1、考研数学三-190 及答案解析(总分：154.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+2x2+x3)2+-x1+(a-4)x2+2x32+(2x1+x2+ax3)2正定，则参数 a 的取值范围是 ( )（分数：4.00）A.a=2B.a=-7C.a0D.a 可任意2.设 an0 且当 n时， （分数：4.00）_3.设 A 是 n 阶矩阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：4.00）A.对任意的 n 维列向量 ，有 A=0，则 A=0B.对任意的 n 维列向量 ，有 TA=0，则 A=0C.对任意的 n 阶矩阵 B
2、，有 AB=0，则 A=0D.对任意的 n 阶矩阵 B，有 BTAB=0 则 A=04.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知随机变量 X 和 Y 均服从正态分布 N(0，1)，则 ( )（分数：4.00）A.X2+Y2服从 X2(2)分布B.X-Y 服从 N(0，2)分布C.D.(X，-Y)不一定服从正态分布6.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上都有定义，且 x=x1是 f(x)的唯一间断点，x=x 2是 g(x)的唯一问断点则 ( )（分数：4.00）A.当 x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1B.当 x1x 2时，f(x)+g(x)必有两个间断点 x1与
3、 x2C.当 x1=x2时 f(x)g(x)必有唯一的间断点 x=x1D.当 x1x 2时 f(x)g(x)必有两个间断点 x1与 x27.已知随机事件 A，B 满足条件 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 a 与 b 是两个常数， ，则 ( )(A)a 为任意数，b=0 (C)a=0，b=1 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）10. （分数：4.00）填空项 1:_11.一阶差分方程 yt+1-yt=t 的通解为 yt=_（分数：4.00）填空项 1:_12.没 （分数：4.00）填空项 1:_13.没 A 是三阶不
4、可逆矩阵， 是三维线性无关列向量，满足 A=，A=，且 A，则=_（分数：4.00）填空项 1:_14.没随机变量 X 与随机变量-X 具有相同的密度 f(x)，则 f(x)-f(-x)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：98.00)15. （分数：10.00）_16. （分数：10.00）_17.设 f(x)与 g(x)在区间 0，1 上都是正值的连续函数且有相同的单调性试讨论（分数：10.00）_18.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：10.00）_19.计算定积分 （分数：1
5、0.00）_20.设线性非齐次方程组 AX= 1， 2， 3， 4X= 5有通解k-1，2，0，3 T+2，-3，1，5 T()求方程组 2 3， 4X= 5的通解；()求方程组 1， 2， 3， 4， 4+ 5X= 5的通解（分数：11.00）_21.设 A，B，C 是 n 阶方阵，满足 r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(A T-2E)=O证明：A，并求 及|A|（分数：11.00）_22.设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)， 1， 20，且 X 与 Y 相互独立()求一年内共发生 n(n0)次地震的概率；()求在
6、一年内发生了 n 次地震的条件下，有感次数 X 的条件概率分布（分数：15.00）_23.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立且均服从标准正态分布，记 X=X1-X2，Y=X 2-X3，试求：()(X，Y)的概率密度 f(x，y)，及它的两个边缘密度函数 fX(x)，f Y(y)；()X 和 Y 的相关系数 （分数：11.00）_考研数学三-190 答案解析(总分：154.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+2x2+x3)2+-x1+(a-4)x2+2x32+(2x1+x2+ax3)2正定，则参数 a 的取
