1、考研数学一（线性方程组）模拟试卷 7及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设有齐次线性方程组 Ax=0及 Bx=0，其中 A、B 均为 mn矩阵，现有以下 4个命题若 Ax=0的解均是Bx=0的解，则 R(A)R(B)；若 R(A)R(B)，则 Ax=0的解均是 Bx=0的解；若 Ax=0与 Bx=0同解，则R(A)=R(B)；若 R(A)=R(B)，则 Ax=0与 Bx=0同解。以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。3.某
2、五元齐次线性方程组经初等变换将系数矩阵化为 （分数：2.00）A.1个。B.2个。C.3个。D.4个。4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，则 Ax=0的基础解系还可以是( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 + 1 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 + 4 ， 1 - 2 + 3 。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。D. 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。5.已知方程组 （分数：2.00）A.-1。B.10。C.1。D.2。6.设 A为 mn矩阵，下列
3、命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 A中有 n阶子式不为零，则 Ax=0仅有零解。B.若 A中有 n阶子式不为零，则 Ax=b必有唯一解。C.若 A中有 m阶子式不为零，则 Ax=0仅有零解。D.若 A中有 m阶子式不为零，则 Ax=b必有唯一解。7.设 i =(a i ，b i ，c i ) T ，i=1，2，3，=(d 1 ，d 2 ，d 3 ) T ，则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0， a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0， 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是( )（分数：2.00）A
4、.R( 1 ， 2 ， 3 )=1，R( 1 ， 2 ， 3 ，)=2。B.R( 1 ， 2 ， 3 )=2，R( 1 ， 2 ， 3 ，)=3。C. 1 ， 2 ， 3 中任意两个均线性无关，且 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。D. 1 ， 2 ， 3 线性相关，且 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。8.要使 1 =(1，0，2) T ， 2 =(0，1，-1) T 都是齐次线性方程组 Ax=0的解，那么系数矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-2 且B=0。B.=-2 且B0。C.=1 且B=0。D.=1 且B0。10.设
5、1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4维非零列向量组，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A * 是 A的伴随矩阵，已知方程组 Ax=0的基础解系为(1，0，2，0) T ，则方程组 A * x=0的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 。B. 1 9 2 ， 2 + 3 ，3 3 。C. 2 ， 3 ， 4 。D. 1 ， 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。11.a=-5是齐次方程组 （分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分不必要条件。C.必要不充分条件。D.既不充分也不必要条件。12.设矩阵 A是秩为 2的四阶矩阵，又 1 ， 2 ， 3 是线
6、性方程组 Ax=b的解，且 1 + 2 - 3 =(2，0，-5，4) T ， 2 +2 3 =(3，12，3，3) T ， 3 -2 1 =(2，4，1，-2) T ，则方程组Ax=b的通解 x=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m时，方程组 Ax=b有解。B.r=n时，方程组 Ax=b有唯一解。C.m=n时，方程组 Ax=b有唯一解。D.rn 时，方程组 Ax=b有无穷多解。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)14.已知方程组 （分数：2.00）填空项
7、 1:_15.设 A=(a ij )是三阶正交矩阵，其中 a 33 =-1，b=(0，0，5) T ，则线性方程组 Ax=b必有的一个解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知非齐次线性方程组()与()同解，其中 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A为 n阶方阵，任何 n维列向量都是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_19.A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_2
8、2.已知齐次方程组为 其中 （分数：2.00）_23.解齐次方程组 （分数：2.00）_24.已知齐次线性方程组() 和() （分数：2.00）_25.设齐次线性方程组 的系数矩阵为 A= （分数：2.00）_26.设 A= （分数：2.00）_27.设 n元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_28.讨论 a，b 为何值时，方程组 （分数：2.00）_29.设线性方程组 （分数：2.00）_30.讨论方程组的解，并求解。 （分数：2.00）_31.已知 4阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其 2 ， 3 ， 4 线性无关
9、， 1 =2 2 - 3 ，若 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax=的通解。（分数：2.00）_32.设线性方程组 （分数：2.00）_33.设 A= （分数：2.00）_34.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0， 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。（分数：2.00）_35.是否存在平面二次曲线 y=ax 2 +bx+c，其图像经过以下各点：(0，1)，(-2，2)，(1，3)，(2，1)。（分数：2.00）_36.已知线性方程组 （分数：2.00
