1、考研数学一（线性代数）-试卷 20 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 阶方阵 A 的秩为 r，且 rn，则在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量均可构成极大线性无关组C.任意 r 个行向量均线性无关D.任一行向量均可由其它 r 个行向量线性表示3.向量组(I)： 1 ， 2 ， m 线性无关的充分条件是(I)中( )（分数：2.00）A.每个向量均不是零向量B.任意两个向量的分量
2、都不成比例C.任一向量均不能由其余 m 一 1 个向量线性表示D.有一部分向量线性无关4.设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=mn，E 为 m 阶单位阵，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式都不为 cC.若 BA=O，则 B=0D.经初等行变换，可将 A 化为(E m O)的形式5.设有两组 n 维向量 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， 2 ， m 和 k 1 ，k 2 ，k m ，使( 1 +k 1 ) 1 +( m +k m ) m +( 1 一 k 1 ) 1 +( m 一 k m ) m
3、 =0，则( )（分数：2.00）A. 1 ， m 和 1 ， m 都线性相关B. 1 + 1 ， m + m ， 1 1 ， m m 线性相关C. 1 ， m 和 1 ， m 都线性无关D. 1 + 1 ， m + m ， 1 1 ， m m 线性无关6.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1 ， 2 ， m1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m1 ，则( )（分数：2.00）A. m 不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示B. m 不能由(I)线性表示，但可由(II)线性表示C. m 可由(I)线性表示，也可由(II)线性表示D. m
4、 可由(I)线性表示，但不可由(II)线性表示7.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3 8.若向量组 ， 线性无关；， 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示D. 必不可由 ， 线性表示9.设 1 ， 2 ， s 均为
5、 n 维向量，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s m 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s m =0C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关二、填空题(总题数：3，分数：6.00)10.若向量组 1 =(1，1，2，一 2)， 2 =(13，一 x，一 2
6、x)， 3 =(1，一 1，6，0)的秩为 2，则x= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.向量空间 w=(x，2y，0) T R 3 x，3，R)的维数为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设向量组 1 =(2，1，1，1)， 2 =(2，1，a，a)， 3 (3，2，1，a)， 4 =(4，3，2，1)线性相关，且 a1，a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ，
7、s1 = s1 + s ， s = s + 1 ，讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_15.设 1 = （分数：2.00）_16.已知向量组 （分数：2.00）_17.证明：n 维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关的充分必要条件是行列式 （分数：2.00）_18.设向量组(I)： 1 ， 2 ， 3 的秩为 3；向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为 3；向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 5 的秩为 4证明：向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 5 一 4 的秩为 4（分数：2.00）_19.设 为实 n 维非零列向量， T 表示 的转置(1)证明
8、：A=E 一 （分数：2.00）_20.设向量组(I)： 1 ， 2 ， r 诉线性无关，且(I)可由()： 1 ， 2 ， s 线性表示证明：在()中至少存在一个向量 j ，使得 j ， 2 ， r 线性无关（分数：2.00）_21.设向量组 1 ， r 线性无关，又 1 =a 11 1 +a 21 2 +a r1 r 2 =a 12 1 +a 22 2 +a r2 r ， r =a 1r 1 +a 2r 2 +a rr r 记矩阵 A=(a ij ) rr ，证明： 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是 A 的行列式A0（分数：2.00）_22.求下列向量组的一个极大线性无关组，并
