1、考研数学三-124 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，其中 f 为连续的奇函数，D 是由 y=-x3，x=1，y=1 所围成的平面区域，则 k 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.2.设向量组()： 1， 2，a n，()： 1， 2， n-1则必有_（分数：4.00）A.向量组()线性无关则向量组()线性无关B.向量组()线性相关则向量组()线性相关C.秩()=秩()，则向量组()线性相关D.秩()=秩()，则向量组()线性无关3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则_（分数
2、：4.00）A.A 不可逆，E-A 也不可逆B.A 可逆，E+A 也可逆C.A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆D.A 不可逆，且 A2必为 05.已知 A=(aij)nn，B=(b ij)nn且有关系 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 X1和 X2任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度C.F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)必为某一随机变量
3、的分布函数7.若 则级数A发散 B收敛于 0 （分数：4.00）A.B.C.D.8.若函数 y=f(x)有 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.某公司每年的工资总额在比上一年增加 20%的基础上再追加 200 万元，若以 Wt表示第 t 年的工资总额(单位百万元)，W t而*因为 f 为奇函数，所以 f(-xy)=-f(xy)，而 D1，D 2分别对称于 y 轴和 x 轴，故有*从而原积分*2.设向量组()： 1， 2，a n，()： 1， 2， n-1则必有_（分数：4.00）A.向量组()线性无关则向量组(
4、)线性无关B.向量组()线性相关则向量组()线性相关C.秩()=秩()，则向量组()线性相关 D.秩()=秩()，则向量组()线性无关解析：考点提示 向量组的线性相关性解题分析 若秩()=秩()，则 n可以由向量组 1， 2， n-1线性表出，即向量组()： 1， 2， n线性相关故正确答案为 C3.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 不定积分的计算解题分析 *设 u=xex，则上式*故选 D4.A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则_（分数：4.00）A.A 不可逆，E-A 也不可逆B.A 可逆，E+A 也可逆C.A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆 D.A 不可逆，且
5、A2必为 0解析：考点提示 矩阵的可逆性解题分析 由行列式性质|A| 3=|A3|=0，可知 A 必不可逆，但从(E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A 2)=E+A3=E，知 E-A，E+A，E+A+A 2，E-A+A 2均可逆当 A3=0 时，A 2是否为 0 是不能确定的，例如：*，有*，故选 C。5.已知 A=(aij)nn，B=(b ij)nn且有关系 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 向量的计算解题分析 由关系式*可得由关系*B=A+BA从而得 B=(E+B)A故选 B6.设 X1和 X2任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分
6、别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度C.F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数 解析：考点提示 随机变量的概率密度和分布函数解题分析 首先可否定选项 A 与 C，因*F1(+)+F 2(+)=1+1=21对于选项 B，若*则对任何*，因此也应否定 C，综上分析，用排除法应选 D进一步分析可知，若令 X=max(X1，X 2)，而 Xif i(x)，i=1，2，则 X 的分布函
7、数 F(x)恰是 F1(x)F2(x)F(x)=Pmax(X1，X 2)x=PX 1x，X 2x=PX1xPX 2x=F 1(x)F2(x)7.若 则级数A发散 B收敛于 0 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 级数敛散性的判定解题分析 *故*故选 C8.若函数 y=f(x)有 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 等价无穷小解题分析 由导数与微分的关系*(当x=dx0)，dy 是与x 同阶且不等价的无穷小应选 B评注 若 f(x0)=1，则 dyx；若 f(x0)=0，则 dy=0(x)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1
8、:_ （正确答案：0）解析：考点提示 根据级数的敛散性来求极限解题分析 因为级数*收敛，因此其通项趋于 0，即*10.某公司每年的工资总额在比上一年增加 20%的基础上再追加 200 万元，若以 Wt表示第 t 年的工资总额(单位百万元)，W t/sub满足的差分方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：Wt=1.2Wt-1+2）解析：考点提示 差分方程解题分析 由题设，第 t-1 年的工资总额为：Wt-1，则 Wt=1.2Wt-1+211.已知 f(2+cosx)=sin2x+tan2x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 函数的积分
