1、考研数学三-166 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 un是数列，则下列命题正确的是(A) 若 收敛，则 收敛(B) 若 收敛，则 收敛(C) 若 收敛，则 收敛(D) 若 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要
2、而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为(A) E (B) -E (C) A (D) -A（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A、B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有(A) P(AB)P(A) (B) P(AB)P(B)(C) P(AB)P(A) (D) P(AB)P(B)（分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2Xn(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量（分数：4.
3、00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设可导函数 y=y(x)由方程 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 ，则积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 。满足 （分数：4.00）填空项 1:_12.设某产品的需求函数为 QQ(P)，其对价格 P 的弹性 p=0.2则当需求量为 10000 件时，价格增加 1元会使产品收益增加_元（分数：4.00）填空项 1:_13.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布
4、N(，； 2， 2；0)，则 cov(X，XY 2)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值（分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.证明方程 （分数：10.00）_19.已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)-2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex()求 f(x)的表达式()求曲线 （分数：10.00）_20.设四元齐次线性方程组()为（分数：11.00）_21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 m
5、n 阶实矩阵，B T为 B 的转置矩阵，试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)n（分数：11.00）_22.设二维随机变量(x，y)的概率密度为f(x,y)=Ae-2x2+2xy-y2，-x+，-y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)（分数：11.00）_23.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=-1，0，1)，Y 的概率密度 ()求 （分数：11.00）_考研数学三-166 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)
6、存在，则函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设，可推出 f(0)=0，再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0于是有 存在，故 x=0 为可去间断点评注1本题也可用反例排除，例如 f(x)=x，则此时 可排除(A)，(B)，(C)三项，故应选(D)2若 f(x)在 x=x0处连续，则2.函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如 f(x)在(a，b)内连续，且极限 存在，则函数 f(x)在(a，b)内有界当 x0,1,2 时，f(x)连续，而 ， ，所以，函数 f(x)
7、在(-1，0)内有界，故选(A)评注一般地，如果函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则 f(x)在闭区间a，b上有界；如果函数 f(x)在开区间(a，b)内连续，且极限3.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 ，知 x=1 为垂直渐近线；由 ，知 y=1 为水平渐近线；由4.设 un是数列，则下列命题正确的是(A) 若 收敛，则 收敛(B) 若 收敛，则 收敛(C) 若 收敛，则 收敛(D) 若 收敛，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用级数敛散性的性质若5.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的(A) 充分必要条件 (B) 充
8、分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 6.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为(A) E (B) -E (C) A (D) -A（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由由7.设 A、B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有(A) P(AB)P(A) (B) P(AB)P(B)(C) P(AB)P(A) (D) P(AB)P(B)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X
9、1，X 2Xn(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设可导函数 y=y(x)由方程 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 先由方程求出 x=0 时 y=0，再两边对 x 求导，属基础题型由 ，令 x=0，得 y=0等式两端对 x 求导得， ，将 x=0，y=0 代入上式，10.函数 ，则积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为11.微分方程 。满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 本题为齐次方程的