9、用极大线性无关组线性表出该向量组中其它向量： 1 =(1，2，3，一 4)， 2 =(2，3，一 4，1)， 3 =(2，一 5，8，一 3)， 4 =(5，26，一 9，一 12)， 5 =(3，一 4，1，2)（分数：2.00）_23.设有向量组(I)： 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(一 1，一 3，5，1) T ， 3 =(3，2，一 1，t+2) T ， 4 =(一 2，一 6，10，t) T (1)t 为何值时，(I)线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用(I)线性表出； (2)t 为何值时，(I)线性相关?并在此时求(I)的秩及一个极大无关组（分数：2
10、.00）_24.已知 R n 的两个基分别为 （分数：2.00）_25.设 1 ， n1 ， 1 ， 2 均为 n 维实向量， 1 ， n1 线性无关，且 j (j=1，2)与 1 ， n1 均正交证明： 1 与 2 线性相关（分数：2.00）_26.设 i =(a i1 ，a i2 ，a im ) T (i=1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1 ， r 线性无关已知 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_27.设有向量组(I)： 1 =(1+a，1，1，1) T ， 2 =(2，2+a，2，2) T ， 3 =(3，3，3+a) T ， 4 =(4，
11、4，4，4+a) T 问 a 取何值时，(I)线性相关?当(I)线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 20 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 阶方阵 A 的秩为 r，且 rn，则在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量均可构成极大线性无关组C.任意 r 个行向量均线性无关D.任一行向量均可由其它 r
12、 个行向量线性表示解析：3.向量组(I)： 1 ， 2 ， m 线性无关的充分条件是(I)中( )（分数：2.00）A.每个向量均不是零向量B.任意两个向量的分量都不成比例C.任一向量均不能由其余 m 一 1 个向量线性表示 D.有一部分向量线性无关解析：4.设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=mn，E 为 m 阶单位阵，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式都不为 cC.若 BA=O，则 B=0 D.经初等行变换，可将 A 化为(E m O)的形式解析：解析：由 BA=O 知 A 的每个列向量均为齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，因 r
13、(A)=m，知 A 的列向量组的极大无关组含 m 个向量，故方程组 Bx=0 的基础解系至少含 m 个解向量，即 mr(B)m，r(B)0，r(B)=0，B=0故(B)正确注意当 r(A)=mn 时，要将 A 化为标准形，仅仅通过初等行变换是不行的，还要对 A 作初等列变换，才能化成标准形，故(D)不对5.设有两组 n 维向量 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， 2 ， m 和 k 1 ，k 2 ，k m ，使( 1 +k 1 ) 1 +( m +k m ) m +( 1 一 k 1 ) 1 +( m 一 k m ) m =0，则( )（分数：2.00
14、）A. 1 ， m 和 1 ， m 都线性相关B. 1 + 1 ， m + m ， 1 1 ， m m 线性相关 C. 1 ， m 和 1 ， m 都线性无关D. 1 + 1 ， m + m ， 1 1 ， m m 线性无关解析：解析：由条件知有不全为零的数 1 ， m ，K 1 ，k m ，使 1 ( 1 + 1 )+ m ( m + m )+k 1 ( 1 一 1 )+k m ( m 一 m )=0，所以，向量组 1 + 1 ， m + m ， 1 一 1 ， m 一 m 必线性相关6.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1 ， 2 ， m1 线性表示
15、，记向量组()： 1 ， 2 ， m1 ，则( )（分数：2.00）A. m 不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示B. m 不能由(I)线性表示，但可由(II)线性表示 C. m 可由(I)线性表示，也可由(II)线性表示D. m 可由(I)线性表示，但不可由(II)线性表示解析：解析：由条件，存在常数 k 1 ，k m1 ，k m ，使 =k 1 1 +k m1 m1 +k m m (*)，且必有 k m 0(否则，=k 1 1 +k m1 m1 ，这与 不能由(I)线性表示矛盾)，于是由(*)式解得 m = 7.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是(
16、 )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3 解析：解析：记选项(C)中的 3 个向量分别为 1 = 1 +2 2 ， 2 =2 2 +3 3 ， 3 =3 3 + 1 ，则利用矩阵乘法可将此线性表示式写成 1 2 3 = 1 2 3 ，因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故矩阵 1 2 3 为列满秩矩阵，而用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，于是 r 1 2 3 = 8
17、.若向量组 ， 线性无关；， 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示解析：解析：由部分组与整体组线性相关性的关系，知 ， 线性无关，又 ， 线性相关，由此知 可由 ， 线性表示：=k 1 +k 2 =k 1 +k 2 +0，所以(C)正确 或由 ， 线性无关，而 ， 线性相关，知 必可由 ， 线性表示9.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s
