1、考研数学三-104 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：46，分数：100.00)1.若随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，满足条件 （分数：1.50）_2.某计算机系统有 100个终端，每个终端有 20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有 10个或更多个终端在使用的概率 （分数：1.50）_3.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，EX=，DX= 2 ，求 （分数：1.50）_从装有 1个白球，2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 （分数：3.50）(1).Y的分布律，EY，E(Y 2 )；（分数：1.75）_(2).
2、 ，E(S 2 )(其中 （分数：1.75）_4.若 X 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n （分数：2.00）_5.已知 Xt(n)，求证：X 2 F(1，n) （分数：2.00）_6.设 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 独立X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b， 2 )，i=1，2，n， 而 ， 为常数试求 （分数：2.00）_7.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a:1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X为所抽到的白球个数这样做了 n次以后，获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求未知参数 a的矩估计
3、 和最大似然估计 （分数：2.00）_8.罐中有 N个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 0.5)，其余 N- 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n次，若掷出 0次、1 次、2 次正面的次数分别为 n 0 ，n 1 ，n 2 ，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数 的估计量 （分数：2.00）_9.设总体 X的概率密度为 又设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_10.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_11.设 X 1 ，X 2
4、 ，X n 是来自对数级数分布 （分数：2.00）_12.设总体 X服从参数为 N和 p的二项分布，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X的样本，试求参数 N和 p的矩估计 （分数：2.00）_13.设总体 X的分布列为截尾几何分布 PX=k= k-1(1-)， k=1，2，r，PX=r+1= r，从中抽得样本 X 1 ，X 2 ，X n ，其中有 m个取值为 r+1，求 的极大似然估计 （分数：2.00）_设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是其样本（分数：4.00）(1).求 C使得 （分数：2.00）_(2).求 k使得 （分数：2.00）_14.设 X
5、1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的一个样本， 是 的一个估计量，若 +k n ， 试证： （分数：2.00）_15.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：T n =maxX 1 ，X 2 ，X n 是 的相合估计 （分数：2.00）_16.已知 X具有概率密度 （分数：2.00）_17.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自 X的样本，证明：估计量 （分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，设 EX=，DX= 2 ，试确定常数 C，使 （分数：2.00）_19.设总体服从 U0，X 1 ，X 2
6、 ，X n 为总体的样本，证明： （分数：2.00）_20.设从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 ，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1的常数 a，b， （分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，X 2 的取值有四种可能，其概率分布分别为： p 1 =1-，p 2 =- 2 ，p 3 = 2 - 3 ，p 4 = 3 ，记 N，为 X 1 ，X 2 ，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1 +N 2 +N 3 +N 4 =n确定 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 使 （分数：2.00）_设总体 X
7、N( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本 X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y n 记样本均值分别为 若 （分数：4.00）C；_(2).Z的方差 DZ（分数：2.00）_22.设有 k台仪器，已知用第 i台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i ，i=1，2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X k ，设仪器都没有系统误差，即 E(X i )=，i=1，2，k，试求：a 1 ，a 2 ，a k 应取何值，使用 估计 时， 是无偏的，并且 （分数：2.00）_23.设X n 是一随机变量序列，X n
8、 的密度函数为： 试证： （分数：2.00）_24.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是独立同分布的随机变量序列，EX i =，DX i = 2 ，i=1，2，令 （分数：2.00）_25.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50千克，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977(2)=0.977) （分数：2.00）_26.用概率论方法证明： （分数：2.00）_27.截至 2010年 10月 25日，上海世博会参观人数超过了 7000万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国
