1、考研数学三-136 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 an是单调递减的正数列，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 XN(2，2 2)，Y=aX+bN(0，1)，则 a，b 的可能取值为( )（分数：4.00）A.a=2，b=-2B.C.a=-2，b=-1D.3.已知 0，则对于反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.4.对于函数 f(x，y)=x 4+y4-2x2-2y3+4xy 与 （分数：4.00）A.B.C.D.5.以下说法正确的是( )（分数：4.00）A.若 x=x0是 f(x)的无穷间断点，则它
2、不会是函数 f(x)的极小值点B.若 f(x)在(a，b)内连续，且在 x=a 与 x=b 点有定义，则 f(x)在a，b上必有界C.若D.f(a)f(b)0 是方程 f(x)=0 在(a，b)有解的充分非必要条件6.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XF(n，n)，记 =P(X1)，=P(X1)，则( )（分数：4.00）A.=B.C.D.， 的大小与 n 的取值有关，不确定8.已知向量组 与向量组 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.参数方程 在对应 （分数：4.00）填空项 1:_1
3、1.设 f 可微，则由方程 f(cx-az，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 azx+bzy=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f(u)可微，f(0)=0，且 t0，又 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.当 （分数：4.00）填空项 1:_14.投掷 n 枚骰子，出现点数之和的数学期望为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.请证明：函数 f(x)在 x0处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数，L(x)=x(其中 为常数)，使 （分数：10.00）_16.设 f(x)在-a，a上具有三阶连续导数，且满足
4、，f(0)=0，证明存在 -a，a，使得（分数：10.00）_（分数：10.00）(1).用 x=et化简微分方程 为 （分数：5.00）_(2).求解 （分数：5.00）_17.设 z=z(x，y)由 x2+y2+z2+xy+yz=a2(a0)所确定，求 z=z(x，y)的最大值与最小值（分数：10.00）_18.计算 （分数：10.00）_19.设 1， 2， n是线性无关的 n 维列向量组，且 n+1=x1 1+x2 2+xn n其中数x1，x 2，x n全不为零，请证明：向量组 1， 2， n， n+1中任意 n 个向量都线性无关（分数：11.00）_20.设 A=(aij)nn，若任
5、意 12 维非零列向量都是 A 的特征向量，请证明：A 为数量矩阵，即存在常数 k，使 A=kE（分数：11.00）_21.设 ，Y 服从0，3上的均匀分布，且 X 与 Y 独立，求行列式 （分数：11.00）_设总体 XN( 1， 2)，YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本 X1，X n和 Y1，Y n记样本均值分别为 若 （分数：11.00）C；_(2).Z 的方差 DZ（分数：5.50）_考研数学三-136 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 an是单调递减的正数列，则级数 （分数：4.
6、00）A. B.C.D.解析：本题考查收敛原则，即正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界令*，取绝对值，改为正项级数讨论如下：由于*，故*，即*存在，因此级数*绝对收敛2.设 XN(2，2 2)，Y=aX+bN(0，1)，则 a，b 的可能取值为( )（分数：4.00）A.a=2，b=-2B. C.a=-2，b=-1D.解析：本题考查随机变量的函数的数学期望，属于基础题因*解得*故选择(B)3.已知 0，则对于反常积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查反常积分的敛散性的理论判别，是历届考生复习比较薄弱的知识点首先，考生需要掌握的已知结论是：对于无界函数的反常积分*(奇点
7、x=0)：在 p1 时收敛，在 p1时发散根据上述结论，作如下讨论：当 1 时取正数 充分小使得 +1由于*故，当 x0 +时，*是比*高阶的无穷大，于是*收敛；当 1 时，由于*，故，当 x0 +时，*是比*低阶的无穷大，于是*发散4.对于函数 f(x，y)=x 4+y4-2x2-2y3+4xy 与 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查二元函数的极值问题，属于基本题对于函数 f(x，y)=x 4+y4-2x2-2y2+4xy 在(0，0)点的邻域，考察两条特殊的路径：取路径 y=x，则 f(x，y)=f(x，x)=2x 4，显然(0，0)点是这条路径上的极小值点，取路径 y=-
8、x，则 f(x，y)=f(x，-x)=2x 4-8x2，于是 f=8x3-16x，f“=24x 2-16，将 x=0 代入，f=0，f“0，故(0，0)点是这条路径上的极大值点；由此可得，(0，0)点不是 f(x，y)的极小值点对于函数*，通过恒等变形，得*在(0，0)点的邻域，考察两条特殊的路径：x=0 和 y=2x2，则*可以得出(0，0)点是 x=0 这条路径上的极小值，是 y=2x2这条路径上的极大值，由此可得，(0，0)点也不是 g(x，y)的极小值点5.以下说法正确的是( )（分数：4.00）A.若 x=x0是 f(x)的无穷间断点，则它不会是函数 f(x)的极小值点B.若 f(x
