1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 104 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有|AB|0B.当 mn 时，必有|AB|=0C.当 nm 时，必有|AB|0D.当 nm 时，必有|AB|=03.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 A
2、X=b 一定有无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 4.设 A=( 1 ， 2 ， m )，其中 i 是 n 维列向量，若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=D.若 AB=O，则 B=O5.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s
3、)=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价6.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示7.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(E+A)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特
4、征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值8.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.|A|=0B.|A|0C.|A|0D.以上都不对二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且|EA|=|E2A|=|E3A|=0，则|B 1 +2E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 为非零向量，A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=
5、1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 A 是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0（分数：2.00）_14.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，|B|=2，求 （分数：2.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A 1 b（分数：2.00）_15.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2
6、（分数：2.00）_16.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =|A| n2 A（分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_18.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解（分数：2.00）_19.设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与 ABX=0 是同解方程组（分数：2.00）_20.证明：r(AB)minr(A，r(B（分数：2.00）
7、_21.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_设矩阵 A= （分数：4.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：4.00）(1).证明 ，A 线性无关；（分数：2.00）_(2).若 A 2 +A6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_22.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_23. （分数：2.00）_
8、24.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 104 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有|AB|0B.当 mn 时，必有|AB|=0 C.当 nm 时，必有|AB|0D.当 nm 时，
9、必有|AB|=0解析：解析：AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是|AB|=0，选(B)3.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 解析：解析：显然由 r(A)=mn，得 r(A)=r(4.设 A=( 1 ， 2 ， m )，其中 i 是 n 维列向量，
10、若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=D.若 AB=O，则 B=O 解析：解析：因为对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，所以向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选(D)5.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数
11、：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价解析：解析：不妨设向量组 1 ， 2 ， m 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， s 线性表示，则 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 线性表示，若 1 ， 2 ， r 不可由 1 ， 2 ， r 线性表示，则 1 ， 2 ， s 也不可由 1 ， 2 ， m
12、 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)6.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：解析：方程组 AX 一易有解的充分必要条件是易可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选(D)7.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(E+A)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值C
13、.若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值解析：解析：若 r(E+A)n，则|E+A|=0，于是1 为 A 的特征值； 若 A 的每行元素之和为1，则 8.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.|A|=0 B.|A|0C.|A|0D.以上都不对解析：解析：设二次型 f=X T AX 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 3 y 3 2 ，其中 0 为正交矩阵取 Y= 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 A，B 都是三
14、阶矩阵，A 相似于 B，且|EA|=|E2A|=|E3A|=0，则|B 1 +2E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为|EA|=|E2A|=|E3A|=0，所以 A 的三个特征值为 13，12，1，又 AB，所以 B的特征值为 13，12，1，从而 B 1 的特征值为 1，2，3，则 B 1 +2E 的特征值为 3，4，5，故|B 1 +2E|=6010.设 为非零向量，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(3，1，2) T）解析：解析：AX=0 有非零解，所以|A|=0，解得 a=3，于是 11.设 A 为三阶实对
15、称矩阵， 1 =(a，a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为 AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1 =0， 2 =1 为矩阵 A 的特征值， 1 =(a，a，1) T ， 2 =(a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1 T 2 =a 2 a+1a=0，解得 a=1三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解
16、析：13.设 A 是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T A=E，两边取行列式得|A| 2 =1，因为|A|0，所以|A|=1 由|E+A|=|A T A+A|=|(A T +E)A|=A|A T +E|=|A T +E| =|(A+E)| T =|E+A| 得|E+A|=0)解析：14.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，|B|=2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3 ，由|B|= 1 2 3 =2
17、得 3 =1 A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) 1 的特征值为 12，13，12 则|(A+E) 1 =112，因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B * 的特征值为|B|1，|B|2，|B|1，即为 2，1，2，于是|B * |=4，|(2B) * |=|4B * |=4 3 |B * |=256，故 =|(A+E) 1 |(2B) * | )解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A 1 b（分数：2.00）_正
