1、考研数学三-135 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)的导数在 x=a 连续，又 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若（分数：4.00）A.B.C.D.4.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为 （分数：4.00）A.B.C.D.
2、5.设向量组： 1， 2， r可由向量组： 1， 2， s线性表示下列命题正确的是（分数：4.00）A.若向量组线性无关，则 rsB.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性相关，则 rs6.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设某商品的收益函数为 R(P)，收益弹性为 1+P3，其中 P 为价
3、格，且 R(1)=1，则 R(P)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.二次型 （分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 cov(X，XY 2)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 （分数：10.00）_（分数：10.00）(1).比较 （分数：5.00）_(2).记 ，求极限 （分数：5.00）_16.求 （分数：10.00）_17.设银行存款的年利率为 r=0.05，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A 万
4、元实现第一年提取 19万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元?（分数：10.00）_已知函数 f(x)在0，1连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明（分数：10.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1-；（分数：5.00）_(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：5.00）_设 （分数：11.00）(1).求 ，a；（分数：5.50）_(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且（分数：11.00）
5、(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：5.50）_(2).求矩阵 A（分数：5.50）_18.设二维随机变量(X，y)的概率密度为（分数：11.00）_设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）(1). 的矩估计；（分数：5.50）_(2). 的最大似然估计（分数：5.50）_考研数学三-135 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 *2.设 f(x)的导数在 x=a
6、 连续，又 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 方法一 由*及极限的局部保号性知，*，当 0|x-a| 时*从而，当 x(a-，a)时 f(x)0，当 x(a，a+)时 f(x)0，又 f(x)在 x=a 连续，由极值的充分判别法知，x=a 是 f(x)的极大值点应选(B)方法二 选择题的特殊选取法特殊选取*，易验证对此 f(x)满足题目条件，x=a 是 f(x)的极大值点，而不是极小值点，(a，f(a)=(a，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点(f“(x)=-1，y=f(x)是凸的)故应选(B)3.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(x)为-1，3上均匀分布的概率密度
7、，若（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 根据概率密度函数的性质：*即*f1(x)为标准正态分布的概率密度，其对称中心在 x=0 处，故*f2(x)为 U-1，3分布的概率密度，即*，故*所以*，即 2a+3b=44.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由题设及线性微分方程解的性质知 y1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 的一个非零解，C 是一个任意常数，y 1(x)是非齐次线性微分方程的一个特解，从而由线性方程通解的结构可知y1(x)+Cy1(x)-y
8、2(x)是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解应选(B)5.设向量组： 1， 2， r可由向量组： 1， 2， s线性表示下列命题正确的是（分数：4.00）A.若向量组线性无关，则 rs B.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性相关，则 rs解析：分析 因为可由线性表示，有r( 1， 2， r)r( 1， 2， 3)s如果线性无关，则有r( 1， 2， r)=r可见(A)正确关于(B)、(C)、(D)不妨构思几个反例(B)(1，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)，(0，1，0)(C)(1，0，0)，(2，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)，(0，
9、1，0)(D)(1，0，0)和(1，0，0)，(2，0，0)6.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 函数*的定义域是(-，0)(0，+)，只有间断点 x=0，由于*故 x=0 是曲线的唯一垂直渐近线又因*故当 x-时曲线有水平渐近线 y=0，当 x+时有斜渐近线 y=x综合知，共有 3 条渐近线，应选(D)7.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由伴随矩阵 A*秩的公式*可见 r(A*)=1*r(A)=2若 a=b 易见 r(A)1 故(A)(B)均不正确由于|A|=(a+2b)(a-b) 2当 ab，a+2b=0 时，一方面 A 中有 2 阶子式*而
10、又有|A|=0 故秩 r(A)=2故应选 C8.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 按定义考察函数*在点(0，0)处的偏导数的存在性问题由*，因|x|在 x=0 不可导*f(x，0)=e |x|在 x=0 不可导(否则，由复合函数可导性的有关结论得到|x|=lne|x|在 x=0 可导，矛盾了)因此 fx(0，0)不存在又*在 y=0 可导，*f y(0，0)存在应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 这是含变限积分的“*”型极限，一般用洛必达法则先用等价无穷小因子替换：*10.曲线 （分数：
