1、考研数学三-192 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域(-，)(0)有定义，下述 4 个命题：(i)如果 f(x)在 x=0 可导，则 f(x)在(-，)内也可导(ii)如果 f(0-)=f(0+)=a，则 f(x)在 x=0 可导且 f(0)=a(iii)如果 f(x)在(-，0)单调增加，在(0，)单调减少，则 f(0)是 f(x)的极大值(iv)如果 f(x)在(-，0)与(0，)符号相异，则 f(0)为极值其中正确的个数为U /U A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于或等于 3（
2、分数：4.00）A.B.C.D.2.积分 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.没函数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则下列结论不正确的是U /U A. A 的 m 个行向量线性无关 B. A 存在 m 个线性无关的列向量 C. |AAT|0 D. |ATA|0（分数：4.00）A.B.C.D.6.若 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为 B，则必有U /U A. |A|=|B| B. r()=r() C. 存在可逆矩阵 Q，使 B=AQ D. 方程组 Ax=0 与 BX=0 同解（分数：4.00）
3、A.B.C.D.7.设随机变量 XB(1，P)(0P1)，Y 服从参数为 A(0)的指数分布，X 与 Y 相互独立，则随机变量Z=XYU /U A. 有概率密度 fZ(z)，且 fZ(z)是连续函数 B. 有概率密度 fZ(z)，且 fZ(z)不是连续函数 C. 没有概率密度 fZ(z)，但分布函数 fZ(z)是连续函数 D. 没有概率密度 fZ(z)，且分布函数 fZ(z)有间断点（分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)( 2已知)，X 1，X 2，X 3是取自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值S 2是样本方差，则U /U（分数：4.00）A.B.C
4、.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 连续，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 yy“(y) 2=y4满足 y(0)=1，y(0)=1 的特解是_。（分数：4.00）填空项 1:_12.设平面区域 D(t)=(x，y)|1xy 2，1yt，二重积分 则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 3 阶矩阵 A 的逆矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知随机变量 而随机变量 Y 满足 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：5，分数：94.00)1. 设 f(x)在0，2
5、上有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=2，f(2)=3，又|f“(x)|4(x0，2)，试证：f(2)1。 将 f(x)在 x=0，x=2 处泰勒公式写出有*取 x=1，有*二式相减，注意 f(0)=0，得*解析 用泰勒公式证不等式（分数：20.00）(1).设 f(x)在0，2上有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=2，f(2)=3，又|f“(x)|4(x0，2)，试证：f(2)1。（分数：10.00）_(2).求级数 （分数：10.00）_设函数 f(x)在区间(a，+)(a0 为常数)可导，且 （分数：30.00）(1). （分数：7.50）_(2). （分数：7.50）_
6、(3).求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0 确定的隐函数 z=z(z，y)的极值点与极值（分数：7.50）_(4).某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品产量分别为 x 和 y(单位：吨)时，总收益函数为 R(x，y)=42x+27y-4x2-2xy-y2；总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)，除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元，并限制排污费用总支出为 8 万元，问甲、乙两种产品的产量各为多少时，总利润最大?最大总利润是多少?（分数：7.50）_设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，且满足
