1、考研数学三-109 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的方差为 25，则根据切比雪夫不等式，有 P(|X-EX|10)( )（分数：4.00）A.0.75B.0.75C.0.25D.0.252.已知 k0，则对于反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.3.以下说法正确的是( )（分数：4.00）A.f(x，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数连续的充分条件是 f(x，y)在点(x 0，y 0)可微B.f(x，y)在点(x 0，y 0)连续的充分条件是 f(x，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数存在C.f
2、(x，y)在点(x 0，y 0)有界的充分条件是 f(x，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数连续D.f(x，y)在点(x 0，y 0)可微的充要条件是 f(x，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数存在4. （分数：4.00）A.B.C.D.5.当 x0 时，下列无穷小量中阶数最高的是( )（分数：4.00）A.B.3x3-5x5+7x7C.D.6.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.方程组 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 只有零解，那么 Ax=b 有唯一解C.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解D.若 Ax=b 有两个不同的解，那么 Ax=0 有无穷多解7.设 A
3、，B 是两个事件，且 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 1， 2， m均为 n 维向量，那么下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 k1 1+k2 2+km m=0，则 1， 2， m线性相关B.若对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m都有 k1 1+k2 2+km m0，则 1， 2， m线性无关C.若 1， 2， m线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m都有k1 1+k2 2+km m0D.若 0 1+0 2+0 m=0，则 1， 2， m线性无关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）填空
4、项 1:_11.以 y1=te，y 2=sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)均为由方程 f(x，y，z)=0 所确定的具有连续偏导数的函数，则xyyzzx=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的慨率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.讨论函数 （分数：10.00）_16.证明函数 f(x)=xe2x-2x-cosx 有且仅有两个实零点，且一正一负（分数：10.00）_（
5、分数：10.00）(1).设 f(x)在(-，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是 a(-，+)恒有 （分数：5.00）_(2).计算 （分数：5.00）_17.设 ，证明：级数 （分数：10.00）_18.设 f(x，y)是(x，y)|x 2+y21 上二次连续可微函数，满足 =x2y2，计算积分 （分数：10.00）_设有三维向量 （分数：11.00）(1). 可由 1， 2， 3线性表示，且表达式是唯一的；（分数：5.50）_(2). 可由 1， 2， 3线性表示，但表达式不唯一（分数：5.50）_19.设 f(x1，x 2，x n)=xTAx 是一实二次
6、型，若有实 n 维向量 x1，x 2，使 f(x1)= ，证明：存在 n 维向量 x00，使 （分数：11.00）_20.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4独立同分布于标准正态分布 N(0，1)，计算P(min(X1，X 2)max(X 3，X 4)（分数：11.00）_21.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有 n 位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 （分数：11.00）_考研数学三-109 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：3
7、2.00)1.设随机变量 X 的方差为 25，则根据切比雪夫不等式，有 P(|X-EX|10)( )（分数：4.00）A.0.75 B.0.75C.0.25D.0.25解析：本题考查切比雪夫不等式，是比较冷门的知识点，提醒考生注意2.已知 k0，则对于反常积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查反常积分的敛散性的计算判别法(即：是否收敛，通过计算结果来判别)，同样是历届考生复习比较薄弱的知识点，考生至此可回顾第二套模拟题的第(2)小题，那里使用的是理论判别法(即：是否收敛，无法通过计算结果来判别，只能用已有结论做比较判别)对于 k=1，*，发散对于 k1，k0，*故，当 k1
