 方程是齐次微分方程，令*，则原方程变为*，由此可得方程的通解为*，由 y(0)=1可得 C=1，从而特解为*20.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*
29、）解析：分析 因为*，令*，则原方程可化为*这是一个一阶线性微分方程，解得*所以原微分方稗的通解为*21.微分方程 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：siny=Ce -x+x-1）解析：分析 因为 ycosy=(siny)，令 u=siny，则原微分方程化为u+u=x这是关于未知函数 u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为*所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x-122.设函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)是二阶线性微分方程 y“+a(x)y+b(x)y=f(x)的三个不同特解，且（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=y 1(x)+C1y2(x)
30、-y1(x)+C2y3(x)-y1(x)）解析：分析 根据线性微分方程解的叠加原理及题中条件知函数 y2(x)-y1(x)和 y3(x)-y1(x)都是原方程所对应的齐次方程的解由于*，所以函数 y2(x)-y1(x)和 y3(x)-y1(x)线性无关根据线性微分方程解的结构知原方程的通解为y=y1(x)+C1y2(x)-y1(x)+C2y3(x)-y1(x)23.已知(x-1)y“-xy+y=0 的一个解是 y1=x，又知 y=ex-(x2+x+1)，y *=-x2-1 是(x-1)y“-xy+y=(x-1) 2的两个解，则此方程的通解是 y=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：
31、y=C 1x+C2ex-x2-1）解析：分析 由非齐次方程(x-1)y“-xy+y=(x-1)2的两个特解*与 y*可得它的相应的齐次方程(x-1)y“-xy+y=0的另一特解 *事实上 y 2=(ex-x)+x=ex也是的一个解，又 ex与 x 线性无关，因此非齐次方程的通解为y=C1x+C2ex-x2-124.已知 y1=3，y 2=3+x2，y 3=3+x2+ex都是微分方程(x2-2x)y“-(x2-2)y+(2x-2)y=6x-6的解，则此方程的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2ex+3）解析：分析
32、 根据解的结构定理，方程的通解为y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2ex+325.设二阶线性微分方程 y“+p(z)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex， （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 因为 y2-y1，y 3-y1是对应的齐次方程的解，代入齐次方程可求得*，q(x)=*，再将 y1代入原方程可得 f(x)=ex故该方程为*26.设二阶常系数线性齐次方程有两个解： （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y“-4y+7y=0）解析：分析 由给定的两个线性无关的特解可知：该二阶常系数线性齐次方程对应的特征方程的特征根为*
33、由根与系数的关系知：相应的特征方程为 2-4+7=0因此该二阶常系数线性齐次方程为：y“-4y+7y=027.以 y=(C1+C2x)e-x+x2e-x(其中 C1，C 2为任意常数)为通解的微分方程为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y“+2y+y=2e -x）解析：分析 设所求微分方程为 y“+py+qy=f(x)，其对应的齐次微分方程的特征方程的根为 r1=r2=-1，因而特征方程为(r+1) 2=0，即 r2+2r+1=0，其对应的齐次微分方程为y“+2y+y=0非齐次微分方程对应的特解为 y*=x2e-x，代入微分方程即得*=2e-x故所求微分方程为 y“+2y+y=2
34、e-x28.以 y=C1e-x+C2e2x+sinx 为通解的二阶常系数非齐次微分方程为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y“-y-2y=-3sinx-cosx）解析：分析 由所给通解知二阶常系数线性微分方程的二特征根分别为 1=-1 与 2=2，从而特征方程为(+1)(+2)=0，即 2-2=0，又方程的非齐次项f(x)=(sinx)“-(sinx)-2sinx=-sinx-cosx-2sinx=-3sinx-cosx故以 y=C1e-x+C2e2x+sinx 为通解的二阶常系数非齐次微分方程为y“-y-2y=-3sinx-cosx29.微分方程 y“+2y=12x2-10 的
35、通解是_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1+C2e-2x+2x3-3x2-2x）解析：分析 方程对应的齐次方程的特征方程为 2+2=0，所以特征根为 =-2，=0从而对应的齐次方程有二线性无关特解 y*1=1 与 y*2=e-2x设原方程的一个特解为 y*=x(ax2+6x+c)，代入原方程得6ax+2b+2(3ax2+2bx+c)=12x2-10，不难求得：a=2，b=-3，c=-2故非齐次方程有一个特解 y*=2x3-3x2-2x因此原方程的通解为：y=C 1+C2e-2x+2x3-3x2-2x30.微分方程 y“+4y=cos2x 的通解为 y=_（分数：1.00）
36、填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 方程对应的齐次方程的特征方程为 2+4=0，它的特征根为 1，2 =2i因此对应齐次方程二线性无关的特解为*设原非齐次方程的一个特解为 y*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入原方程得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x所以 A=0，*因此原方程的通解为*31.微分方程 y“-3y+ay=e-x有一特解为 Axe-x，则 a=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：分析 将 y=Axe-x代入方程 y“-3y+ay=e-x得A(a+4)xe-x-5Ae-x=e-x所以 a=-432.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 令 P(x，y)=2xsiny+3x 2y，Q(x，y)=x 3+x2cosy+y2，则它们在整个平面上都有一阶连续偏导数，且*，故方程是全微分方程，它的通解为