7、A 1= 1+ 2+ 3，A 2=2 2+ 3，A 3=2 2+3 3。（分数：21.99）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：7.33）_(2).求可逆矩阵 P，使 A 与对角矩阵 A 相似。（分数：7.33）_(3).已知齐次线性方程组 () 和() （分数：7.33）_设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|1x+y2；0y1上服从均匀分布，求（分数：11.01）(1).(X，Y)的边缘密度 fX(x)和 fY(y)；（分数：3.67）_(2).Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)；（分数：3.67）_(3).数学期望 E(Z)，方差 D(Z)。（分数：3.67）_设总体 X 的
8、概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量(X 1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本)；（分数：5.50）_(2).求 的极大似然估计量(x 1，x 2，x n是一组确定的样本值)。（分数：5.50）_考研数学三-192 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域(-，)(0)有定义，下述 4 个命题：(i)如果 f(x)在 x=0 可导，则 f(x)在(-，)内也可导(ii)如果 f(0-)=f(0+)=a，则 f(x)在 x=0 可导且 f(0)=a(iii)如果 f(x)
9、在(-，0)单调增加，在(0，)单调减少，则 f(0)是 f(x)的极大值(iv)如果 f(x)在(-，0)与(0，)符号相异，则 f(0)为极值其中正确的个数为U /U A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于或等于 3（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 函数在一点可导，以及导函数单侧极限，函数取极值的概念答案解析 (A)不正确，取 f(x)=x2D(x)，其中 D(x)=*0(x0(x0)，|D(x)|1)，即 f(x)在 x=0 可导，但对任何 x0:0|x 0|，f(x)在 x=x0都不可导，这是因为依有理数与无理数的稠密性，对任意充分大的 nN，存在有理数*(B)不正确，
10、取*(C)不正确，取*虽然 f(x)在(-，0)单调增加，在(0，)单调减少但*非极大值。(D)不正确，取*则*即 f(x)在 x=0 两侧异号，但 x=0 非极值点。2.积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 含参数连续周期函数的定积分 答案解析 f(x)=cosxln(2+cosx)是以 2 为周期的连续偶函数，依其积分性质知，对任意实数 a， * 应选(B)。3.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 确定极限式中的参数 答案解析 * * 应选(C)。4.没函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 判断函数的不可导点答案解析 *即 f_(1)=f(1
11、-0)=03=f(1+0)=f +(1)，f_(-1)=f(-1-0)=-30=f(-1+0)=f +(-1)。因此 y=f(x)在 x=1 处有两个不可导点，应选(C)。*5.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则下列结论不正确的是U /U A. A 的 m 个行向量线性无关 B. A 存在 m 个线性无关的列向量 C. |AAT|0 D. |ATA|0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 矩阵的秩答案解析 (A)正确，A 的行向量组的秩=r(A)=m，故 A 的 m 个行向量线性无关。(B)正确，A 的列向量组的秩=r(A)=m，故 A 的列向量组的极大线性无关组由 m
12、个向量组成。(C)正确，因为方程组 AX=0 与 ATAX=0 同解(显然 AX=0 的解都是 ATAX=0 的解，又当 为 ATAX=0 的解时，则有 ATA=0，左乘 T，得(A) T(A)=A 2=0，即 A=0 故 ATAX=0 的解也都是 AX=0 的解)，故 r(A)=r(ATA)，同时，r(A)=r(A T)=r(AT)TAT=r(AAT)，故 r(AAT)=r(ATA)=r(A)=m，而 ATA 是 n 阶矩阵，AA T是 m阶矩阵，从而|AA T|0 即(C)正确，(D)不正确，应选(D)。6.若 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为 B，则必有U /U A. |A|=|B
13、| B. r()=r() C. 存在可逆矩阵 Q，使 B=AQ D. 方程组 Ax=0 与 BX=0 同解（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 矩阵的初等变换 答案解析 注意矩阵 A 经一系列行(列)的初等变换化为 B，则相当于存在可逆矩阵 P(可逆矩阵 Q)，使 A 左乘 P(右乘 Q)得 B，即 PA=B(或 AQ=B)，如果只强调 A 经过若干次初等变换(并未指出行的或列的)变为 B，则应存在可逆矩阵 P，Q，使 PAQ=B，因此选项(B)正确，此时 r(B)=r(PAQ)=r(A)，选项(C)不正确，而且由|P|A|Q|=|B|，故选项(A)不正确。 如果 A 经过行的初等变
