1、考研数学一（常微分方程）-试卷 2 及答案解析(总分：92.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“一 4y“+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(a，b，c，d 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2xC.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x3.微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 y=f(x)是微分方程 y“一 2y“+4y=0
2、 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 ( )（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某个邻域内单调增加D.某个邻域内单调减少5.方程(3+2y)xdx+(x 2 一 2)dy=0 的类型是 ( )（分数：2.00）A.只属于可分离变量型B.属于齐次型方程C.只属于全微分方程D.兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程6.微分方程 y“+2y“+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ashxB.achxC.ax 2 e -x +be xD.axe -x +be x7.设 f(x)连续，
3、且满足 （分数：2.00）A.e x ln 2B.e 2x In 2C.e x +ln 2D.e 2x +ln 28.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce -f(x)B.y=f(x)+1+Ce -f(x)C.y=f(x)一 C+Ce -f(x)D.y=f(x)一 1+Ce -f(x)9.方程 y (4) 一 2y“一 3y“=e -3x 一 2e -x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.y“一 2y“+y=e 2xB.y“一 y“一 2y=xe
4、 xC.y“一 y“一 2y=e x 一 2xe xD.y“一 y=e 2x二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程(y 2 +1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设一阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“一 7y“=(x 一 1) 2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1（分数：2.00
5、）填空项 1:_14.以 y=cos2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程(1 一 x 2 )y-xy“=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 y“一 2y“=x 2 +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.特征根为 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程： （分数：2.00）填空项 1:_21.以 y=7e
6、 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分万程是 1?（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求微分方程 y “ +2y “ +y=xe x 的通解（分数：2.00）_24.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_25.求微分方程(3x 2 +2xy 一 y 2 )dx+(x 2 一 2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_26.设 y(x)是方程 y (4) 一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x
7、)（分数：2.00）_27.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_28.一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8 m，另一端离开钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：(1)不计钉子对链条的摩擦力；(2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力（分数：2.00）_29.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y“(0)=2（分数：2.00）_30.求方程 （分数：2.00）_31.求微分方程 （分数：2.00）_32.求方程 （分数：2.00）_33
8、.求(y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_34.求微分方程 y “ (3y “2 x)=y“满足初值条件 y(1)=y“(1)=1 的特解（分数：2.00）_35.求微分方程 （分数：2.00）_36.求微分方程 （分数：2.00）_37.求方程 （分数：2.00）_38.求 y“一 y=e x 的通解（分数：2.00）_39.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足 （分数：2.00）_40.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足 （
9、分数：2.00）_41.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“一(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_42.(1)用 x=e t 化简微分方程 (2)求解 （分数：2.00）_43.求解微分方程 （分数：2.00）_44.设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 （分数：2.00）_45.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记
10、为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_46.位于上半平面向上凹的曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2，2)处的切线斜率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与 （分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 2 答案解析(总分：92.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“一 4y“+4y=x 2 +8e 2x
11、的一个特解应具有形式(a，b，c，d 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2x C.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x解析：解析：对应特征方程为 r 2 一 4r+4=0，特征根是 r 1,2 =2而 f 1 =x 2 ， 1 =0 非特征根，故 y 1 * =ax 2 +bx+c又 f 2 =8e 2x ， 2 =2 是二重特征根，所以 y 2 * =dx 2 e 2x ，y 1 * 与 y 2 * 合起来就是特解，选 B3.微分方程 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：
12、特征方程 r 2 +r+1=0，特征根为 是特征根，所以特解的形式为 4.设 y=f(x)是微分方程 y“一 2y“+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 ( )（分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.某个邻域内单调增加D.某个邻域内单调减少解析：解析：由 f“(x 0 )=0 知 x 0 为驻点，且 f“(x 0 )+4f(x 0 )=0，又因 f(x 0 )0，故 f“(x 0 )=一 4f(x 0 )0，所以在 x 0 处函数取极大值5.方程(3+2y)xdx+(x 2 一 2)dy=0 的类型是 ( )（分数：2.