9、)在(a，b)内连续，且在 x=a 与 x=b 点有定义，则 f(x)在a，b上必有界C.若 D.f(a)f(b)0 是方程 f(x)=0 在(a，b)有解的充分非必要条件解析：本题考查一元函数微分学的若干基本概念，属于基本题对于(A)、(B)、(D)，可通过举反例的方法排除，对于正确选项(C)，可以证明对于(A)选项，可举出反例：*是函数 f(x)的无穷间断点，但 x=0 是函数 f(x)的极小值点；对于(B)选项，可举出反例：*f(x)在*内连续，且在 x=*点有定义，但 f(x)在*上无界；对于(D)选项，可举出反例：*显然 f(a)f(b)0 并非方程 f(x)=0 在(a，b)有解的
10、充分条件；对于(C)选项，可证明如下：因为*，则 f(a)0故*6.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：将可逆矩阵 P 按列向量分块记为 P=( 1 2 3)，则*(A 1 A 2 A 3)=( 1 2 0)*A 1= 1，A 2= 2，A 3=0，则 1， 2为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 3为 A 的属于特征值 0 的特征向量由题设知 1， 2是 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 3是 A 的属于特征值零的特征向量，所以 P=( 2 1 3)足合适的，所以排除(B)据特征值的性质：“若 是 A 的属于特征值 的线性无关的特征向量，k0，则 k 也是
11、 A 的属于特征值 的线性无关的特征向量”可推得 P=(- 1 5 2 3)是合适的所以排除(A)据特征值的性质：“若 ， 均为 A 的属于 的线性无关的特征向量，k，t 为不全为零的数，则k+t 也是 A 的属于 的特征向量，”可推得 1+ 2也是 A 的属于 1 的特征向量，注意到当 1， 2线性无关时， 1+ 2， 2也相性尤关，所以 P=( 1+ 2 2 3)是合适的，据此排除(C)据特征值的性质：“若 ， 是 A 的属于不同特征值的特征向量，则 + 不是 A 的特征向量”知 2+ 3不是 A 的特征向量，故 P 不能为( 1 2 2+ 3)，所以应填(D)7.设随机变量 XF(n，n
12、)，记 =P(X1)，=P(X1)，则( )（分数：4.00）A.= B.C.D.， 的大小与 n 的取值有关，不确定解析：本题考查统计量的概率规律，是一道基础题由 XF(n，n)，故*，从而*，即 =8.已知向量组 与向量组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查向量组的秩的相关知识，是考生比较熟悉的知识点，是一道基础题 1和 2线性无关， 3=3 1+2 2，所以向量组 1， 2， 3线性相关，且秩为 2， 1， 2是它的一个极大线性无关组由于向量组 1， 2， 3与 1， 2， 3具有相同的秩，故 1， 2， 3线性相关，从而*由此解得 a=3b又 3可由 1， 2， 3线性
13、表示，从而可由 1， 2线性表示，所以 1， 2， 3线性相关于是*，解之得 2b-10=0于是 a=15，b=5二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查函数极限的基本计算，属于基础题令*，*10.参数方程 在对应 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查在给出极坐标方程条件下的切线方程的求法，属于有一定难度的计算题*，切点为*故切线方程*11.设 f 可微，则由方程 f(cx-az，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 azx+bzy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
14、c）解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题方程两边求全微分，得 f1(cdx-adz)+f2(cdy-bdz)=0，即*故*12.设函数 f(u)可微，f(0)=0，且 t0，又 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查二重积分的基本计算、洛必达法则、变限积分求导和导数定义，是一道有一定综合性的计算题用极坐标，有*，则*13.当 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查矩阵的运算，是一道有一定计算量的题目由于|A|=1，故*又由于 A6=E，有*14.投掷 n 枚骰子，出现点数之和的数学期望为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答
15、案：*）解析：本题是考查数字特征性质与计算的基础题假设 Xi表示第 i 颗骰子的点数(i=1，2，n)则*(i=1，2，n)又令*，则*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.请证明：函数 f(x)在 x0处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数，L(x)=x(其中 为常数)，使 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查一元函数的可微定义与导数定义，是一道基于概念的逻辑推理题，题目本身并不难，但是对很多考生而言，这类着眼于定义的证明题比较棘手必要性 若 f(x)在 x0点可导，即 f(x)在 x0点可微，由可微定义得f(x0+x)-f(x 0)=x+D(x)，其中 为常数令 L(
