1、考研数学一（线性代数）-试卷 30 及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 （分数：2.00）A.24B.一 24C.48D.一 483.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且E+A=0，则2E+A 2 为( )（分数：2.00）A.0B.54C.-2D.-244.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.0B.一 EC.ED.E+ T 5.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的
2、是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 AB 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆6.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵B.设 A，B 可逆，则 A -1 +B -1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵7.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n，则 B=0D.若 AB0
3、，则A0 或B08.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0D.若A0 则B09.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定10.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm11.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1
4、B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=412.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.A=013.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.14. （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 115. （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 -1 AP 1D.B=P 1 -1 AP 2
5、-1二、填空题(总题数：24，分数：48.00)16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一2，a 一 1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且A=3，则 1 +2 2 ， 2 3 3 ， 3 +2 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且
6、A=3，B=4，则5A 一 2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 =(1，一 1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_22. （分数：2.00）填空项 1:_23. （分数：2.00）填空项 1:_24.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_25.设 A 是三阶矩阵，且A=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_26. （分数：2.00）填空项 1:_27. （分数：2.00）填空项 1:_28.设 A 为三阶矩阵，且A=3，则(一 2A) * = 1（分数：2.0
7、0）填空项 1:_29. （分数：2.00）填空项 1:_30. （分数：2.00）填空项 1:_31. （分数：2.00）填空项 1:_32. （分数：2.00）填空项 1:_33.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_34. （分数：2.00）填空项 1:_35.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ， （分数：2.00）填空项 1:_36.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）填空项 1:_37.设 A 是 43 阶矩阵且 r(
8、A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_38. （分数：2.00）填空项 1:_39. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：5，分数：10.00)40.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_41. （分数：2.00）_42. （分数：2.00）_43. （分数：2.00）_44. （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 30 答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是三阶矩阵，B
9、是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 （分数：2.00）A.24B.一 24C.48D.一 48 解析：解析：3.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且E+A=0，则2E+A 2 为( )（分数：2.00）A.0B.54 C.-2D.-24解析：解析：因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E+A=0，所以 A 有特征值一 1，于是2E+A 2 的特征值为 18，3，于是2E+A 2 =54，选(B)4.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.0B.一 EC.E D.E+ T 解析：解析：5.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.
10、若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 AB 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析：若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB=AB，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)6.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A -1 +B -1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析：解析：由(A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1 +B -1 ) T =(A -1 ) T +(B -1 )
11、 T =A -1 +B -1 ，得 A -1 +B -1 为对称矩阵；由(ka) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)7.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n，则 B=0 D.若 AB0，则A0 或B0解析：解析：8.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0 D.若A0 则B0解析：解析：因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P
12、 1 ，P s ，Q 1 ，Q t ，使得B=P s P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B=0，选(C)9.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析：因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选(C)10.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分
13、数：2.00）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析：显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)11.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析：因为 r(A * )=1，所以 r(A)=41=3，选(C)12.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB) D.A=0解析：解析：因为 AB=0，
14、所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是A=0，选(D)13.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：14. （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 1 解析：解析：P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选(D)15. （分数：2.00）A.B=
15、P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 -1 AP 1D.B=P 1 -1 AP 2 -1 解析：解析：二、填空题(总题数：24，分数：48.00)16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23）解析：解析：按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x 2 项的系数为 2317.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一2，a 一 1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由(a+1)
16、+2(a 一 2)+3(a 一 1)=0 得 a=118.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-1) mn ab）解析：解析：将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则19.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且A=3，则 1 +2 2 ， 2 3 3 ， 3 +2 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-33）解析：解析： 1 +2 2 ， 2 3 3 ， 3 +2 1 =
17、 1 ， 2 3 3 ， 3 +2 1 +2 2 ， 2 3 3 ， 3 +2 1 = 1 ， 2 -3 3 ， 3 +2 2 ，-3 3 ， 3 +2 1 = 1 ， 2 ， 3 一 6 2 ， 3 ， 3 +2 1 = 1 ， 2 ， 3 一 6 2 ， 3 ，2 1 = 1 ， 2 ， 3 一 12 2 ， 3 ， 1 = 1 ， 2 ， 3 一 12 1 ， 2 ， 3 =一 3320.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且A=3，B=4，则5A 一 2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：63）
18、解析：解析：由 5A 一 2B=(5，5 1 ，5 2 )一(2，2 1 ，2 2 )=(5 一 2，3 1 ，3 2 )，得 5A 一 2B=5 一 2，3 1 ，3 2 =95 一 2， 1 ， 2 =9(5， 1 ， 2 一 2， 1 ， 2 )=6321.设 =(1，一 1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：22. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 2 =2A 得 A n =2 n-1 A，A n-1 =2 n-2 A，所以 A n 一
19、2A n-1 =023. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：24.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：AB=BA）解析：解析：A 2 一 B 2 =(A+B)(A 一 B)=A 2 +BAAB 一 B 2 的充分必要条件是 AB=BA25.设 A 是三阶矩阵，且A=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：26. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：27. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
20、确答案：8）解析：解析：因为 A 为四阶矩阵，且A * =8，所以A * =A 3 =8，于是A=2 又 AA * =AE=2E，所以 A * =2A -1 ，故 28.设 A 为三阶矩阵，且A=3，则(一 2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：576）解析：解析：因为(一 2A) * =(一 2) 2 A * =4A * ，所以(一 2A) * =4A * =4 3 A 2 =649=57629. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：30. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：31.
21、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：32. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：33.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：34. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：35.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：36.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -
22、1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A -1 BA=6A+BA，得 A -1 B=6E+B，于是(A -1 -E)B=6E， 37.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=238. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又因为 B0，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=239. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：5，分数：10.00)40.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：41. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：42. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：43. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：44. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