7、值范围是 ( )（分数：4.00）A.a=2B.a=-7C.a0D.a 可任意 解析：*方法二 因 f(x1，x 2，x 3)=x1+2x2+x3，-x 1+(a-4)x2+2x3，2x 1+x2+ax3* 注 直接写出二次型的对应矩阵，利用全体顺序主子式大于零来判别是困难的2.设 an0 且当 n时， （分数：4.00）_解析：举例说明敛散性由具体a n而定*注 由题设条件 an0，n时*，推不出a n3.设 A 是 n 阶矩阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：4.00）A.对任意的 n 维列向量 ，有 A=0，则 A=0B.对任意的 n 维列向量 ，有 TA=0，则 A=0 C.对任意的
8、 n 阶矩阵 B，有 AB=0，则 A=0D.对任意的 n 阶矩阵 B，有 BTAB=0 则 A=0解析：方法一 (A)对任意的 n 维列向量 ，有 A=0分别取 1=1，0，0 T， 2=0，1，0 T， n=0，0，1 T代入，即得aij=0，i=1，2，nj=1，2，n故 A=O(C)、(D)对任意的 n 阶矩阵 B 有 AB=O 及 BTAB=O只要取 B=E，即可得出 A=O故由排除法，应选(B)方法二 对(B)只要 A 是反对称阵，即 AT=-AO 时，则对任意的 n 维列向量 ，因 TA 是数，故有 TA=( TA)= TAT=- TA，2 TA=0，即 TA=0，但 AO故说法
9、(B)是错误的，应选(B)4.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：直接将 (x)与 (x)去比较，用洛必达法则时计算量较大分别与 xk去比可能会方便一些*5.已知随机变量 X 和 Y 均服从正态分布 N(0，1)，则 ( )（分数：4.00）A.X2+Y2服从 X2(2)分布B.X-Y 服从 N(0，2)分布C.D.(X，-Y)不一定服从正态分布 解析：因 X，Y 不一定相互独立，故(A)，(C)均不正确由于 X 和 Y 均正态并不能保证(X，Y)正态，故 X-Y 也不一定为正态，(X，-Y)当然也不一定为正态6.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上都有定义，且 x=x1是 f(x
10、)的唯一间断点，x=x 2是 g(x)的唯一问断点则 ( )（分数：4.00）A.当 x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1B.当 x1x 2时，f(x)+g(x)必有两个间断点 x1与 x2 C.当 x1=x2时 f(x)g(x)必有唯一的间断点 x=x1D.当 x1x 2时 f(x)g(x)必有两个间断点 x1与 x2解析：命 (x)=f(x)+g(x)设 (x)在 x=x1处连续，由 f(x)=(x)-g(x)及题设 g(x)仅在 x=2 处间断，其他处均连续，推知 f(x)在 x=x1处亦连续，与题干所设矛盾故 (x)在 x=x1处间断，同理可推知 (x)在x=x2
11、处亦间断所以(B)正确注 可以举出例子说明(A)，(C)，(D)不正确*7.已知随机事件 A，B 满足条件 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*8.设 a 与 b 是两个常数， ，则 ( )(A)a 为任意数，b=0 (C)a=0，b=1 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）解析：应先写出 f(x)的表达式*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：交换积分次序：*注 *为以 a0 为半径在第一象限中的圆的面积，利用定积分的几何意义计算定积分是一种“技巧”11.一阶差分方程 yt+1-y
12、t=t 的通解为 yt=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：特征方程 -1=0，特征根 =1故对应的齐次方程的通解为Yt=C1t=C自由项为 t 的一次多项式，1 是特征根，故命一个特解为*12.没 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13.没 A 是三阶不可逆矩阵， 是三维线性无关列向量，满足 A=，A=，且 A，则=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：A 不可逆，|A|=0，A 有 1=0A=，A=，两式相加，得 A(+)=+两式相减有 A(-)=(-)=-(-)，故有特征值 1=1， 3=-1(对应的特征向量为 +，-)A
13、 有三个不同的特征值 0，1，-1，从而知*14.没随机变量 X 与随机变量-X 具有相同的密度 f(x)，则 f(x)-f(-x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：随机变量 X 与随机变量-X 具有相同密度函数 f(x)，因而也具有相同的分布函数 F(sr)，即 P(Xx)=F(x)=P(-Xx)*三、解答题(总题数：9，分数：98.00)15. （分数：10.00）_正确答案：(*又在 x=1 处 F(x)连续，所以 F(x)在区间(0，+)上严格单调增*所以 F“(1)=0，且当 0x1 时，F“(x)0，曲线 y=F(x)为凸；当 x1 时，F“(x)0，曲线