11、4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1，-6)）解析：分析 *处处连续，又*由于 x=-1 两侧 y“异号，故(-1，-6)是曲线 y 的拐点而 x=0 时(0，0)不是曲线 y 的拐点(x=0 两侧 y“不变号)因此，拐点坐标为(-1，-6)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 用凑微分*12.设某商品的收益函数为 R(P)，收益弹性为 1+P3，其中 P 为价格，且 R(1)=1，则 R(P)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 按收益弹性的定义可知*，从而收益函数 R(P)应是微分方程*满足 R(1)=1 的特解这是可分离
12、变量类型的一阶微分方程，分离变量得*两端积分得*令 P=1，R=1，确定*因而所求特解为*由此得收益函数*13.二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 二次型矩阵*因为秩 r(A)=1 有|E-A|= 2-9 2知矩阵 A 的特征值为 9，0，014.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 cov(X，XY 2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2( 2+ 2)）解析：分析 cov(X，XY 2)=E(X2Y2)=EXE(XY2)由于 X 与 Y 相互独立，所以E(X2Y2)=EX2EY2=DX+(EX)2DY+(EY
13、)2=( 2+ 2)2E(XY2)=EXEY2=( 2+ 2)总之 cov(X，XY 2)=( 2+ 2)2- 2( 2+ 2)= 2( 2+ 2)三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 （分数：10.00）_正确答案：(z=f(e xsiny)是由一元函数 f(u)与二元函数 u=exsiny 复合而成的二元函数，它满足偏微分方程*为了求 f(u)我们将用复合函数求导法，导出*与 f(u)，f“(u)满足的关系，然后由(*)式导出f(u)满足的常微分方程，从而求得 f(u)下面先用复合函数求导法求出*将后两式代入(
14、*)得*即f“(u)-f(u)=0这是二阶线性常系数齐次方程，相应的特征方程 2-1=0 的特征根 =1因此求得f(u)=C1eu+C2e-u，其中 C1，C 2为*常数)解析：（分数：10.00）(1).比较 （分数：5.00）_正确答案：(先比较0，1区间上的被积函数，易知0ln(1+t)t t(0，1*lnn(1+t)t n (t(0，1)*|lnt|lnn(1+t)t n|Int| t(0，1)又*，可补充定义f(0)=0，g(0)=0，则 f(t)，g(t)在0，1连续且f(t)g(t)，f(t)g(t) t0，1因此*即*)解析：(2).记 ，求极限 （分数：5.00）_正确答案：
15、(易求得*由题(1)有*由夹逼定理*)解析：16.求 （分数：10.00）_解析：17.设银行存款的年利率为 r=0.05，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年提取 19万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元?（分数：10.00）_正确答案：(设开始时刻为 t=0，由题设知 A(单位：万元)应满足：在第一年末时存款余额*在第二年末时存款余额A(1+r)-19(1+r)-28=A(1+r)2-19(1+r)-280*在第三年末时存款余额A(1+r)2-19(1+r)-28(1+r)-(10+39)=A(
16、1+r)3-19(1+r)2-28(1+r)-(10+39)0*不难看出，如此继续下去，在第 n 年末时存款余额A(1+r)n-19(1+r)n-1-28(1+r)n-2-(10+9n)0*于是，能够使取款一直继续下去的 A 应满足*现归结为求级数*的和在已知的幂级数和函数公式*(后者由前者逐项求导而得)中，令*得*代入得*因此*即 A 至少应为 3980 万元)解析：已知函数 f(x)在0，1连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明（分数：10.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1-；（分数：5.00）_正确答案：(即证*在(0，1)*零点由于 F(x)在0
17、，1连续，且 F(0)=-1，F(1)=1，即 F(0)，F(1)异号，由连续函数的零点存在性定理知，*(0，1)使得 F()=0，即 f()=1-)解析：(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：5.00）_正确答案：(由要证的结论，要在两个区间上用拉格朗日中值定理利用题()的结果，分别在0，1上用拉格朗日中值定理，*(0，)，使得*(，1)，使得*两式相乘得f()f()=1)解析：设 （分数：11.00）(1).求 ，a；（分数：5.50）_正确答案：(因为方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，故*由*于是 =1 或 =-1当 =1 时，r(A)=1，*，方程组
18、 Ax=b 无解，舍去当 =-1 时，对 Ax=b 的增广矩阵作初等行变换*可见 a=-2 时，*，方程组 Ax=b 有无穷多解故 =-1，a=-2)解析：(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_正确答案：(当 =-1，a=-2 时*所以方程组 Ax=b 的通解为 *k 为任意常数)解析：设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且（分数：11.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：5.50）_正确答案：(因秩 r(A)=2，知|A|=0，所以 =0 是 A 的特征值又由分块矩阵乘法，有*按特征值定义，知 =-1 是 A 的特征值，*，k 10 是 A 属于
19、=-1 的特征向量=1 是 A 的特征值，且属于 =1 的特征向量为*设*是 A 的属于 =0 的特征向量，由于 A 是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，故*于是矩阵 A 属于 =0 的特征向量为*)解析：(2).求矩阵 A（分数：5.50）_正确答案：(令*，则*于是*)解析：18.设二维随机变量(X，y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(方法一 常数 A 可以通过性质*来求而*其中*其实 fX(x)中带有常数 A，所以用*来求 A，还不如用*来求 A所以先求* *又由于*，即*当 fX(x)0 时，等价于当-x+时，*)解析：设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）(1). 的矩估计；（分数：5.50）_正确答案：(直接用定义求解令*，其中*为样本的均值，*即令*，由此解得 的矩估计量*)解析：(2). 的最大似然估计（分数：5.50）_正确答案：(用最大似然估计定义求解由于样本 x1，x n的似然函数*，取对数得 lnL()=Nln+(n-N)ln(1-)令*，解得 的最大似然估计为*)解析：
