1、考研数学三-104 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设向量组 1， 2， 3线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：4.00）A. 1- 2， 2- 3， 3- 1B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1C. 1-2 2， 2-2 3， 3-2 1D. 1+2 2， 2+2 3， 3+2 12.设矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.3.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)?E(Y)，则_（分数：4.00）A.D(XY)=D(X)?D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X 和 Y 独立
2、D.X 和 Y 不独立4.设 ，其中 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 服从正态分布 ，随机变量 Y 服从正态分布 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T属于特征值 的特征向量是_（分数：4.00）A.P-1B.PTC.PD.(P-1)T7.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 （分数：
3、4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_12.函数 f(u,v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0则 （分数：4.00）填空项 1:_13.交换积分次序： （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布则 Pmax(X，Y)1=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：
4、9.00）_16.已知 （分数：9.00）_17.设函数 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，求 （分数：11.00）_18.设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 A 为何值时， 1， 2， 3， 4线性相关?当 1， 2， 3， 4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：11.00）_19.设矩阵 （分数：10.00）_20.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_21.设二次型 （分数：11.00）_22.设
5、A、B 为两个随机事件, 且 （分数：11.00）_23.假设测量的随机误差 XN(0，10 2)，试求在 100 次独立重复测量中，至少有 3 次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 ，并用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字)见下表： 1 2 3 4 5 6 7 e 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 （分数：11.00）_考研数学三-104 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设向量组 1， 2， 3线性无关，则下列向量组线性相关的是_（分数：4.00）A.
6、 1- 2， 2- 3， 3- 1 B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1C. 1-2 2， 2-2 3， 3-2 1D. 1+2 2， 2+2 3， 3+2 1解析：考点提示 向量组的线性相关性 解题分析 对 A 选项，显然( 1- 2)+( 2- 3)+( 3- 2)=0，所以此向量组线性相关故应选 A2.设矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 矩阵相似与合同 解题分析 *令 * 则 A=C+3E由|E-C=0 得 C 的特征值为 1=-3， 2= 3=0，则 A 的特征值为 0，3，3，B 的特征值为1，1，0显然 A 与 B 不相似A 与 B 的正、负惯性指数均为
7、2，0，即 A 与 B 合同故应选 B3.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)?E(Y)，则_（分数：4.00）A.D(XY)=D(X)?D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X 和 Y 独立D.X 和 Y 不独立解析：考点提示 由两个随机变量不相关的等价条件即可求解 解题分析 详解 1 由 E(XY)=E(X)?E(Y)知，随机变量 X 和 Y 不相关，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 故应选 B 详解 2 因为 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2=EX-E(X)+Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2E(X-E(X)(Y-E(Y
8、) =D(X)+D(Y)+2E(XY)-E(X)E(Y) =D(X)+D(Y) 故应选 B 评注 1 一般对于两个随机变量 X 和 Y，X 与 Y 不相关只是 X 与 Y 相互独立的必要条件，而不是充分条件若(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是 X 与 Y 不相关 评注 2 两个随机变量 X 与 Y 不相关* *4.设 ，其中 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 单调性、有界性、连续性 解题分析 由题设，当 0x1 时，*，则 * 连续； 当 1x2 时*，则 * 也连续 * 从而 g(x)在点 x=1 也是连续的综上，g(x)在区间(0，2)内
9、连续，选 D5.设随机变量 X 服从正态分布 ，随机变量 Y 服从正态分布 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 标准正态分布随机变量的分布函数 解题分析 根据题意*，因为 * 而已知 P|X- 1|1)P|Y- 2|1，所以 * 从而*即 1 2故选 A6.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T属于特征值 的特征向量是_（分数：4.00）A.P-1B.PT C.PD.(P-1)T解析：考点提示 特征向量 解题分析 本题考查特征值与特征向量的定义由题设，A=，且 A 是对称阵，则 (P-1
10、AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1 因此* 所以 PTA(PT)-1，即(P -1AP)T的相应于 的特征向量为 PT，所以选 B7.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 矩阵的秩、伴随矩阵 解题分析 由题设，r(A *)=1，则 r(A)=2如果 a=b，则 r(A)=1，因而 A，B 可排；又 * 由前述知，r(A)=2，则|A|=0，但 ab，所以 a+2b=0 综上 ab 且 a+2b=0，选 C8.设函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 利用函数在一点连续和可导的定义来判断 解题分析 由*(无穷小量乘有界变量仍为无穷小量)