10、）_37.设 A为 n阶方阵证明：R(A * )=R(A n+1 )。（分数：2.00）_38.设四元线性方程组(1)为 （分数：2.00）_39.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是四阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx=3 1 +5 2 - 3 的通解。（分数：2.00）_40.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_41.已知线性方程组 （分数：2.00）_42.已知 1 =(1，2，1，1，1) T ， 2 =(1，-
11、1，1，0，1) T ， 3 =(2，1，2，1，2) T 是齐次线性方程组 Ax=0的解，且 R(A)=3，试写出该齐次线性方程组 Ax=0。（分数：2.00）_考研数学一（线性方程组）模拟试卷 7答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设有齐次线性方程组 Ax=0及 Bx=0，其中 A、B 均为 mn矩阵，现有以下 4个命题若 Ax=0的解均是Bx=0的解，则 R(A)R(B)；若 R(A)R(B)，则 Ax=0的解均是 Bx=0的解；若 Ax=
12、0与 Bx=0同解，则R(A)=R(B)；若 R(A)=R(B)，则 Ax=0与 Bx=0同解。以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。 C.。D.。解析：解析：选(B)。因为中条件保证了 n-R(A)n-R(B)，所以 R(A)R(B)。而进一步易知正确，而、均不能成立。3.某五元齐次线性方程组经初等变换将系数矩阵化为 （分数：2.00）A.1个。B.2个。 C.3个。D.4个。解析：解析：因为系数矩阵的秩 R(A)=3，则 n-R(A)=5-3=2，故应当有 2个自由变量。 由于去掉 x 4 ，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 ，其秩与 R(A)不相等，故 x 4 ，x 5
13、不是自由变量。同理，x 3 ，x 5 也不能是自由变量。 因为行列式 4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，则 Ax=0的基础解系还可以是( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 + 1 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 + 4 ， 1 - 2 + 3 。C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。D. 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。 解析：解析：由已知条件，Ax=0 的基础解系是由四个线性无关的解向量构成的，而选项(B)中仅三个解向量，不符合要求，故选项(B)
14、不是基础解系。 选项(A)和选项(C)中，都有四个解向量，但因为 ( 1 - 2 )+( 2 + 3 )-( 3 - 4 )-( 4 + 1 )=0， ( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 + 4 )-( 4 + 1 )=0， 说明(A)、(C)中的向量组均线性相关，因而选项(A)、(C)也不是基础解系。 用排除法可知选项(D)正确。或者由 ( 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 )=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 而 5.已知方程组 （分数：2.00）A.-1。B.10。C.1。 D.2。解析：解析：线性方程组 Ax=b有两个不同的解 Ax=b有无穷多解
15、 R(A)=A(A，b)n。由于本题的系数矩阵含有参数，故可以由A=0 来进行求解。 =(-1) 2 (10-)， 由A=0，可得=1 或 =10，故可排除(A)与(D)。 当 =1 时，有 因为 R(A)= 6.设 A为 mn矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 A中有 n阶子式不为零，则 Ax=0仅有零解。 B.若 A中有 n阶子式不为零，则 Ax=b必有唯一解。C.若 A中有 m阶子式不为零，则 Ax=0仅有零解。D.若 A中有 m阶子式不为零，则 Ax=b必有唯一解。解析：解析：A 是 mn矩阵，若 A中有 n阶子式不为零，而 A中又不存在 n+1阶子式，故必有 R(
16、A)=n。同理，若 A中有 m阶子式不为零，则必有 R(A)=m。 对于(A)，因为 R(A)=n，而 Ax=0是 n个未知数的齐次方程组，所以 Ax=0必只有零解。故(A)正确。 对于(B)，当 R(A)=n时，增广矩阵 A的秩有可能是 n+1，所以 Ax=b可能无解，因此(B)不正确。例如： 有 R(A)=2， =3，方程组无解。 对于(C)和(D)，R(A)=m，即 A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 =m。因此，方程组 Ax=b必有解，但未必有唯一解，Ax=0 也未必只有零解。 例如，7.设 i =(a i ，b i ，c i ) T ，i=1，2，3，=(d 1 ，d
17、 2 ，d 3 ) T ，则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0， a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0， 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.R( 1 ， 2 ， 3 )=1，R( 1 ， 2 ， 3 ，)=2。B.R( 1 ， 2 ， 3 )=2，R( 1 ， 2 ， 3 ，)=3。C. 1 ， 2 ， 3 中任意两个均线性无关，且 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。 D. 1 ， 2 ， 3 线性相关，且 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。解析：解析：(A)中由 R(
18、 1 ， 2 ， 3 )=1，知三个平面的法向量平行，从而三个平面相互平行(或重合)，又由 R( 1 ， 2 ， 3 ，)=2，可知三个平面没有公共交点，因而这三个平面两两平行，至多有两个重合。 当三个平面两两相交成三条平行直线时，必有 R( 1 ， 2 ， 3 )=2，R( 1 ， 2 ， 3 ，)=3，但当 R( 1 ， 2 ， 3 )=2，R( 1 ， 2 ， 3 ，)=3 时，有可能其中两个平面平行，第 3个平面和它们相交，所以(B)是必要不充分条件。 而(D) (A)或(B)，亦知(D)是必要不充分条件。 1 ， 2 ， 3 中任意两个均线性无关 任何两个平面都不平行，且相交成一条直
