1、考研数学一（线性代数）-试卷 43 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=n 且A0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出3.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0
2、 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=b 有唯一解D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解4.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=sC.r(B)=sD.r(B)=n5.设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(Ab)，rB.任意(B)AX=b 有解，BY=0 有非零解C.A0，b 可由 B 的列向量线性表出D.B0，b 可由 A 的列向量线性表出6.设 1 ， 2 ，
3、 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必不成比例8.已知 1 =-1，1
4、，a，4 T ， 2 =-2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A 的 3个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5B.a4C.a-3D.a-3 且 a-4二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 = 1 +2 2 - 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ，则 Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1
5、:_11.已知-2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A 是可逆矩
6、阵（分数：2.00）_16.设 A 是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量 证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_17.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量证明：， 正交（分数：2.00）_18.设矩阵 A= （分数：2.00）_19.已知 A= （分数：2.00）_20.已知 =1，k，1 T 是 A -1 的特征向量，其中 A= （分数：2.00）_21.设矩阵 A= （分数：2.0
7、0）_已知 =1，1，-1 T 是矩阵 A= （分数：4.00）(1).确定参数 A，b 及 对应的特征值 ；（分数：2.00）_(2).A 是否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_22.设矩阵 A= （分数：2.00）_23.设 A 是三阶实对称阵， 1 =-1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A-3E的值（分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；（分数：
8、2.00）_(2).求矩阵 P，使(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 （分数：4.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：2.00）_(2).若 A 3 =A，求秩 r(A-E)行列式A+2E（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 43 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.
9、设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=n 且A0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出 解析：解析：r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出，即为 r(A)=r(Ab)=n，AX=b 有唯一解 (A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非充分条件(可能无解)，(C)是必要条件，但非充分条件(b 由 1 ， 2 ， n 表出，可能不唯一)3.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错
10、误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=b 有唯一解 D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解解析：解析：r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 A T X=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(A T )=r(A)=4r(A T b)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证4.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=s C.r(B)=
11、sD.r(B)=n解析：解析：显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有 BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举例说明5.设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(Ab)，r B.任意(B)AX=b 有解，BY=0 有非零解C.A0，b 可由 B 的列向量线性表出D.B0，b 可由 A 的列向量线性表出解析：解析：6.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 A
12、X=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：方程组有齐次解：2 1 -( 2 + 3 )=2，3，4，5 T ，故选(C)7.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例D.当 1 2
13、时， 1 ， 2 对应分量必不成比例 解析：解析：当 1 = 2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1 ， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 1 2 时， 1 ， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)8.已知 1 =-1，1，a，4 T ， 2 =-2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A 的 3个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5 B.a4C.a-3D.a-3 且 a-4解析：解析： 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由 二、
14、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 = 1 +2 2 - 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ，则 Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 = 1 +2 2 - 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 可知 1 = 均为 Ax=0 的解 由于 1 ， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 - 2 ，
15、 2 - 3 ，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4-r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 - 2 ， 2 - 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为 k 1 10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k-1，1，0 T ,k 为任意常数）解析：解析：由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 11.已知-2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：由E-A=-2E-A=0，可求得 x=4
16、12.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0(n-1 重根)，n(单根)）解析：解析：E-A=13.设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由A+E=A+2E=A+3E=0，知 A 有特征值 =-1，-2，-3，A+4E 有特征值=3，2，1，故A+4E=6三、解答题(总题数：14，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.A 是三阶矩阵， 1 ， 2
17、， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关 1 1 + 2 2 ， 2 2 + 3 3 ， 3 3 + 1 1 线性无关 1 1 + 2 2 ， 2 2 + 3 3 ， 3 3 + 1 1 = 1 ， 2 ， 3 的秩为 3， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关， )解析：16.设 A 是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征
18、值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量 证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )= 因 1 2 3 ，故 1 ， 2 ， 3 线性无关，由上式知 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关 )解析：17.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量证明：， 正交（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=，两边转置得 T A T = T ，
19、 两边右乘 ，得 T A T = T ， T = T ， (-) T =0， 故 T =0， 相互正交)解析：18.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =-1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 r(E-A)=r(-E-A)=1， 故 k=0 时，存在可逆阵 P，使得 P -1 AP=A k=0 时， 故 k=0 时，存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， 3 = 使得 )解析：19.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =(-a)-(1-a)-(1+a)=0， 得 1 =1-a， 2 =a， 3 =1+a 且 a0 时， 1 2 3 ，AA； a=0
20、 时， 1 = 3 =1，r(E-A)= )解析：20.已知 =1，k，1 T 是 A -1 的特征向量，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 A -1 =， 是 A -1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得=A，A -1 可逆， 0，A= 对应分量相等，得 得 2+2k=k(3+k)，k 2 +k-2=0，得k=1 或 k=-2 当 k=1 时，=1，1，1 T ，=4， 当 k=-2 时，=-1，-2，1 T ，=1， )解析：21.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有三个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故特征矩阵 2E-A 的秩
21、应为1 解得 x=2，y=-2，故 )解析：已知 =1，1，-1 T 是矩阵 A= （分数：4.00）(1).确定参数 A，b 及 对应的特征值 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即 )解析：(2).A 是否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=-3，b=0 时，由 知 =-1 是 A 的三重特征值，但 )解析：22.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A * = 0 ，左乘 A，得 AA * =A=-= 0 A即 由，解得 0 =1，代入，得 b=-3，a=c 由A=-1，a=
22、c，有 )解析：23.设 A 是三阶实对称阵， 1 =-1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 = 3 =1 有两个线性无关特征向量 2 ， 3 ，它们都与 1 正交，故可取 2 =1，0，0 T ， 3 =0，1， 1 T ，且取正交矩阵 )解析：24.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A-3E的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 为 A 的特征值，则 -3 为 A-3E 的特征值所以 A-3E 的特征值为-1，1，
23、3，2n-3，故A-3E=(-1)13(2n-3)=-(2n-3)!)解析：设矩阵 （分数：4.00）(1).已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A-E=(-1)(+1) 2 -(2+y)+(2y-1)=0 )解析：(2).求矩阵 P，使(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为对称矩阵，要使(AP) T (AP)=P T A 2 P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A 2 对角化 由(1)得 A 的特征值 1 =-1， 2，3 =1， 4 =3，故 A 2 的特征值 1，2，3 =1， 4 =9且 A 2 的属于
24、特征值 1，2，3 =1 的正交单位化的特征向量为 A 2 的属于特征值 4 =9 的正交单位化的特征向量为 令 P=p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 = )解析：设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 （分数：4.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k 1 +k 2 A+k 3 A 2 ， 由题设 A i = i i (i=1，2，3)，于是 A=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ， 代入式整理得 因为 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式 )解析：(2).若 A 3 =A，求秩 r(A-E)行列式A+2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 3 =A 有 A，A，A 2 =A，A 2 ，A 3 =A，A 2 ，A=，A，A 2 令 P=，A，A 2 ，则 P 可逆，且 )解析：
