1、考研数学三-108 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B 为，n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 有相同的特征值，则 ABB.A 的特征值中非零特征值的个数与 A 的秩相等C.若 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似D.若 A 可对角化，且 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似2.已知四维列向量 1， 2， 3线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3均正交，则向量组 1， 2， 3， 4的秩为( )（分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.设随机变
2、量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，F(x)为 X 的分布函数，则对任意 a，有( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X 3)为总体的简单样本，（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 0，f(x)在(-，)内恒有 f(x)0，且|f(x)|x 2，记 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)连续，且满足 则关于 f(x)的极值问题有( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空
3、题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X m与 Y1，Y 2，Y n分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本，令（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上二阶可导，|f“(x)|1(x0，1)，f(0)=f(1)证明：对任意的 z0，1，
4、有|f(x)| （分数：9.00）_16.某商品进价为 30 元/件，根据经验，当销售为 80 元/件时日销售量为 100 件，日常调查表明，销售每下降 10%，可使日销售量增加 30%，该商家在一日内以 72 元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大利润?（分数：9.00）_17.计算二重积分 其中 D 是由 （分数：11.00）_设 证明：1. （分数：10.00）_18.设 A 从原点出发，以固定速度 0沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 1朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：11.
5、00）_19.当常数 a 取何值时，方程组 （分数：10.00）_设二次型 过正交变换化为标准形 （分数：12.00）_设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中（分数：11.01）_20.设总体 X 的分布律为 PX=k=(1-p)k-1(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1，X 2，X n为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量（分数：11.00）_考研数学三-108 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B 为，n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 有相同
6、的特征值，则 ABB.A 的特征值中非零特征值的个数与 A 的秩相等C.若 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似D.若 A 可对角化，且 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似 解析：详解*显然 A，B 的特征值相同，因为 r(A)=2r(B)=1，所以 A 与 B 不相似，(A)不对；对*显然 A 的特征值为 1= 2= 3=0，而 r(A)=2，选(B)不对；若 AB，若 A 不可对角化，则 A，B 不可能与同一个对角阵相似，(C)不对；因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设其为 1， 2， n，因为 A 可对角化，所以 A*又因为 AB，所以由相似的传递性知，*即 A，B 相似于同一
7、个对角阵，选(D)2.已知四维列向量 1， 2， 3线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3均正交，则向量组 1， 2， 3， 4的秩为( )（分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：详解 设 i=(ai1，a i2，a i3，a i4)T(i=1，2，3)，由已知条件有*，2，3)即 i(i=1，2，3，4)为方程组*的非零解由于 1， 2， 3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为 3，所以其基础解系含 1 个解向量，从而向量组 1， 2， 3， 4的秩为 1，选(A)3.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，F(x)为 X
8、的分布函数，则对任意 a，有( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解*选(B)4.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X 3)为总体的简单样本，（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 因为 X1，X 2，X n与总体服从相同的分布，所以*(A)不对；显然*所以(B)不对；由*相互独立，则*5.设 在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解*6. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解*7.设 0，f(x)在(-，)内恒有 f(x)0，且|f(x)|x 2，记 （分数：4.00）A.B. C.D.解析
9、：详解*8.设 f(x)连续，且满足 则关于 f(x)的极值问题有( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f 2+zf3+xf“12+xzf“13+xyf“22+2xyz2f“23+xyz2f“33）解析：详解*12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解*13.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解，
10、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 显然*为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以*又因为|E+A|=0，所以 3=-1 为 A 的特征值，令 3=-1 对应的特征向量为*14.设 X1，X 2，X m与 Y1，Y 2，Y n分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本，令（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(m+n-2)）解析：详解*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上二阶可导，|f“(x)|1(x0，1)，f(0)=f(1)证明：对任意的 z0，1，有|f
11、(x)| （分数：9.00）_正确答案：(对任意的 x0，1，由泰勒公式得)解析：16.某商品进价为 30 元/件，根据经验，当销售为 80 元/件时日销售量为 100 件，日常调查表明，销售每下降 10%，可使日销售量增加 30%，该商家在一日内以 72 元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大利润?（分数：9.00）_正确答案：(当该商品的售价从 p1降到 p2时，对应的日销售量从 q1上升为 q2，由题意有即商家以 72 元/件的价格出售该商品的日销售量为设该商品一次性降价处理的价格设为 p 元/件，则相应的日销售量为利润为)解析：17.
12、计算二重积分 其中 D 是由 （分数：11.00）_正确答案：()解析：设 证明：1. （分数：10.00）_正确答案：()解析：_正确答案：()解析：18.设 A 从原点出发，以固定速度 0沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 1朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：11.00）_正确答案：()解析：19.当常数 a 取何值时，方程组 （分数：10.00）_正确答案：()解析：设二次型 过正交变换化为标准形 （分数：12.00）_正确答案：()解析：_正确答案：(当 1= 2=2 时，由(2E-A)X=0，得)解析：_正确答案：(因为 Q 为正交矩阵，所以|X|=1 时，|Y|=1，当|Y|=1 时，二次型的最大值为 2)解析：设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中（分数：11.01）_正确答案：(U，V 的可能取值为 1，2，3，显然 PUV=0，于是(U，V)的联合分布律为)解析：_正确答案：()解析：_正确答案：(PU=1PV=3，所以 U，V 不独立U，V 的分布律为)解析：20.设总体 X 的分布律为 PX=k=(1-p)k-1(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X 1，X 2，X n为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量（分数：11.00）_正确答案：()解析：
