1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 15 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 （分数：2.00）A.。B.。C.。D.均不是。3.已知微分方程 y“一 4y+4y=0，函数 C，C2xe 2x (C 1 ，C 2 为任意常数)为( )（分数：2.00）A.方程的通解。B.方程的特解。C.非方程的解。D.是解，但不是通解也不是特解。4.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x
2、)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)。B.C 1 1 (x)一 2 (x)+C 2 3 (x)。C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x)一 3 (x)。D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1。5.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y+y=0。B.y“+y“一 y一 y=0。C.y“一 6y“+11y一 6y
3、=0。D.y“一 2y“一 y+2y=0。6.如果 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0)=2 的特解为( )（分数：2.00）A.y=eos2x+2。B.y=cos2x+1。C.y=2cosx。D.y=2cos2x。7.设 y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程 y“+Py+Qy=3e 2x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则极限 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.方程 y“+2y“=x 2 +xe -2x 的特解形式为( )。（分数：2.00）A.y=ax 2 +bx+c+x(dx+e)e -2x 。B.y
4、=x 2 (ax 2 +bx+c)+x 2 e -2x 。C.y=(ax 2 +bx+c)+(dx+e)e -2x 。D.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e -2x 。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)9.设 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)(C 1 ，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 y“一 y一 2y=e 2x 的通解为一 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 y+y=e -x cosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y= 1。（分数：2.
5、00）填空项 1:_12.微分方程 y“一 2y+2y=e x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y(x)为微分方程 y“一 4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.方程(xy 2 +x)dx+(yx 2 y)dy=0 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 yy“+(y) 2 =0 满足条件 y(0)=1，y(0)= （分数：2.00）填空项
6、 1:_17.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设连续函数 f(x)满足 f(x)= 0 2x f( （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设单位质点在水平面内做直线运动，初速度 v t=0 =v 0 。已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问 t 为多少时，此质点的速度为 （分数：2.00）_21.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x 一 e -x ，y 3 =xe x +e 2x +e -x
7、为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。（分数：2.00）_22.求解二阶微分方程满足初始条件的特解 （分数：2.00）_23.设 f(x)连续，且满足 0 x f(t)dt=x+ 0 x tf(x 一 t)dt，求 f(x)。（分数：2.00）_24.设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。 ()试将x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程； ()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= （分数：2.00）_25.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)
8、满足 （分数：2.00）_26.设有连接两点 A(0，1)与 B(1，0)且位于弦 AB 上方的一条上凸的曲线，P(x，y)为曲线上任一点。已知曲线与弦 AP 之间的面积为 P 点横坐标的立方，求曲线方程。（分数：2.00）_27.求微分方程 xy“+3y=0 的通解。（分数：2.00）_28.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)。（分数：2.00）_29.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_30.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)
9、，g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，试求 （分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）模拟试卷 15 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 （分数：2.00）A.。B.。C.。 D.均不是。解析：解析：可直接观察出方程不是一阶线性微分方程。对于方程，将其变形为3.已知微分方程 y“一 4y+4y=0，函数 C，C2xe 2x (C 1 ，C 2 为任意常数)为( )（分数：2.00）A.方程的通解。B.方程的
10、特解。C.非方程的解。D.是解，但不是通解也不是特解。 解析：解析：令 f(x)=C 1 C 2 xe 2x ，C 1 、C 2 为任意常数，将 f(x)，f(x)及 f“(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程 y“一 4y+4y=0，故 C 1 C 2 xe 2x 是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为 C 1 C 2 实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故 C 1 C 2 xe 2x 不是通解，故选 D。4.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关