10、求解，可令令 ，则原方程变为即 ，将 y|x=1=1 代入左式得 Ce，故满足条件的方程的特解为 ex12.设某产品的需求函数为 QQ(P)，其对价格 P 的弹性 p=0.2则当需求量为 10000 件时，价格增加 1元会使产品收益增加_元（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：8000）解析：解析 设收益为 R，则 R=QP所以将 Q10000 代入有13.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 因为 f(x1，x 2，x 3)=2x21+2x22+2x23+2x1x2
11、2x2x3+2x3x1二次型 f 的矩阵是易见秩 r(A)=2，故二次型 f 的秩为 2注意 若认为二次型的标准形是 f=y21+y22+y23，从而秩 r(f)=3 就错误了因为对于 而言，由于行列式14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 cov(X，XY 2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2( 2+ 2)）解析：解析 cov(X，XY 2)E(X 2Y2)-EXE(XY2)由于 X 与 Y 相互独立，所以E(X2Y2)=EX2EY2DX+(EX) 2DY+(EY)2( 2+ 2)2E(XY2)EXEY 2( 2+ 2)总之 cov(
12、X，XY 2)=( 2+ 2)- 2( 2+ 2) 2( 2+ 2)三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(分析 化为指数形式，用洛必达法则及等价无穷小替换解评注，本题是未定式 00型)解析：16.求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值（分数：10.00）_正确答案：(分析 先求函数的驻点，再用二元函数取得极值的充分条件判断解)解析：17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析 被积函数 f(x，y)=max(xy，1)是分区域函数，要利用积分的可加性分区域积分)解析：18.证明方程 （分数：10.00）_
13、正确答案：(分析 构造辅助函数，利用零点定理及函数的单调性判断根的个数证明令 则由 f(x)=0 得 ，显然 ，即 为一个实根当 时，f(x)0，则 f(x)在区间上单调递减；当 时，f(x)0，则 f(x)在区间 上单调递增，且所以，方程在 内还有一实根综上所述得方程恰有两个实根 )解析：19.已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)-2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex()求 f(x)的表达式()求曲线 （分数：10.00）_正确答案：(齐次线性微分方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0 的特征方程为：r 2+r-2=0，特征根为：r 1=1，r 2=2，因此齐次微分方
14、程的通解为：f(x)=C 1ex+C2e-2x于是 f(x)=C1ex-2C2e-2x，f“(x)=C 1ex+4C2e-2x，代入 f“(x)+f(x)=2ex得 2C1ex+5C2e-2x=2ex，从而 C1=1，C 2=0，故 f(x)=ex() )解析：20.设四元齐次线性方程组()为（分数：11.00）_正确答案：(对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有得方程组()的基础解系为 1(5，-3，1，0) T， 2(-3，2，0，1) T(2)设 是方程组()和()的非零公共解，则x 1 1+x2 2+x 3 1-x4 2那么 x1 1+x2 2+x3 1+x4 40对系数矩阵 A( 1
15、 2， 1， 2)作初等行变换，有由 0 x1，x 2，x 3，x 4不全为 0 r(A)4 a=-1当 a=-1 时得基础解系 1(-1，-1，1，0) T， 2(-4，-7，0，1) T所以 Ax0 的通解为k1 1+k2 2(-k 1-4k2，-k 1-7k2，k 1，k 2)T故方程组()和()的公共解)解析：21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵，B T为 B 的转置矩阵，试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)n（分数：11.00）_正确答案：(证 必要性设 BTAB 是正定矩阵，按正定定义恒有 XT(BTAB)X0 即(Bx)
16、 TA(Bx)0那么 恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0 只有零解，故秩 r(B)=n充分性因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知 BTAB 为实对称矩阵当秩 r(B)=n 时，Bx=0 只有零解，那么 恒有 Bx0因为 A 是正定矩阵，那么当 Bx0 时必有(Bx)TA(Bx)0，所以 )解析：22.设二维随机变量(x，y)的概率密度为f(x,y)=Ae-2x2+2xy-y2，-x+，-y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)（分数：11.00）_正确答案：(解 方法一 常数 A 可以通过性质 来求而其中其实 fx(x)中带有常数 A，所以用 来求 A还不如用
17、来求 A.所以先求又由于 ，即当 fx(x)0 时，等价于当-x+时，评注 这方法中用了公式 ，此公式也可以从服从正态 N(0， )的密度函数 的积分等于 1来推出方法二 二维正态概率密度一般形式为对比本题所给二维密度 ，可知 1 20，且由此解得 和这时的边缘密度)解析：23.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=-1，0，1)，Y 的概率密度 ()求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与解答 ()由于 X，Y 相互独立，且 y 在0，1)上均匀，故即()F z(z)PZz)一 PX+Yz)可以把“X=-1”，“X=0”和“X1”看成是一个完备事件组，用全概率公式：故 即评注本题主要考查条件概率和独立性的运用，关键在于)解析：