11、且 f(0)=0，可知*，即 f(x)在 x=0 处连续 又由* 可知*不存在 即 f(x)在 x=0 处不可导，故选 C 评注 1 函数表达式中含有绝对值，应作为分段函数处理，利用左、右极限讨论 评注 2 分段函数在分段点的极限、连续和可导问题一般都需要采用定义通过左右两侧来进行讨论；极限、连续和导数三者之间的关系是：可导*连续*极限存在，但反过来不成立；注意多元函数极限、连续、可导(偏导，可微)之间的关系与一元函数情形的差异二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点
12、提示 利用隐函数的求导方法 解题分析 等式两边同时对 x 求导得 exy(y+xy)+2yy=-sinx, 解得* 评注 也可利用公式*计算10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln3）解析：考点提示 先拆项，再利用对称区间上奇、偶函数的积分性质即可 解题分析 * 评注 一般地，如果积分区间为对称区间-a，a，应考察被积函数(或其一部分)是否为奇、偶函数，若是，则利用对称区间上奇、偶函数的积分性质简化计算11.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 矩阵的秩 解题分析 矩阵*，所以 *故 A3的秩为 r(A3)=112.函数 f(u,v)由关系
13、式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 复合函数的偏导数 解题分析 由已知关系式 fxy(y)，y=x+g(y)两边对 x 求二次偏导，有 fu?g(y)=1， (1) f“uug(y)2=0 (2) 由已知 g(y)0所以 fuu“=0，在(1)式两边对 y 求一次偏导，有 fu?g(y)=+fuu“?x?g(y)+fuu“?1g(y)=0 将 fuu“=0 代入上式，得 fu?g(y)+f“uu?g(y)=0，从而 * 所以* 评注 本题也可采取以下解法：令 xg(y)=u，y=v，
14、则*，代入题设所给关系式，得 * 则*13.交换积分次序： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 累次积分、交换积分次序 解题分析 由题设，设原积分中两部分的积分区域分别如右图所示，则 * *14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布则 Pmax(X，Y)1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 二维随机变量的概率分布 解题分析 由题设有 *三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：9.00
15、）_正确答案：(对方程 ylny-x+y=0 两边求导得 再求一次导得 在点(1，1)处 )解析：考点提示 曲线的凹凸性16.已知 （分数：9.00）_正确答案：(利用求复合函数偏导的方法，得 再对 y 求偏导数，有 )解析：考点提示 复合函数的偏导数17.设函数 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，求 （分数：11.00）_正确答案：(题设所给变上限定积分中含有参数 x，因此令 u=2x-t，则 du=-dt， 从而有 两边对 x 求导得 即 在此式中令 x=1，则 所以 )解析：考点提示 变上限定积分求导、定积分的计算18.设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，
16、2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 A 为何值时， 1， 2， 3， 4线性相关?当 1， 2， 3， 4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：11.00）_正确答案：(对( 1， 2， 3， 4)作初等行变换，有 若 a=0，则秩 r( 1， 2， 3， 4)=1， 1， 2， 3， 4线性相关可取极大线性无关组为 f(x)-f(x-1)=f()?1，且 2=2 1， 3=3 1， 4=4 1 a0，则继续作初等行变换有 )解析：考点提示 用秩的方法判断线性相关性19.设矩阵 （分数：10.0
17、0）_正确答案：(由题设，A *= 0，由公式 AA*=|A|E=-E，则 从而 写成方程组的形式如下： 联立(1)式和(3)式可解得 0=1将 0=1 代入(1)式和(2)式，得 a=c，b=-3又由已知|A|=-1，则 )解析：考点提示 特征值、特征向量、伴随矩阵20.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：() ，其中 D 为区域 0x1，0y1 中 x2y 的部分求此二重积分可得 () F Z(z)=PZz)=PX+Yz 当 z0 时，F Z(z)=0；当 z2 时，F Z(z)=1； 当 0z1 时， 当 1z2 时， 于是概率密度为 )解析：考点提示
18、二维随机变量的概率21.设二次型 （分数：11.00）_正确答案：(1) 南题没二次型，相应的矩阵为 设 A 的 3 个特征值为 1， 2， 3，则由已知条件知 1+ 2+ 3=-1， 1 2 3=-12， 利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得 a 一 1 及 ，可求出 b=2，即 a=1，b=2 (2) 由|A-E|=0，即 ，可求出 A 的特征值为 1= 2=2， 3=-3不难求得对应于 1= 2=2 的特征向量为 ， 对应于 3=-3 的特征向量为 。 对 1， 2， 3正交规范化，得 令矩阵 则 P 为正交矩阵，在正交变换 x=Py 下，
19、其中 因此二次型的标准形为 )解析：考点提示 特征值、正交变换、二次型的标准形22.设 A、B 为两个随机事件, 且 （分数：11.00）_正确答案：() 由题设，(X，Y)的可能取值为(0，0)，(0，1)(1，0)(1，1) 由已知 则 所以 从而(X，Y)的概率分布如表 1 所示，X 的概率分布如表 2 所示，y 的概率分布如表 3 所示 () ，及 E(XY)= 所以 所以 () 由 Z=X2+Y2，则 Z 的可能取值为 0，1，2， 所以 Z 的概率分布如表 4 所示 )解析：考点提示 条件概率联合分布、相关系数23.假设测量的随机误差 XN(0，10 2)，试求在 100 次独立重
20、复测量中，至少有 3 次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 ，并用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字)见下表： 1 2 3 4 5 6 7 e 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 （分数：11.00）_正确答案：(设 p 为每次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率，则 设 Y 为 100 次独立重复测量中事件|X|19.6出现的次数，则 Y 服从参数为 n=100，p=0.05 的二项分布，所求概率 由泊松定理知，Y 近似服从参数为 =np=1000.05=5 的泊松分布，故 )解析：考点提示 设 Y 表示在 100 次独立重复测量中事件|X|19.6出现的次数，令 p=P|X|19.6)，则 Y 服从二项分布 B(100，p)，再由泊松定理即可求出 的近似值 评注 本题综合考查了正态分布、泊松分布和二项分布