11、的解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 3 (x)。B.C 1 1 (x)一 2 (x)+C 2 3 (x)。C.C 1 1 (x)+ 2 (x)+C 2 1 (x)一 3 (x)。D.C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 1 +C 2 +C 3 =1。 解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)一 3 (x)， 2 (x)一 3 (x)为所对应齐次方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=0 的两个
12、线性无关解。根据非齐次线性方程通解的结构，方程 y“+a 1 (x)y+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)一 3 (x)+C 2 2 (x)一 3 (x)+ 3 (x)， 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1 一 C 1 C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，故选 D。5.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y+y=0。B.y“+y“一 y一 y=0。 C.y“一 6y“+11y一 6y=0。D
13、.y“一 2y“一 y+2y=0。解析：解析：由三个特解的形式知 1，2，3 =一 1，一 1，1 为所求齐次线性微分方程对应特征方程的 3个根，即(+1) 2 ( 一 1)= 3 + 2 一 一 1。因此微分方程形式为 y“+y“一 y一 y=0，应选 B。6.如果 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0)=2 的特解为( )（分数：2.00）A.y=eos2x+2。B.y=cos2x+1。C.y=2cosx。D.y=2cos2x。 解析：解析：因为 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解。将其代入微分方程，得 一 2si
14、n2x+P(x)cos2x=0， 所以得 P(x)=2tan2x。 则原微分方程为 y+2tan2xy=0， 这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得 =一 2tan2xdx， 等式两边积分，得7.设 y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程 y“+Py+Qy=3e 2x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则极限 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：在微分方程 y“+Py+Qy=3e 2x 中，取 x=0 得 y“(0)+Py(0)+Qy(0)=3， 由已知条件 y(0)=y(0)=0，得 y“(0)=3。 则由等价无穷小代换及洛必达法则 8.方程 y“+2
15、y“=x 2 +xe -2x 的特解形式为( )。（分数：2.00）A.y=ax 2 +bx+c+x(dx+e)e -2x 。B.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x 2 e -2x 。C.y=(ax 2 +bx+c)+(dx+e)e -2x 。D.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e -2x 。 解析：解析：原方程对应的齐次微分方程 y“+2y“=0 的特征方程为 3 +2 2 =0。 其特征根为=0，=一 2，因此方程 y“+2y“=x 2 特解的形式为 x 2 (ax 2 +bx+c)，方程 y“+2y“=xe -2x 特解的形式为 xe -2x (dx+e)，由叠
16、加原理可知方程 y“+2y“=x 2 +xe -2x 的特解形 式为 y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e -2x ， 故选 D。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)9.设 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)(C 1 ，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 2y+2y=0）解析：解析：由 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)，等式两边对戈求一阶、二阶导数，得 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)+e x (C 1 cosxC
17、2 sinx)， y“=2e x (C 1 cosxC 2 sinx)， 联立上述三式消去 C 1 ，C 2 ，得 y“一 2y+2y=0。10.微分方程 y“一 y一 2y=e 2x 的通解为一 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e -x +C 2 e 2x + ）解析：解析：对应齐次方程的特征方程为 2 一 一 2=0，特征根为 1 =一 1， 2 =2，因 =2 是特征方程的一个单根，故令特解为 y * =Axe 2x ，代入原方程得 A= 。 则通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 2x + 11.微分方程 y+y=e -x cosx 满足条
18、件 y(0)=0 的解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -x sinx）解析：解析：由一阶线性微分方程通解公式，原方程的通解为 y=e -1dx e -x cosxe 1dx dx+C=e -x cosxdx+C=e -x (sinx+C)， 由 y(0)=0，得 C=0，故所求特解为 y=e -x sinx。12.微分方程 y“一 2y+2y=e x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e x (C 1 cosx+C 2 sinx)+e x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程对应的齐次方程的特
19、征方程为 2 2+2=0，特征根为 1，2 =1i，故对应的齐次方程的通解为 Y=e x (C 1 cosx+C 2 sinx)。 由于 =1 不是特征根，可设特解形式为 y * =Ae x ，代入原方程可得 A=1。故原方程的通解为 y=e x (C 1 cosx+C 2 sinx)+e x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。13.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由y= +(其中 是当x0 时的无穷小量)，得 y= =0，由一阶线性微分方程的通解公式得 y= ，再由 y(0
20、)=2，得 C=2，所以 y=14.设 y(x)为微分方程 y“一 4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：经计算得，微分方程 y“一 4y+4y=0 的通解为 y=(C+C2x)e 2x 。 且由初始条件 y(0)=1，y(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，即 y=e 2x 。 于是 0 1 y(x)dx= 15.方程(xy 2 +x)dx+(yx 2 y)dy=0 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +1=C(x
21、 2 一 1)，C 为任意常数）解析：解析：此为可分离变量的微分方程，由题干可得 (y 2 +1)xdx+(1 一 x 2 )ydy=0， 分离变量得 16.微分方程 yy“+(y) 2 =0 满足条件 y(0)=1，y(0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 =x+1）解析：解析：原微分方程可以变形为(yy)=0，两边同时积分可得 yy=C 1 ，此为可分离变量的微分方程。分离变量得 ydy=C 1 dx， 两边同时积分得 y 2 =C 1 x+C 2 ， 代入初值条件 y(0)=1，y(0)= 17.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y= 1。（