8、时，积分收敛，当 k1 时，积分发散3.以下说法正确的是( )（分数：4.00）A.f(x，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数连续的充分条件是 f(x，y)在点(x 0，y 0)可微B.f(x，y)在点(x 0，y 0)连续的充分条件是 f(x，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数存在C.f(x，y)在点(x 0，y 0)有界的充分条件是 f(x，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数连续 D.f(x，y)在点(x 0，y 0)可微的充要条件是 f(x，y)在点(x 0，y 0)的一阶偏导数存在解析：本题考查多元函数微分学的基本概念，涉及 f(x，y)在点(x 0，y 0)的偏导数的连续
9、性、可微性、可偏导性、连续性、极限的存在性、有界性其关系如下(其中概念是指一点的去心邻域，其余概念是指该点)：*4. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查一元微分学的应用和泰勒级数的使用，属于基础题显然，当 x0 时，*；而当 x0 时，*，故*的零点个数为 0，答案选择(A)5.当 x0 时，下列无穷小量中阶数最高的是( )（分数：4.00）A.B.3x3-5x5+7x7C.D. 解析：本题考查无穷小比阶问题，其中第四个选项是复合函数，具有一定的难度当 x0 时，*3x3-5x5+7x7=x3(3-5x2+7x4)-3x3，*由*与 u=x-ln(1+x)复合而成，当 x0 时
10、，*与 x2同阶，*，故*是 x 的 22=4 阶无穷小，故选(D)6.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.方程组 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 只有零解，那么 Ax=b 有唯一解C.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解D.若 Ax=b 有两个不同的解，那么 Ax=0 有无穷多解 解析：本题是考查方程组解的结构的基础题，涉及概念较多，逻辑性较强通过对选项的逐一排查可以得出正确答案，现分析如下：(A)A 不一定是 n 阶矩阵，那么行列式可以不存在(B)由于 Ax=0 只有零解*秩 r(A)=n，Ax=b 有唯一解*秩 r(A)=r(*)=n，因为由 r(A)=*，故(B
11、)不正确(C)Ax=0 有非零解*r(A)n，Ax=b 有无穷多解*r(A)=r(*)n，由 r(A)n*r(A)=r(*)n，故(C)不正确(D)若 a1，a 2是方程组 Ax=b 的两个不同的解，则 a1-a2是 Ax=0 的非零解，从而 Ax=0 有无穷多解，故(D)正确7.设 A，B 是两个事件，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查随机事件与概率，是一道基础题*A*B*P(A)P(B)，0P(B)1，故选择(C)8.设 1， 2， m均为 n 维向量，那么下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 k1 1+k2 2+km m=0，则 1， 2， m线性相关B.若
12、对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m都有 k1 1+k2 2+km m0，则 1， 2， m线性无关 C.若 1， 2， m线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m都有k1 1+k2 2+km m0D.若 0 1+0 2+0 m=0，则 1， 2， m线性无关解析：因(A)中未说 k1，k 2，k m不全为零，故错误当 1， 2， m线性相关时，存在一组不全为零的数，而不是对任意一组不全为零的数，使k1 1+k2 2+km m0，故(C)错误不论 1， 2， m是线性相关，还是线性无关，总有 0 1+0 2+0 m=0，故(D)错误(B)的等价说法是只有当 k1，k 2
13、，k m全为零时，k 1 1+k2 2+km m才等于零，这正是 1， 2， m线性无关的定义，故选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）解析：本题考查用二重积分计算定积分，是一道有难度的题目*，化成二重积分，再交换积分次序，则*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：14-ln7!）解析：本题考查取整函数的定积分问题，是一道比较新颖的考题*=ln2+2(ln3-ln2)+3(ln4-ln3)+7(2-ln7)=14-(ln2+ln3+ln4+ln7)=14-ln7!11.以 y1=te，y 2=sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线
14、性微分方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y (4)-2y“+5y“-8y+4y=0）解析：本题是微分方程求解的逆问题，需要考生准确掌握高阶常系数齐次线性微分方程解的结构由 y1=tet可知 y3=et亦为其解，由 y2=sin2t 可得 y4=cos2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1= 2=1， 2=2i， 4=-2i其特征方程为(-1) 2( 2+4)=0，即 4-2 3+5 2-8+4=0，故所求的微分方程为y(4)-2y“+5y“-8y+4y=0事实上其通解为 y=(C1+C2y)et+C3cos2t+C4sin2t12.设 x=x(y，z)，y=y(z
15、，x)，z=z(x，y)均为由方程 f(x，y，z)=0 所确定的具有连续偏导数的函数，则xyyzzx=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：本题考查多元微分法，是一道基础题方程两边对 y 求偏导数，得 f1xy+f2=0，解得 xy=-f2/f1，同理 yz=-f3/f2，z x=-f1/f3，故xyyzzx=-113.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查矩阵求逆，是一道基础题对于*，求出即可得14.设随机变量 X 的慨率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查概率密度的性质，是一道基础计算题由*，得*(标