13、00）A.只属于可分离变量型B.属于齐次型方程C.只属于全微分方程D.兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程 解析：解析：原方程关于 x 和 y 不齐次但极易分离变量，也可化为 y 的一阶线性方程又满足全微分方程条件 P y “=2x=Q x “故选项 A，B，C 均不正确，而 D 正确6.微分方程 y“+2y“+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ashxB.achxC.ax 2 e -x +be x D.axe -x +be x解析：解析：特征方程为 r 2 +2r+1=0，r=一 1 为二重特征根，而 7.设 f(x)连续，且满足 （
14、分数：2.00）A.e x ln 2B.e 2x In 2 C.e x +ln 2D.e 2x +ln 2解析：解析：原方程求导得 f“(x)=2f(x)，即 8.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce -f(x)B.y=f(x)+1+Ce -f(x)C.y=f(x)一 C+Ce -f(x)D.y=f(x)一 1+Ce -f(x) 解析：解析：由一阶线性方程的通解公式得9.方程 y (4) 一 2y“一 3y“=e -3x 一 2e -x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是
15、( )（分数：2.00）A.y“一 2y“+y=e 2xB.y“一 y“一 2y=xe xC.y“一 y“一 2y=e x 一 2xe x D.y“一 y=e 2x解析：解析：特征方程 r 2 (r 2 2r 一 3)=0，特征根为 r 1 =3，r 2 =一 1，r 3 =r 4 =0，对 f 1 =e -3x ， 1 =一 3 非特征根， 1 * =-3；对 f 2 =一 2e -x ， 2 =一 1 是特征根，y 2 * =bxe -x ；对 f 3 =x， 3 =0 是二重特征根，y 3 * =x 2 (cx+d)，所以特解 y * =y 1 * +y 2 * +y 3 * =ae -
16、3x +k+bxe -x +cx 3 +dx 2 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：不一定）解析：解析：例如方程(y 2 一 1)dx=(x-1)ydy，经分离变量有 11.微分方程(y 2 +1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程写为(y 2 +1)dx+(2xy)ydy=0，是全微分方程，再改写为(y 2 +1)dx+xd(y 2 +1)一y 2 dy=0，即 dx(y 2 +1)
17、=y 2 dy，积分得通解 或 12.设一阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 y 1 “+P(x)y 1 =Q(x)及 y 2 “+P(x)y 2 =Q(x)得(y 1 +y 2 )“+P(x)(y 1 +y 2 )=(+)Q(x)又因 y 1 + 2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=113.微分方程 y“一 7y“=(x 一 1) 2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1（分数
18、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y * =x(Ax 2 +Bx+C)）解析：解析：原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 7r=0，特征根 r 1 =7，r 2 =0而 f(x)=x 2 一2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答14.以 y=cos2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“+4y=0）解析：解析：由特解 y=cos2x+sin 2x 知特征根为 r 1,2 =2i，特征方程是 r 2 +4=0，其对应方程即y“+4y=015.微分方程(1 一 x 2 )y-xy“=0 满足初
19、值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 积分得通解 由初值 y(1)=1 解出16.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.微分方程 y“一 2y“=x 2 +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y * =x(Ax 2 +Bx+C)+Dxe 2x）解析：解析：特征方程为 r 2 一 2r=0，特征根 r 1 =0，r 2 =2对 f 1 =x 2 +1， 1 =0 是特征根，所以 y 1 * =x
20、(Ax 2 +Bx+C)对 f 2 =e 2x ， 2 =2 也是特征根，故有 y 2 * =Dxe 2x 从而 y * 如上18.特征根为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：特征方程为 即19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Cx+2，其中 C 为任意常数）解析：解析：将所给方程两边同乘以 x，得20.微分方程： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 x 5 +C 2 x 3 +C 3 x 2 +C 4 x 2 +C 5 ，C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 ，C 5 为任意常数）解析：解析：
21、21.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分万程是 1?（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 3y“=0）解析：解析：由特解 y=7e 3x +2x 知特征根为 r 1 =3，r 2 =r 3 =0(二重根)特征方程为 r 3 一 3r 2 =0，相应齐次线性方程即 y“一 3y“=0三、解答题(总题数：25，分数：50.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求微分方程 y “ +2y “ +y=xe x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 r 2 +2r+1=0 的两个
22、根为 r 1 =r 2 =一 1对应齐次方程之通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e -x 设所求方程的特解为 y * =(ax+b)e x ，则(y * )“=(ax+a+b)e x ，(y * )“=(ax+2a+b)e x ，代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e x =xe x 解得 ，而 最后得所求之通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -x + )解析：24.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给微分方程的特征方程为 r 2 +5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为 r 1 =一 2，r 2 =一 3于是，对应齐次
23、微分方程的通解为 )解析：25.求微分方程(3x 2 +2xy 一 y 2 )dx+(x 2 一 2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 3x 2 dx+(2xyy 2 )dx+(x 2 一 2xy)dy=0，即 d(x 3 )+d(x 2 yxy 2 )=0，故通解为 x 3 +x 2 y 一 xy 2 =C，其中 C 为任意常数)解析：26.设 y(x)是方程 y (4) 一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式 当 x0 时，y(x)与 x 3 同阶y(0)