22、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx，C 为任意常数）解析：解析：此一阶线性微分方程的 p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式 y=e -p(x)dx q(x)e p(x)dx dx+C =e -tanxdx cosxe tanxdx dx+C =cosxcosx 18.设连续函数 f(x)满足 f(x)= 0 2x f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2x e x）解析：解析：因 0 2x f( )dt=2 0 x f(t)dt，所以 f(x)= 0 2x f( 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)19
23、.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设单位质点在水平面内做直线运动，初速度 v t=0 =v 0 。已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问 t 为多少时，此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该单位质点的速度为 v，则加速度为 v。根据题意可知，该质点受到的阻力 F=一 v(负号表示阻力的方向与运动方向相反)。由牛顿第二定律 F=ma 可得 一 v=v， 结合初值条件 v t=0 =v 0 。解此方程，得 v=v 0 e -t 。 由 v 0 e -t = 解得，t=ln3。 到此时刻该质点所经过的路程 s= 0 ln3 v
24、 0 e -t dt= )解析：21.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x 一 e -x ，y 3 =xe x +e 2x +e -x 为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y 1 ，y 3 线性无关，则 y 3 一 y 1 =e -x 为对应齐次方程的解，那么 y 2 +e -x =xe x 为非齐次解， 而 y 0 xe x =e 2x 为齐次解。 则齐次方程的特征方程为(+1)( 一 2)=0，即 2 一 一 2=0。故齐次方程为 y“一 y 一 2y=0。 设所求的二阶线性非齐次方程为 y“一 y一 2
25、y=f(x)。 将 y=xe x ，y=e x +xe x 及 y“=2e x +xe x 代入该方程得 f(x)=e x (12x)。 故所求方程为 y“一 y一2y=e x (12x)。)解析：22.求解二阶微分方程满足初始条件的特解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u= =uu，则原方程化为 ucosyu+u 2 siny=u。当 u=0，y=c 不符合初始条件，舍去。 当 u0 时，得到 u+utany= ，解为 u=e -tanydy e tanydy dy+C=cosy(C+tany)， y=cosy(C+tany)， 由 y(一 1)= ，得 C=0。因此 y=si
26、ny。 解方程 =siny得 lncscycoty=x+C 2 ，由 y(一 1)= ， 则所求微分方程满足初始条件的解为 )解析：23.设 f(x)连续，且满足 0 x f(t)dt=x+ 0 x tf(x 一 t)dt，求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 一 t=u，则 0 x tf(x 一 t)dt= 0 x (x 一 u)f(u)du =x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du， 所以有 0 x f(t)dt=x+x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du，在等式两端求导得 f(x)=1+ 0 x f(u)du+xf(x)一 xf(x)
27、， 即 f(x)=1+ 0 x f(u)du， 等式两端再次求导 f(x)=f(x)。 解此微分方程得 f(x)=Ce x 。 又由 f(0)=1，得 C=1，故 f(x)=e x 。)解析：24.设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。 ()试将x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程； ()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由反函数求导法则， 将以上两式代入所给微分方程得 y“一 y=sinx。 ()由()中结果，则对应齐次方程的特征方
28、程为 2 一 1=0，特征根为 1，2 =1。 由于 i 不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为 y * =Acosx+Bsinx，并将 y * ，(y * )及(y * )“ 代入 y“一y=sinx，得 A=0，B=一 。 则非齐次方程通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 一 sinx。 又由 y(0)=0，y(0)= ，可得 C 1 =1，C 2 =一 1。 则所求特解为 y=e x 一 e -x 一 )解析：25.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导法则， =f(u)e x cosy。
29、故 =f“(u)e 2x sin 2 y+f(u)e x siny， )解析：26.设有连接两点 A(0，1)与 B(1，0)且位于弦 AB 上方的一条上凸的曲线，P(x，y)为曲线上任一点。已知曲线与弦 AP 之间的面积为 P 点横坐标的立方，求曲线方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 81，设曲线方程为 y=f(x)，则弦 AP 的方程为 由一阶线性微分方程通解公式，得 f(x)= )解析：27.求微分方程 xy“+3y=0 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=p，则 y“= =0。 解得 p=C 1 )解析：28.设 f(x)在0，+)上连续，且 f
30、(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因曲线上凸，故有 y“0。由曲率计算公式，得 即 y“=一(1+y 2 )，这是不显含 x 也不显含 y 的可降价方程。令 p=y，则 y“=p，上述微分方程可化为 p=一(1+p 2 )， 解此可分离变量的微分方程可得 arctanp=C 1 一 x，即 arctany=C 1 一 x。 由曲线过点(0，1)，且在该点切线方程为
31、y=x+1，可得初始条件 y(0)=1，y(0)=1。故由 y(0)=1，得 C 1 = ，因此 arctany= 一 x， 即 y=tan( 一 x)，等式两端积分可得 y=lncos( 一 x)+C 2 。 由 y(0)=1，得 C 2 =1+ ln2。因此所求曲线方程为 y=ln )解析：30.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=g(x)可得 f“(x)=g(x)，则 f“(x)+f(x)=2e x ， 显然该方程有特解 e x 。该微分方程的特征方程为 2 +1=0，解得 =i，故设微分方程的通解为 f(x)=C 1 sinx+C 2 cosx+e x ， 再由 f(0)=0，f(0)=g(0)=2，解得 C 1 =1，C 2 =一 1，故 f(x)=sinxcosx+e x ，则 )解析：