19、线，而 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 8.要使 1 =(1，0，2) T ， 2 =(0，1，-1) T 都是齐次线性方程组 Ax=0的解，那么系数矩阵为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： 1 ， 2 对应的元素不成比例，所以 1 ， 2 是 Ax=0的两个线性无关的解，故 n-R(A)2。 由 n=3知，R(A)1。 (A)选项，矩阵的秩为 1；(B)和(C)选项，矩阵的秩为 2；(D)选项，矩阵的秩为 3，故知应选(A)。9.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-2 且B=0。B.=-2 且B0。C.=1 且B=0。 D.=1 且B0。解析：解析：存在 B
20、O，使 AB=O，说明齐次线性方程组 Ax=0有非零解，故 A= 10.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4维非零列向量组，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A * 是 A的伴随矩阵，已知方程组 Ax=0的基础解系为(1，0，2，0) T ，则方程组 A * x=0的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 。B. 1 9 2 ， 2 + 3 ，3 3 。C. 2 ， 3 ， 4 。 D. 1 ， 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。解析：解析：由 Ax=0的基础解系仅含 1个解向量，知A=0 且 R(A)=4-1=3，所以 R(A * )=1，那么
21、 A * x=0的基础解系应含 3个解向量，故排除(D)。 又由题设有( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )(1，0，2，0) T =0，即 1 +2 3 =0，亦即 1 ， 3 线性相关，所以排除(A)、(B)，故选择(C)。11.a=-5是齐次方程组 （分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分不必要条件。 C.必要不充分条件。D.既不充分也不必要条件。解析：解析：由 n个方程 n个未知数组成的齐次方程组 Ax=0有非零解的充分必要条件是A=0。于是由 A=12.设矩阵 A是秩为 2的四阶矩阵，又 1 ， 2 ， 3 是线性方程组 Ax=b的解，且 1 + 2 - 3 =(2，0，-5，4)
22、T ， 2 +2 3 =(3，12，3，3) T ， 3 -2 1 =(2，4，1，-2) T ，则方程组Ax=b的通解 x=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 nR(A)=4-2=2，由非齐次线性方程组解的结构可知，方程组 Ax=b的通解形式应为 +k 1 1 +k 2 2 ，故可排除(C)、(D)。 由已知条件， 13.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m时，方程组 Ax=b有解。 B.r=n时，方程组 Ax=b有唯一解。C.m=n时，方程组 Ax=b有唯一解。D.rn 时，方程
23、组 Ax=b有无穷多解。解析：解析：(A，b)是 m(n+1)矩阵，当 r=m时，R(A，b)m=r=R(A)。再由 R(A)R(A，b)，可得 R(A)=R(A，b)，所以方程组 Ax=b有解，故选(A)。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)14.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：线性方程组 Ax=b有解的充分必要条件是 R(A)= ，而有无穷多解的充分必要条件是 R(A)= n。对增广矩阵作初等行变换，有15.设 A=(a ij )是三阶正交矩阵，其中 a 33 =-1，b=(0，0，5) T ，则线性方程组 Ax=b必有的一个解是
24、1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0，-5) T）解析：解析：由克拉默法则，对于 Ax=b，有 x=A -1 b，因为 A是正交矩阵，则 A -1 =A T ，故 x=A T x=(5a 31 ，5a 32 ，-5) T ， 而又 a 31 2 +a 32 2 +a 33 2 =1，故知 a 31 =0，a 32 =0。16.已知非齐次线性方程组()与()同解，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：方程组()与()同解，即()的解全是()的解，()的解也全是()的解。对()求出其通解为 (3，2，0) T +k(3，-1，
25、1) T ， 于是把 x 1 =3+3k，x 2 =2-k，x 3 =k代入方程组()，有 整理得 因为 k为任意常数，故 a=1。 此时方程组()的解全是方程组()的解。且当 a=1时，方程组()为 由方程组()的系数矩阵 A 2 = 17.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：方程组的增广矩阵 当 a=-1时，18.设 A为 n阶方阵，任何 n维列向量都是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：已知任何 n维列向量都是此方程组的解，故 n维基本单位向量组 1 = ， 2 = ， n = 19.A= （分
26、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n-1）解析：解析：因为 a i 0(i=1，2，m)， j 0(j=1，2，n)，所以 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A作初等行变换，有 当 a=0时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0， 由此得基础解系为 1 =(-1，1，0，0) T ， 2 =(-1，0，1，0) T ， n-1 =(-1，0，0，1) T ，
27、于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k n-1 为任意常数。 当 a0 时，对矩阵 B作初等行变换，有 当 a= 时，r(A)=n-1n，方程组也有非零解，其同解方程组为 )解析：22.已知齐次方程组为 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对齐次线性方程组的系数矩阵 A作初等变换，即 ()当 b0 且 b a i 时，R(A)=n，原方程组只有零解。 ()当 b=0或 b= a i 时，R(A)n，原方程组有非零解。 当 b=0时， R(A)=1，原方程组与 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0同解。 因为 a i 0，所