18、 m 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s m =0 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：反例： 1 = 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)10.若向量组 1 =(1，1，2，一 2)， 2 =(13，一 x，一 2x)， 3 =(1，一 1，6，0)的秩为 2，则x= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析
19、：由11.向量空间 w=(x，2y，0) T R 3 x，3，R)的维数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：w 中的向量可写成 =(x，2y，0) T =x(1，0，0) T +y(0，2，0) T ，可见 w 是由向量 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，2，0) T 生成的 R 3 的子空间， 1 ， 2 线性无关，因而可作为 W 的基，所以 dim(w)=212.设向量组 1 =(2，1，1，1)， 2 =(2，1，a，a)， 3 (3，2，1，a)， 4 =(4，3，2，1)线性相关，且 a1，a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
20、正确答案：正确答案：*）解析：解析：由以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为行构成的方阵的行列式等于零，即(a 一 1)(2a 一 1)=0，及 n1，得 a= 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s1 = s1 + s ， s = s + 1 ，讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 2 s = 1 2 s 记上式最右边的 s 阶矩阵为 A，则由于 1
21、 2 s 为列满秩矩阵，知 1 2 s =r(A)，即有： 1 ， 2 ， r 线性无关(线性相关) )解析：15.设 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =,该方程组的系数行列式为= 1 2 3 = 2 (+3)故当 0 且 一 3 时，由克莱姆法则知方程组有唯一解，即此时 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示且表达式唯一当 =0 时，=0，方程组为齐次线性方程组，有无穷多解，故此时 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表达式不唯一当 =一3 时，对方程组的增广矩阵施行初等行变换 )解析：16
22、.已知向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 与 2 线性无关，且 1 =3 1 +2 2 ，秩( 1 ， 2 ， 3 =2，秩 1 ， 2 ， 3 =2，行列式 1 2 3 =0，a=3b，又 3 可由 1 ， 2 ， 3 =3 1 +2 2 线性表示， 3 可由 1 ， 2 线性表示，行列式 1 2 3 =0，b=5，a=15)解析：17.证明：n 维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关的充分必要条件是行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 A= 1 2 3 ，则 1 ， 2 ， n ，线性无关 A0，而 D=A T A=A T A=A 2 ，故A0 )
23、解析：18.设向量组(I)： 1 ， 2 ， 3 的秩为 3；向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为 3；向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 5 的秩为 4证明：向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 5 一 4 的秩为 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知(I)线性无关，而(II)线性相关故 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，设为： 4 = 1 1 + 2 2 + 3 3 设有一组数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 ( 5 一 4 )=0，即(x 1 1 x 4 ) 1 +(x 2 一 2 x 4
24、 ) 2 +(x 3 3 x 4 ) 3 +x 4 5 =0，由()线性无关，得齐次线性方程组 )解析：19.设 为实 n 维非零列向量， T 表示 的转置(1)证明：A=E 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记常数 b= ，则 b0，A=E 一 b T (1)A T =(E 一 b T ) T =E 一baa T =A，所以 A 为对称矩阵AA T =AA=(E 一 b T )(Eb T )=E 一 2b T +b 2 ( T ) T ，而 T = ，代入上式得 AA T =E，所以 A 为正交矩阵 (2) )解析：20.设向量组(I)： 1 ， 2 ， r 诉线性无关，且(I)