14、 y=F(x)为凹点(1,0)为曲线 y=F(x)上的唯一拐点)解析：16. （分数：10.00）_正确答案：(D 是一块矩形域，如图*)解析：17.设 f(x)与 g(x)在区间 0，1 上都是正值的连续函数且有相同的单调性试讨论（分数：10.00）_正确答案：(*题设 f(x)与 g(x)有相同的单调性，从而知(f(t)-f(x)(g(t)-g(x)0又因 f(t)0，f(x)0，故当t0 时垆 (t)0从而推知当 t0 时，(t)0，所以 I1I 2)解析：18.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：10.0
15、0）_正确答案：(命 F(x，y)=2x 2+2y2+z2+8xz-z+8，*)解析：19.计算定积分 （分数：10.00）_正确答案：(方法一 由分部积分，*方法二 *)解析：20.设线性非齐次方程组 AX= 1， 2， 3， 4X= 5有通解k-1，2，0，3 T+2，-3，1，5 T()求方程组 2 3， 4X= 5的通解；()求方程组 1， 2， 3， 4， 4+ 5X= 5的通解（分数：11.00）_正确答案：(由题设，非齐次线性方程组( 1， 2， 3， 4)X= 5有通解 k-1，2，0，3 T+2，-3，1，5 T，知r( 1， 2， 3， 4)=r( 1， 2， 3， 4，
16、5)=3且由对应齐次方程组通解知，- 1+2 2+3 4=0，即 1=2 2+3 4，故 2， 3，sub41 线性无关(若线性相关，则 r( 1， 2， 3， 4)3，这和题设矛盾) 2， 3， 4是 1， 2， 3， 4及 1， 2， 3， 4， 5的极大线性无关组， 1， 5均可由 2， 3， 4，线性表出从而知r( 2， 3， 4)=r( 1， 3， 4， 5)=3，方程组( 2， 3， 4)X= 5 (1)有唯一解由题设条件， 5可由 1， 2， 3， 4线性表出，且表出法不唯一，k 可任取，取 k=2，使 5由 1， 2， 3， 4表出时，不出现 1，则得 5= 2+ 3+11 4
17、故方程组(1)的通解(唯一解)为 X=(1，1，11) T()线性非齐次方程组 ( 1， 2， 3， 4， 4+ 5)X= 5 (2)显然有 r( 1， 2， 3， 4， 4+ 5)=r( 1， 2， 3， 4， 4+ 5， 5)=3，故方程组(2)的通解的结构为 k1 1+k2 2+*)解析：21.设 A，B，C 是 n 阶方阵，满足 r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(A T-2E)=O证明：A，并求 及|A|（分数：11.00）_正确答案：(由题设条件知，r(C)+r(B)=n 已知(A+E)C=O，B(A T-2E)=O，若 r(C)=n，则 r(B)=0，由(A+E)C=O
18、，两边右乘 C-1得 A+E=0，即 A=-E 故 A=-E若 r(B)n，则 r(C)=0，由 B(AT-2E)=O，两边左乘 B-1，得 AT-2E=O，即 AT=2E 故 A=(2E)T=2E=2E若 r(C)=r，rn，r0，则 r(B)=n-r由(A+E)C=O，将 C 以列分块，方程组(A+E)X=0 至少有 r 个线性无关解向量即 A 有特征值 =-1，且至少是 r 重根由 B(AT-2E)=O，两边转置得(A-(2E)T)BT=(A-2E)BT，因 r(BT)=r(B)=n-r，故将 BT以列分块，知方程组(A-2E)X=0 至少有 n-r 个线性无关解即 A 有特征值=2，且
19、至少有 n-r 重根因 r(B)+r(C)=n故 =-1 是 r 重根，=2 是 n-r 重根，且 A 有 n 个线性无关特征向量，故 A，其中*且|A|=|=(-1) r2n-r)解析：22.设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)， 1， 20，且 X 与 Y 相互独立()求一年内共发生 n(n0)次地震的概率；()求在一年内发生了 n 次地震的条件下，有感次数 X 的条件概率分布（分数：15.00）_解析：XP( 1)，YP( 2)，要求 PX+Y=n23.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立且均服从标准正态分布，记 X=X1-X2，Y=X 2-X3，试求：()(X，Y)的概率密度 f(x，y)，及它的两个边缘密度函数 fX(x)，f Y(y)；()X 和 Y 的相关系数 （分数：11.00）_正确答案：(由于 X1，X 2，X 3相互独立且均服从标准正态分布，所以X=X1-X2N(0，2)，Y=X 2-X3N(0，2)*()*)解析：显然(X，Y)也是二维正态，可以先求出 fx(x)和 fy(y)，再求 ，就不难写出(X，Y)的密度f(x，y)