18、确答案：(正确答案：|PQ|=|A| 2 (b T A 1 )，PQ 可逆的充分必要条件是|PQ|0，即 T A 1 b)解析：15.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )，而 r( T )r()=1，r( T )r()=1，所以 r(A)r( T )+r( T )2)解析：16.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =|A| n2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) * A * =|A * |E=|A| n1 E，当 r(A)=n
19、时，r(A * )=n，A * =|A|A 1 ，则(A * ) * A * =(A * ) * |A|A 1 =|A| n1 E，故(A * ) * =|A| n2 A当 r(A)=n1 时，|A|=0，r(A * )=1，r(A * ) * =0，即(A * ) * =0，原式显然成立当 r(A)n1 时，|A|=0，r(A * )=0，(A * ) * =O，原式也成立)解析：17.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一由 1 ， 2 ， t 线性无关 ，
20、1 ， 2 ， t 线性无关， 令 k+k 1 (+ 1 )+k 2 (+ 2 )+k t (+ t )=0， 即(k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， ， 1 ， 2 ， t 线性无关 k=k 1 =k t =0， ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关 方法二令 k+k 1 (+ 1 )+k 2 (+ 2 )+k t (+ t )=0 (k+k 1 +k t ) =k 1 1 k t t (k+k 1 +k t )A=k 1 A 1 k t A t =0， A0，k+k 1 +k t =0，k 1 1 +k t t 0 k=k 1 =k t =0 )解析：18.A，B
21、 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组 X=0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解 因为 r r(A)+r(B)n，所以方程组 )解析：19.设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与 ABX=0 是同解方程组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r 且 1 ， 2 ， nr 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 0 不是
22、方程组 BX=0 的解，即B 0 0，显然 1 ， 2 ， nr ， 0 线性无关，若 1 ， 2 ， nr ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k nr ，k 0 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k nr nr +k 0 0 =0，若 k 0 =0，则 k 1 1 +k 2 2 +k nr nr =0，因为 1 ， 2 ， nr 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k nr =0，从而 1 ， 2 ， nr ， 0 线性无关，所以 k 0 0，故 0 可由 1 ， 2 ， nr 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B 0 =0，矛盾，所以 1 ， 2 ， nr
23、 ， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0 的解，从而 nr(AB)nr+1，r(AB)r1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与 ABX=0 同解)解析：20.证明：r(AB)minr(A，r(B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量， 因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB) T =r(AB)=r(B T A T )
24、r(A T )=r(A)， 所以 r(AB)minr(A)，r(B)解析：21.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 a1 且 a6 时，方程组有唯一解； (2)当 a=6 时， 因为 r(A)=r( )=34，所以方程组有无数个解， (3)当 a=1 时， 当 a=1，b36 时，方程组无解； 当 a=1，b=36 时，方程组有无数个解， )解析：设矩阵 A= （分数：4.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|EA|=( 2 1) 2 (a+2)+2a1， 把 =3 代入上式得 a=2，于是
25、 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA 2 |=0 得 A 2 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， 4 =9 当 =1 时，由(EA 2 )X=0 得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，1，1) T ； 当=9 时，由(9EA 2 )X=0 得 4 =(0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 将 4 规范化得 4 令 P=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) )解析：设二
26、维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：4.00）(1).证明 ，A 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 A=0，设 k 2 0，则 A=k 1 k 2 ，矛盾，所以 ，A 线性无关)解析：(2).若 A 2 +A6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +A6=0，得(A 2 +A6E)=0， 因为 0，所以 r(A 2 +A6E)2，从而|A 2 +A6E|=0，即 |3E+A|2EA|=0，则|3E+A|=0 或|2EA|
27、=0 若|3E+A|0，则 3E+A可逆，由(3E+A)(2EA)=0，得 (2EA)=0，即 A=2，矛盾； 若|2EA|0，则 2EA 可逆，由(2EA)(3E+A)=0，得 (3E+A)=0，即 A=3，矛盾，所以有|3E+A|=0 且|2EA|=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值3，2，故 A 可对角化)解析：22.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且|A|=|B| 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得
28、P 1 AP=B， 而 A * =|A|A 1 ，B * =|B|B 1 ， 于是由 P 1 AP=B，得(P 1 AP) 1 =B 1 ，即 P 1 A 1 P=B 1 ， 故 P 1 |A|A 1 P=|A|B 1 或 P 1 A * P=B * ，于是A * B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P 1 AP=B，即 AP=PB， 于是 AP=PBPP 1 =P(BP)P 1 ，故 APBP)解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EB|=0，得 1 =1， 2 =1， 3 =2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1 =1， 2 =1， 3 =2 由 t
29、r(A)= 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由|A|=b= 1 2 3 =2，得 b=2，即 A 由(EA)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(EA)X=0，得 2 =(2，1，1) T ； 由(2EA)X=0，得 3 =(2，1，0) T ， 由(EB)X=0，得 1 =(1，0，1) T ； 由(EB)X=0，得 2 =(1，0，0) T ； 由(2EB)X=0，得 3 =(8，3，4) T ， 由 P 1 1 AP 1 =P 2 1 BP 2 ，得(P 1 P 2 1 ) 1 AP 1 P 2 1 =B， 令 P=P 1 P 2 1 )解析：24.三元二次型 f=X T A
30、X 经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f=X T AX 经过正交变换后的标准形为 f=y 1 2 +y 2 2 2y 3 2 ，所以矩阵 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 =2由|A|= 1 2 3 =2 得 A * 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =1，从而 A * +2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A * +2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3 =2 的特征向量 令 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 因为 A 为实对称矩阵，所以有 1 T =0，即 x 0 +x 3 =0 故矩阵 A 的属于 1 = 2 =1 的特征向量为 令 P=( 2 ， 3 ， 1 ) 所求的二次型为 f=X T A=12x 1 2 +x 2 2 )解析：