16、准正态分布)本题中*于是*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.讨论函数 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查极限的应用讨论函数的连续与间断是一道综合计算题当 0xe 时，*当 xe 时，*故*显然，f(x)在(0，+)内连续)解析：16.证明函数 f(x)=xe2x-2x-cosx 有且仅有两个实零点，且一正一负（分数：10.00）_正确答案：(本题考查导数应用，讨论函数的形态并进一步研究函数的零点问题先证明有两个实零点且一正一负由 f(x)连续，且*在(-1，0)与(0，1)内各至少有一个实零点，即 f(x)至少有两个实零点，且一正一负再证明仅有f(x)=(2x+1)e2x
17、-2+sinxf“(x)=4(x+1)e 2x+cosx，显然(a)当 x-1 时，f(x)0*f(x)单调递减*f(x)f(-1)0*(-，-1上无实零点；(b)当 x-1 时，f“(x)0*f“(x)在(-1，+)内无实零点，由罗尔定理的逆否命题*f(x)在(-1，+)内最多只有一个实零点*f(x)在(-1，+)内最多只有两个实零点)解析：（分数：10.00）(1).设 f(x)在(-，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是 a(-，+)恒有 （分数：5.00）_正确答案：(本题是一元积分学的综合题，是一道有一定难度的综合题证明必要性设*由题设 (a)=f(a
18、+l)-f(a)=0*(a)=c(常数)设*充分性对*，两边对 a 求导，得 f(a+l)-f(a)=0*f(x)以 l 为周期)解析：(2).计算 （分数：5.00）_正确答案：(利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是*在上式第 2 项中作变量替换 x=-t，即可化为第 1 项，故*)解析：17.设 ，证明：级数 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查数项级数的敛散性判别，需要综合运用多种知识，是一道具有一定计算量的综合题令*，则*因为*，f(x)单调减，即 f(n)f(n+1)，且*所以*收敛又*于是*，级数*发散，故级数*条件收敛)解析：18.设 f(x
19、，y)是(x，y)|x 2+y21 上二次连续可微函数，满足 =x2y2，计算积分 （分数：10.00）_正确答案：(本题是多元积分学的应用，计算量较大，是一道难题由于 x=rcos，y=rsin，则*)解析：设有三维向量 （分数：11.00）(1). 可由 1， 2， 3线性表示，且表达式是唯一的；（分数：5.50）_正确答案：(本题考查向量组的向量关系，实质上是考查线性方程组的求解设 由 1， 2， 3线性表示为=x 1 1+x2 2+x3 3，则*即* (*)即(1+) 3+2-3(1+)0，解得 0 且 -3即 0 且 -3 时， 可由 1， 2， 3唯一地线性表示)解析：(2). 可
20、由 1， 2， 3线性表示，但表达式不唯一（分数：5.50）_正确答案：(要表达式不唯一，则应有(*)式的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，但要小于 3，于是*，由上题的结论，得 =0 或 =-3由于 =-3 时，增广矩阵*秩为 3，而系数矩阵的秩为 2，不合要求可验证 =0 时， 可由 1， 2， 3线性表示，但不唯一)解析：19.设 f(x1，x 2，x n)=xTAx 是一实二次型，若有实 n 维向量 x1，x 2，使 f(x1)= ，证明：存在 n 维向量 x00，使 （分数：11.00）_正确答案：(本题考查二次型题目提法新颖，有一定的综合性和分析意味，具有一定的难度由于有实 n 维向
21、量 x1，x 2，使*所以 f(x1，x 2，x n)=xTAx 是不定二次型，故存在可逆线性变换 x=Py，使*其中 1prn，取*令 x0=Py0，则 x00，且有*)解析：20.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4独立同分布于标准正态分布 N(0，1)，计算P(min(X1，X 2)max(X 3，X 4)（分数：11.00）_正确答案：(本题是考查多维随机变量函数的概率规律的综合题，计算量大，是一道综合题XiN(0，1)(i=1，2，3，4)且相互独立，记 =min(X 1，X 2)，=max(X 3，X 4)，则 与 相互独立，其分布函数和概率密度分别为F (x)=P(min(X
22、1，X 2)x)=1-P(min(X1，X 2)x)=1-P(X 1x，X 2x)=1-P(X1x)P(X 2x)=1-1-P(X 1x)1-P(X 2x)=1-1-(x) 2，f (x)=F“ (x)=21-(x)(x)，其中*F (x)=P(max(X3，X 4)x)=P(X3x，X 4x)=P(X 3x)P(X 4x)= 2(x)f (x)=2(x)(x)(，)的联合密度函数f(x，y)=f (x)f (y)=21-(x)(x)2(y)(y)所求的概率为P(min(X1，X 2)max(X3，X 4)=P()*)解析：21.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有 n 位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 （分数：11.00）_正确答案：(本题是一道数字特征计算的应用题，本题关键有二：第一，读懂题意并能表示出 Z，第二，计算 EZ本题计算量较大，难度较大，但是实际测试中(本试卷命题人在辅导众多学生进行考研冲刺复习时所做的测试)区分度较好设从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，nX 为已经握手的女嘉宾的编号，Y 表示将要去握手的女嘉宾的编号，则*于是*)解析：