24、=0，y“(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y (4) 一 y“=0 两边积分得 即y“(x)一 Cy“(x)=0，两边再积分得 y“(x)一 y(x)=Cx易知，它有特解 y * =一 Cx，因此它的通解是y=C 1 e x +C 2 e -x 一 Cx由初值 y(0)=0，y“(0)=0 得 C 1 +C 2 =0， 因此最后得 )解析：27.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 1 =te 可知 y 3 =e t 亦
25、为其解，由 y 2 =sin2t 可得 y 4 =cos2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1 = 3 =1， 2 =2i， 4 =一 2i其特征方程为 ( 一 1) 2 ( 2 +4)=0，即 4 2 3 +5 2 8+4=0故所求微分方程为 y (4) 一 2y“+5y“一 8y“+4y=0，其通解为 y=(C 1 +C 2 t)e t +C 3 cos2t+C 4 sin 2t，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数)解析：28.一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8 m，另一端离开钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：(1)不
26、计钉子对链条的摩擦力；(2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)在时刻 t 时，链条下滑路程为 x(t)(m)，以 表示链条的长度密度，由牛顿第二定律 (2)链条下滑路程 x(t)满足方程 )解析：29.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y“(0)=2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： p 2 =e 2y +2e y +C，即 y 2 “=e 2y +2e y +C 又 y(0)=0，y“(0)=2，有C=1，所以 y 2 “=e 2y +2e y +1=(e y +1) 2 ， )解析：30.求方程
27、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是变量可分离方程当 y 2 1 时，分离变量得 两边积分，得 去掉绝对值记号，并将e 2C1 记成 C，并解出 y，得 这就是在条件 y 2 1 下的通解此外，易见y=1 及 y=一 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中以 y(0)=2 代入式中得 故 C=一3于是得到满足 y(0)=2 的特解 )解析：31.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之 )解析：32.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型：)解
28、析：33.求(y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可以验知，这是全微分方程按解全微分方程办法解之记 P(x，y)=y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y，Q(x，y)=3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 ，有 )解析：34.求微分方程 y “ (3y “2 x)=y“满足初值条件 y(1)=y“(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是不显含 y 型的二阶微分方程 y“=f(x，y“)，按典型步骤去做即可 化为 3p 2 dp 一(xdp+p
29、dx)=0这是关于 p 与 x 的全微分方程，解之得 p 3 一 xp=C 1 以初值条件：x=1时，p=1 代入，得 C 1 =0从而得 p 2 一 xp=0分解成 p=0 及 p 2 =x，即 )解析：35.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是 y“=f(y，y“)型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可 )解析：36.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应先用三角公式将自由项写成 e -x +e -x cosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1 cosx+C 2 sinx)e -x 为求原方程的一个特解，将自由项
30、分成两项：e -x ,e -x cosx，分别考虑 y“+2y“+2y=e -x ， 与 y“+2y“+2y=e -x cosx)解析：37.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为欧拉方程，按解欧拉方程的办法解之设 X0，令 x=e t 有 T=lnx，经计算化原方程为 得通解为 设 x0，令 x=-u，原方程化为 y 关于 u 的方程 得通解 合并两种情形得原方程的通解为 )解析：38.求 y“一 y=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e x 在 x=
31、0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解当 x0 时，方程为 y“一 y=e x ， )解析：39.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 代入式，注意到 f 中的变元实际是一元 所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程 )解析：40.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 z=z(u，v)，u=x 一 2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应该满足的微分方程，也许这个方程能
32、用常微分方程的办法解之 )解析：41.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“一(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t=e x ，y=f(t)y“=f“(t).e x =tf“(t)，y“=(tf“(t) x “=e x f“(t)+tf“(t).e x =tf“(t)+t 2 f“(t)，代入方程得 t 2 f“(t)+tf“(t)一(2t+1)tf“(t)+t 2 f(t)=t 3 ，即f“(t)一 2f(t)+f(t)=t解得 f(t)=(C 1 +C 2 t)e t +t+2，所以 y“一(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解为 y=(C 1 +C 2 e x )e x +ex+2，其中 C 1 ，C 2 为任意常数)解析：42.(1)用 x=e t 化简微分方程 (2)求解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：43.求解微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：欲求解的方程是欧拉方程，令 1+x=e t ，则由复合函数的求导法则有 )解析：44.设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 （分数：2.00）_正确答