28、以 a 1 ，a 2 ，a n 不全为 0。不失一般性，设 a n 0，则原方程组的一个基础解系(含 n-1个线性无关的解向量)为 (a n ，0，0，-a 1 ) T ，(0，a n ，0，-a 2 ) T ， (0，0，a n ，-a n-1 ) T 。 当 b= a i 时，因为 a i 0，所以 )解析：23.解齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵 )解析：24.已知齐次线性方程组() 和() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组()中方程个数小于未知数个数，()必有无穷多解，所以()必有无穷多解，因此()的系数行列
29、式必为 0，即有 对()的系数矩阵作初等行变换，有 ，于是求出方程组()的通解是 k(-1，-1，1) T 。 由题意知，(-1，-1，1) T 亦是方程组()的解，故有 解得 b=1，c=2 或 b=0，c=1。 当 b=0，c=1 时，方程组()为 )解析：25.设齐次线性方程组 的系数矩阵为 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()作 n阶行列式 D i = )解析：26.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=O可知，B 的列向量均为方程组 Ax=0的解，再由 BO 可知方程组 Ax=0有非零解，所以有A=0，即 )解析：27.设 n元线性方程组 Ax
30、=b，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式A=D n =(n+1)a n 。 ()当 a0时，D n 0，方程组有唯一解。将 A的第一列换成 b，得行列式为 =D n-1 =na n-1 ， 所以由克拉默法则得 x 1 =D n-1 D n = ()当 a=0时，方程组为 )解析：28.讨论 a，b 为何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即 可见，当 a1 时，R(A)R(A，b)，方程组无解。 当 a=1且 b-1 时，R(A)=R(A，b)=3，方程组有唯一解，由 得唯一解为 x
31、 1 =3，x 2 =1，x 3 =0。 当 a=1且 b=-1时，R(A)=R(A，b)=23，方程组有无穷多解。由 得同解方程组为 )解析：29.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()增广矩阵的行列式是一个范德蒙德行列式，其值等于 =(a 2 -a 1 )(a 3 -a 1 )(a 4 -a 1 )(a 3 -a 2 )(a 4 -a 2 )(a 4 -a 2 )， 于是，当 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不同时，增广矩阵可逆，秩为 4，而系数矩阵的秩为。因此，方程组无解。 ()由题设条件，则此时方程组为 1 和 2 都是特解， 1 - 2 =(-2，0，
32、2) T 是导出组的一个非零解。由 1 (或 2 )是解看出 k0，从而系数矩阵 )解析：30.讨论方程组的解，并求解。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组系数矩阵的行列式 =a 2 (a-1)。 当A=0 时，a=0 或 1。 (1)当a=0时，对增广矩阵 作初等行变换。 R(A)=2 =3，故方程组无解。 (2)当 a=1时，对增广矩阵 作初等行变换， 对应齐次线性方程组的基础解系为 =(-1，2，1) T ，方程组的一个特解为 =(2，-9，0) T 。因此，方程组的通解为 +k，其中 k为任意常数。 (3)当 a0 且a1 时，A0，方程组有唯一解。由克拉默法则得 )解析
33、：31.已知 4阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4维列向量，其 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 - 3 ，若 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax=的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 =2 2 - 3 ，知 R(A)=3，从而 Ax=0的基础解系只含有一个解向量。由 1 -2 2 + 3 +0 4 =0，知(1，-2，1，0) T 为 Ax=0的一个基础解系。 又 = 1 + 2 + 3 + 4 ，即 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) )解析：32.设线性
34、方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组 则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。 对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组(3)有解，所以(a-1)(a-2)=0。 当 a=1时， ，此时方程组(3)的通解为 k(-1，0，1) T (k为任意常数)，此即为方程组(1)与(2)的公共解。 当 a=2时， )解析：33.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为线性方程组 Ax=b有两个不同的解，所以 r(A)= n。于是 A= =(+1)(-1) 2 =0。 解得 =1 或 =-1。 当 =1 时，r(A)
35、=1， =2，此时线性方程组无解。 当 =-1 时， 若 a=-2，则 r(A)= =2，方程组 Ax=b有无穷多解。故 =-1，a=-2。 ()当=-1，a=-2 时， 所以方程组 Ax=b的通解为 )解析：34.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0， 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设三条直线 l 1 ，l 2 ，l 3 交于一点，则其线性方程组 有唯一解，故系数矩阵 A= 与增广矩阵 的秩均为 2，于是 =0。 因为 =6(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-ac-bc) =3(a+b+c)(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ， 但根据题设可知(a-b) 2 +