9、解题分析 f(2+cosx)=sin 2x+tan2x，令 t=2+cosx，则 cosx=t-2，*则*12.设 A=(aij)nn 是正交矩阵将 A 以行分块为 A=(1，2，n) T，则方程组 AX=b，b=(b1，bn) T/sup的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 方程组的通解解题分析 因 A 为正交矩阵，故 A-1=AT，而方程组 AX=b 的解为：*13.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)=2，则由切比雪夫(Chebyshev)不等式，有 P|X-|3_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 切
10、比雪夫不等式解题分析 依切比雪夫不等式*，有*14.设随机变量 X 与 Y 的联合分布函数为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 随机变量的分布函数解题分析 因为 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，F(x)=F(x，+)=F(x，1)，所以*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：9.00）_正确答案：(这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求 由复合函数求导法得再求 )解析：考点提示 复合函数的偏导数16.求下列函数在指定点处的导数：(1) ，求 f(0
11、)；(2) 设 f(x)=(a+bx)-(a-bx)，其中 (x)在 x=a 处可导，求 f(0)；(3) 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 （分数：9.00）_正确答案：(对函数 求导得， ，则 f(0)=1；(2) 由函数 f(x)=(a+bx)-(a-bx)求导可得，f(x)=b(a+bx)+b(a-bx)，则 f(0)=2b(a)；(3) 因为 f(3+x)=3f(x)，且 ，所以有即 f(3)=1 )解析：考点提示 函数的导数17.设 a、b 为正常系数， 为非负常数，微分方程(1) 求该方程的通解；(2) 证明：当 =0 时， ；当 0 时， （分数：11.00）_正确答案：
12、(1) 通解为(2) 当 =0 时，所以当 x0 且 a 时，当 x0 且 =a 时，y(x)=(ha-+C)e-ax，)解析：考点提示 微分方程的通解和函数极限18.设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知其在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)（分数：11.00）_正确答案：(由题意得有 两边求导，得即 令 ，得可求得 )解析：考点提示 平均值与微分方程19.求微分方程 y“+5y+6y=2e-x 的通解（分数：10.00）_正确答案：(所给微分方程的特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0，故特征根为-2 和-3于是，对应齐次微分方程的通解
13、为 )解析：考点提示 微分方程的通解20.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其 2， 3， 4 线性无关， 1=2 2- 3，如果= 1+ 2+ 3+ 4，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：11.00）_正确答案：(由 2， 3， 4 线性无关及 1=2 2- 3 知，向量组的秩 r( 1， 2， 3， 4)=3，即矩阵 A 的秩为 3，因此 Ax=0 的基础解系中只包含一个向量那么由知，Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0)T再由 = 1+ 2+ 3+ 4=( 1， 2， 3， 4) 知，(1，1，1，1)T 是 Ax= 的一
14、个特解故 Ax= 的通解是 k )解析：考点提示 线性方程组的通解21.设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1（分数：11.00）_正确答案：(证法一 因为 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使)解析：考点提示 正定矩阵的相关计算22.设总体 X 的分布函数为 F(x)，(X 1，X 2，X n)是取自此总体的一个子样，若 F(x)的二阶矩阵存在， 为子样均值，试证 的相关系数（分数：11.00）_正确答案：(由于二阶矩存在，不妨发因而 )解析：考点提示 分布函数的计算23.设总体 X 服从于正态分布 N(，2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值为 ，求统计量 （分数：11.00）_正确答案：(解法一 设 Zi=Xi+Xi+1(i=1，2，n)，为从总体 Z 中取出的样本容量为 n 的样本则 E(Zi)=E(Xi)+E(Xn+i)=+=2，D(Zi)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)(Xi 与 Xn+i 相互独立)=2+2=22，所以 ZN(2，22)因样本与总体同分布，则样本方差为因为 S2 是总体 Z 的方差的无偏估计量，所以所以 E(Y)=2(n-1)2解法二 设因为 相互独立，所以 )解析：考点提示 随机样本的正态分布