16、x)=x，则*充分性若存在 L(x)=x，其中 为常数，使得*则*，于是，f(x0+x)-f(x 0)-L(x)=o(x)，即 f(x0+x)-f(x 0)=x+o(x)，所以 f(x)在 x0点可导，)解析：16.设 f(x)在-a，a上具有三阶连续导数，且满足 ，f(0)=0，证明存在 -a，a，使得（分数：10.00）_正确答案：(本题考查中值定理考研数学中的证明题，比较典型地就是考查中值定理的证明，历来考试证明，这类例题得分率很低，值得考生在最后阶段的复习中加强总结和训练本题涉及多个定理的使用，是一道有一定难度的综合题本题即证存在 -a，a，*看到这种模式，应该想到对 f“(x)在-a
17、，a上使用介值定理，这样便需要联系积分*、函数 f(x)与其导数 f“(x)，涉及积分的保号性与泰勒公式(事实上是麦克劳林公式)由*，则*由麦克劳林公式，*其中 介于 0 与 x 之间，x-a，a，于是*其中 m，M 为|f“(x)|在-a，a上的最小值、最大值，故存在点 -a，a，使得*)解析：（分数：10.00）(1).用 x=et化简微分方程 为 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查在已有提示下化简微分方程、二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题令*即* (*)解析：(2).求解 （分数：5.00）_正确答案：(求解*齐次方程 y“+2y+5y=0* 2+2+5=
18、0* 1,2=-12i*y 齐通 (t)=e-t(C1cos2t+C2sin2t)令 y*(t)=(at+b)et，代入(*)*a=2，b=-1，故y 通 (t)=e-t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t-1)et*y(x)=x-1C1cos(2lnx)+C2sin(2lnx)+x(2lnx-1)解析：17.设 z=z(x，y)由 x2+y2+z2+xy+yz=a2(a0)所确定，求 z=z(x，y)的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(本题考查多元微分学的最值问题，具有一定的计算量在方程两边分别对 x 及 y 求偏导：*令*，得到*解得 y=-2x，z=3x，代入方程得*
19、，故得两点*根据实际问题，必存在最值，因此点 P1与 P2即为所求)解析：18.计算 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查二重积分的计算，是一道计算量较大的难题首先，由 x 与 y 轮换对称性，有*令 x+y=u(视 x 为常数)，得*交换积分次序，得*)解析：19.设 1， 2， n是线性无关的 n 维列向量组，且 n+1=x1 1+x2 2+xn n其中数x1，x 2，x n全不为零，请证明：向量组 1， 2， n， n+1中任意 n 个向量都线性无关（分数：11.00）_正确答案：(本题是向量组的逻辑证明问题，涉及向量组的线性相关性，是历年考试的重点取 1， 2， n， n+1中任
20、意 n 个向量 1， 2， i-1， i+1， n， n+1使用定义，设有 n 个数 k1，k 2，k i-1，k i+1，k n，k n+1，使得k11+k 2 2+ki-1 i-1+ki+1 i+1+kn n+kn+1 n+1=0，将 n+1=x11+x22+xnn 代入上式，得k1 1+k2 2+ki+1 i-1+ki+1 i+1+kn n+kn+1(x1 1+x2 2+xn n)=0，即(k 1+x1kn+1) 1+(k2+x2kn+1) 2+(ki-1+xi-1kn+1) i-1+xikn+1 i+(ki+1+xi+1+kn+1) i+1+(kn+xnkn+1) n=0由于 1， 2
21、， n线性无关，则所有系数全为 0，即*由 xikn+1=0 及 xi0，知 kn+1=0，进而可得 k1=k2=ki-1=ki+1=kn=0，因此，向量组 1， 2， i-1， i+1， n， n+1线性无关，即 1， 2， n+1中任意 n 个向量都线性无关)解析：20.设 A=(aij)nn，若任意 12 维非零列向量都是 A 的特征向量，请证明：A 为数量矩阵，即存在常数 k，使 A=kE（分数：11.00）_正确答案：(本题是考查特征值与特征向量的综合题，对概念和逻辑的要求较高，是一道比较新颖的综合题由题设，任意 n 维非零列向量都是 A 的特征向量，故 n 维单位向量*都是 A 的
22、特征向量，因此存在常数 j为对应的特征值，使得Aej= jej(j=1，2，n)，即*于是得 aij=0(ij；i，j=1，2，n)，a ij= j(j=1，2，n)，即 A 为对角矩阵*又由于 ij 时，*也是 A 的特征向量故存在常数 k 为对应的特征值，使得 A(ei+ej)=k(ei+ej)，即 Aei+Aej=kei+kej，于是由Aej=Ajej(j=1，2，n)， iei+ jej=kei+kej*( i-k)ei+( j-k)ej=0，而 ei，e j线性无关，得 i=k(i=1，2，n)，故*，即 A 为数量矩阵)解析：21.设 ，Y 服从0，3上的均匀分布，且 X 与 Y
23、独立，求行列式 （分数：11.00）_正确答案：(本题考查随机变量函数的概率规律，是一道提法比较新颖，涉及线性代数知识的综合题*=P(X-10，Y-20)+P(X-10，Y-20)=P(X1)P(Y2)+P(X1)P(Y2)*)解析：设总体 XN( 1， 2)，YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本 X1，X n和 Y1，Y n记样本均值分别为 若 （分数：11.00）C；_正确答案：(本题是概率沦与数理统计的综合题，具有一定的计算量，但不是难题，考生只要概念清楚，认真计算，就能解决好*故*，则*)解析：(2).Z 的方差 DZ（分数：5.50）_正确答案：(因*，故*同理，*故*)解析：