25、可由()： 1 ， 2 ， s 线性表示证明：在()中至少存在一个向量 j ，使得 j ， 2 ， r 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可用反证法：否则，对于 j=1，2，s，向量组 j ， 2 ， r 线性相关，又 2 ， r ，线性无关，故 j 可由 2 ， r ，线性表示，()可由 2 ， r ，线性表示，又已知 1 可由(II)线性表示， 1 可由 2 ， r 线性表示，这与(I)线性无关矛盾)解析：21.设向量组 1 ， r 线性无关，又 1 =a 11 1 +a 21 2 +a r1 r 2 =a 12 1 +a 22 2 +a r2 r ， r =a 1r 1
26、+a 2r 2 +a rr r 记矩阵 A=(a ij ) rr ，证明： 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是 A 的行列式A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 j 及 j 均为 n 维列向量(j=1，2，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 1 2 r = 1 ， 2 ， r A 或 B=PA，(*) 其中 B= 1 2 s 及 P= 1 ， 2 ， r 均为 nr 矩阵，且矩阵 P 的列向量组线性无关于是可证两个齐次线性方程组 Bx=0 与 Ax=0 同解；若 x 满足 Ax=0，两端左乘 P 并利用 PA=B，得 Bx=0；若 x 满足 Bx=0，即PAx=0，
27、或 P(Ax)=0，因 P 的列向量组线性无关，得 Ax=0，所以，Ax=0 与 Bx=0 同解，它们的基础解系所含向量个数相等，即 r 一 r(A)=rr(B)，r(A)=r(B)所以，向量组 1 r 线性无关r 1 2 r =r )解析：22.求下列向量组的一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表出该向量组中其它向量： 1 =(1，2，3，一 4)， 2 =(2，3，一 4，1)， 3 =(2，一 5，8，一 3)， 4 =(5，26，一 9，一 12)， 5 =(3，一 4，1，2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 5 是一个极大无关组，且 3 = 1 2
28、+ 5 ， 4 =3 1 +4 2 2 5 或 1 ， 2 ， 3 是一个极大无 关组，且 4 =5 1 +2 2 2 3 ， 5 =一 1 + 2 + 3 )解析：23.设有向量组(I)： 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(一 1，一 3，5，1) T ， 3 =(3，2，一 1，t+2) T ， 4 =(一 2，一 6，10，t) T (1)t 为何值时，(I)线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用(I)线性表出； (2)t 为何值时，(I)线性相关?并在此时求(I)的秩及一个极大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对下列矩阵作初等行变换： (1)由阶
29、梯形矩阵可见，当 t2 时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，此时，再对上面的阶梯形矩阵施行初等行变换，化为 )解析：24.已知 R n 的两个基分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 2 3 = 1 2 3 C C= 1 2 3 1 1 2 3 = )解析：25.设 1 ， n1 ， 1 ， 2 均为 n 维实向量， 1 ， n1 线性无关，且 j (j=1，2)与 1 ， n1 均正交证明： 1 与 2 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n+1 个 n 维向量 1 ， n1 ， 1 ， 2 ，线性相关，故有不全为 0 的一组数 k 1 ，k n1 ，
30、k n ，k n+1 ，使 k 1 1 +k n1 n1 +k n 1 +k n+1 2 =0，且 k n 与 k n+1 不全为 0(否则 k 1 ，k n1 不全为 0，使 k 1 1 +k n1 n1 =0，这与 1 ， n1 线性无关矛盾)，用 k n 1 +k n+1 2 与上面等式两端作内积，得k n 1 +k n+1 2 2 =0，k n 1 +k n+1 2 =0且因 k n 和 k n+1 不全为 0，知 1 与 2 线性相关)解析：26.设 i =(a i1 ，a i2 ，a im ) T (i=1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1 ， r 线性无关已知 =(b 1
31、，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线性无关，证明如下：由题设条件有 T i =0(i=1，2，r)设 k 1 1 +k r r +k n+1 =0，两端左乘 T ，并利用 T i =0 及 T 0，得 k r+1 =0，k 1 1 +k r r =0，又 1 ， r 线性无关，k 1 =k r =0，故 1 ， r ， 线性无关)解析：27.设有向量组(I)： 1 =(1+a，1，1，1) T ， 2 =(2，2+a，2，2) T ， 3 =(3，3，3+a) T ， 4 =(4，4，4，4+a) T 问 a 取何值时，(I)线性相关?当(I)线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，由A=0 或由初等行变换，可得：当a=0 或 a=一 10 时，(I)线性相关当 a=0 时， 1 为(I)的一个极大无关组，且 2 =2 1 ， 3 =3 1 ， 4 =4 1 ；当 a=一 10 时，对 A 施行初等行变换：A )解析：