9、馆有三条路径，沿第一条路径走 3个小时可到达；沿第二条路径走 5个小时又回到原处；沿第三条路径走 7个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆 （分数：2.00）_28.设 X 1 ，X 2 ，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N只取正整数且 N与X n 独立，求证：（分数：2.00）_29.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有 n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 （分数：2.00）_30.对于任意二事件 A 1 ，A
10、 2 ，考虑二随机变量 （分数：2.00）_31.假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有 a 1 ，a 2 ，a 3 ，而另一张上同时印有 a 1 ，a 2 ，a 3 现在随意抽取一张卡片，令 A k =卡片上印有 a k 证明：事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立但不相互独立 （分数：2.00）_32.某商品一周的需求量 X是随机变量，已知其概率密度为 （分数：2.00）_33.设 X和 Y相互独立都服从 0-1分布：PX=1=PY=1=0.6，试证明：U=X+Y，V=X-Y 不相关，但是不独立 （分数：2.00）_34.假设 G=(x，y)|x 2 +y 2 r 2 是以原点为圆心
11、，半径为 r的圆形区域，而随机变量 X和 Y的联合分布是在网 G上的均匀分布试确定随机变量 X和 Y的独立性和相关性 （分数：2.00）_35.假设某季节性商品，适时地售出 1千克可以获利 s元，季后销售每千克净亏损 t元假设一家商店在季节内该商品的销售量 X(千克)是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大? （分数：2.00）_36.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p假设前 5次试验每次的试验费用为 10元，从第 6次起每次的试验费用为 5元试求这项试验的总费用的期望值 a （分数：2.00）_37.利用列维林德
12、伯格定理，证明：棣莫弗拉普拉斯定理 （分数：2.00）_38.某保险公司接受了 10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主1000元假设车的丢失率为 0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司： (1)亏损的概率 ； (2)一年获利润不少于 40000元的概率 ； (3)一年获利润不少于 60000元的概率 （分数：2.00）_39.将 n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计： (1)试当 n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于 15的概率； (2)估计数据个数 n满足何条件时，以不小于 90
13、%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10的数据个数n （分数：2.00）_40.设 X是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知 的数学期望存在，而 0 是任意实数证明：不等式 （分数：2.00）_41.设事件 A出现的概率为 p=0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在 1000次独立重复试验中事件 A出现的次数在 450到 550次之间的概率 （分数：2.00）_设来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，总体 X的概率分布为 （分数：6.00）(1).未知参数 的最大似然估计量；（分数：2.00）_(2).未知参数 的矩估计量；（分数：2.00）_(3).当样本值为 1，1
14、，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_42.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n件中发现 k件不合格品试求 R的最大似然估计值 （分数：2.00）_考研数学三-104 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：46，分数：100.00)1.若随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，满足条件 （分数：1.50）_正确答案：()解析：【证】由切比雪夫不等式，对任意的 0 有 所以对任意的 0， 2.某计算机系统有 100个终端，每个终端有 20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立
15、，试求有 10个或更多个终端在使用的概率 （分数：1.50）_正确答案：()解析：【解】设 则同时使用的终端数 所求概率为 3.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，EX=，DX= 2 ，求 （分数：1.50）_正确答案：()解析：【解】 进而有 从装有 1个白球，2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 （分数：3.50）(1).Y的分布律，EY，E(Y 2 )；（分数：1.75）_正确答案：()解析：【解】Y 是连续 5次取球中取得黑球的个数，所以 从而 (2). ，E(S 2 )(其中 （分数：1.75）_正确答案：()解析：【解】由于 X的分布律为 所以 4.若 X 2 (n
16、)，证明：EX=n，DX=2n （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】因 X 2 (n)，所以 X可表示为 其中 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且均服从N(0，1)，于是 5.已知 Xt(n)，求证：X 2 F(1，n) （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】Xt(n)，则 X可表示为 其中 ZN(0，1)，Y 2 (n)且 Z，Y 相互独立，又 Z 2 2 (1)，于是 6.设 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 独立X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b， 2 )，i=1，2，n， 而 ， 为常数试求 （分数：2.00）_正确
17、答案：()解析：【解】由于 X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b， 2 )，i=1，2，n，且 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，则 也服从正态分布 所以 7.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a:1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X为所抽到的白球个数这样做了 n次以后，获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求未知参数 a的矩估计 和最大似然估计 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由题意知，随机变量 X的分布律为 令 解得 对于给定的样本 X 1 ，X 2 ，X n ，似然函数为 取对数，
18、得 令 得 解得 8.罐中有 N个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 0.5)，其余 N- 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n次，若掷出 0次、1 次、2 次正面的次数分别为 n 0 ，n 1 ，n 2 ，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数 的估计量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】设 X为“连掷两次正面出现的次数”，A=取出的硬币为普通硬币，则 即 X的分布为 (1) 解得 =N(2- 1 )， 的矩估计为 (2) 解得 的最大似然估计 9.设总体 X的概率密度为 又设 X 1 ，X
19、 2 ，X n 是来自 X的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】X 的数学期望为 用样本均值 代替中的 EX得 此方程的解即为 的矩估计量 10.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】先求矩估计： 解得 所以 的矩估计为 再求极大似然估计： 解得 的极大似然估计： 11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自对数级数分布 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 因为 p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩 得 所以 所以得 p的矩估计 12.设总体 X服从参数为 N和 p的二项分布，X 1 ，X 2 ，
20、X n 为取自 X的样本，试求参数 N和 p的矩估计 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 解之得 N= 1 /p， 即 所以 N和 p的矩估计为 13.设总体 X的分布列为截尾几何分布 PX=k= k-1(1-)， k=1，2，r，PX=r+1= r，从中抽得样本 X 1 ，X 2 ，X n ，其中有 m个取值为 r+1，求 的极大似然估计 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 解似然方程 得 的极大似然估计 设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是其样本（分数：4.00）(1).求 C使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 可
21、见当 (2).求 k使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 14.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的一个样本， 是 的一个估计量，若 +k n ， 试证： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】由切比雪夫不等式，对任意的 0 有 于是 即 依概率收敛于 ，故 15.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：T n =maxX 1 ，X 2 ，X n 是 的相合估计 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】T n =X (n) 的分布函数为 T n 的密度为 所以 由切比雪夫不等式有 当 n时， 16.已知 X具有概率密度
22、（分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】先求矩估计 故 再求最大似然估计 得 的最大似然估计 17.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自 X的样本，证明：估计量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】 故 都是 的无偏估计 所以 18.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，设 EX=，DX= 2 ，试确定常数 C，使 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 由题意知： 19.设总体服从 U0，X 1 ，X 2 ，X n 为总体的样本，证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】 由切比雪夫不等式有： 因此得 20.设从均值
23、为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 ，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1的常数 a，b， （分数：2.00）_正确答案：()解析：【证】由题意得： 所以 故 T是 的无偏估计量 又 令 对 a求导并解方程如下： 得到 所以 处取得极小值，此时 21.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，X 2 的取值有四种可能，其概率分布分别为： p 1 =1-，p 2 =- 2 ，p 3 = 2 - 3 ，p 4 = 3 ，记 N，为 X 1 ，X 2 ，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1 +N 2 +N 3 +N 4 =n确定 a 1
24、 ，a 2 ，a 3 ，a 4 使 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】由于 N i B(n，p i )，i=1，2，3，4，所以 E(N i )=np i ，从而有： 若使 T是 的无偏估计，即要求 解之得： 即 设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本 X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y n 记样本均值分别为 若 （分数：4.00）C；_正确答案：()解析：【解】 同理 故 则 (2).Z的方差 DZ（分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】因 故 则有 22.设有 k台仪器，已知用第 i台仪器测量时，测定值
25、总体的标准差为 i ，i=1，2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X k ，设仪器都没有系统误差，即 E(X i )=，i=1，2，k，试求：a 1 ，a 2 ，a k 应取何值，使用 估计 时， 是无偏的，并且 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】(1) 即当 是无偏的 (2) 令函数 问题归结为求多元函数 g(a 1 ，a 2 ，a k )在条件 之下的最小值 作拉格朗日函数： G(a 1 ,a 2 ,a k ，)=g(a 1 ,a 2 ,a k )+(a 1 +a 2 +a k -1) 23.设X n 是一随机变量序列，X n 的密度函数为： 试证： （分数：2.00）_