14、换化为 B，则 AX=0 与 BX=0 同解，今仅知经过初等变换，因此(D)也不正确，应选(B)。7.设随机变量 XB(1，P)(0P1)，Y 服从参数为 A(0)的指数分布，X 与 Y 相互独立，则随机变量Z=XYU /U A. 有概率密度 fZ(z)，且 fZ(z)是连续函数 B. 有概率密度 fZ(z)，且 fZ(z)不是连续函数 C. 没有概率密度 fZ(z)，但分布函数 fZ(z)是连续函数 D. 没有概率密度 fZ(z)，且分布函数 fZ(z)有间断点（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 随机变量的概率密度与分布函数答案解析 因为X=0*Z(=XY)=0，注意到(0p1)
15、因此 Z=XY 的分布函数 FZ(z)在 z=0 处有FZ(0)-FZ(0-)=P(z=0)P(X=0)=1-p0 X 0 1p 1-p p即 FZ(z)在 z=0 处间断，从而 Z=XY 不是连续型随机变量，没有概率密度函数(否则 Z 的分布函数必是连续函数)，应选(D)。8.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)( 2已知)，X 1，X 2，X 3是取自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值S 2是样本方差，则U /U（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 来自正态总体的抽样分布答案解析 依题设有*(A)不正确，*(B)不正确，虽然*但 Xi与 S2不独立 2分布的相加性不成立。
16、(C)不正确，虽然*中，只有*(D)不正确，*应选(D)。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 连续，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln3）解析：解析 函数极限与连续性 答案解析 * * 由函数 f(x)在*连续得 *10.不定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 计算含无理式的不定积分 答案解析 *11.微分方程 yy“(y) 2=y4满足 y(0)=1，y(0)=1 的特解是_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 求可降阶二阶微分方程的特解答案解析 方程不显含 x，含 y=p，则*原方程
17、化为：*当 y0 时，*这是关于 p2的一阶线性方程，*代入 y=1 时 y(=p)=1，得 c1=0，即 p2=y4，故 y2=p(因*12.设平面区域 D(t)=(x，y)|1xy 2，1yt，二重积分 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 求关于参数 t(区域含参数 t)的二重积分，求二阶导数 答案解析 * * * *13.设 3 阶矩阵 A 的逆矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 已知矩阵 A 的逆矩阵，求 A 的伴随矩阵的逆矩阵答案解析 由于 A*A=|A|E，所以当|A|0 时，*14.已知随机变量 而随机变量 Y 满足
18、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 求向量组线性相关的概率答案解析 ( 1- 2， 2-2 3，X 3+Y 1)=( 1， 2， 3)*，因此向量组 1- 2， 2-2 3，X 3+Y 1线性相关充分必要条件为*=X+2Y=0，因此由于*所求概率为*三、B解答题/B(总题数：5，分数：94.00)1. 设 f(x)在0，2上有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=2，f(2)=3，又|f“(x)|4(x0，2)，试证：f(2)1。 将 f(x)在 x=0，x=2 处泰勒公式写出有*取 x=1，有*二式相减，注意 f(0)=0，得*解析 用泰勒公式证不等式（分数：2
19、0.00）(1).设 f(x)在0，2上有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=2，f(2)=3，又|f“(x)|4(x0，2)，试证：f(2)1。（分数：10.00）_正确答案：(将 f(x)在 x=0，x=2 处泰勒公式写出有 * 取 x=1，有 * 二式相减，注意 f(0)=0，得 *)解析：解析 用泰勒公式证不等式(2).求级数 （分数：10.00）_正确答案：(*即二幂级数有相同收敛域，令 t=x2，考察*的收敛域。*由|t|+，得|x 2|+，即|x|+，从而原幂级数收敛半径 r=+，收敛域为(-，+)。*注意到 S(0)=0，于是*代入 S(0)=0，得 c=0，从而幂级数的
20、和函数为：*)解析：解析 求缺项幂级数收敛域与和函数设函数 f(x)在区间(a，+)(a0 为常数)可导，且 （分数：30.00）(1). （分数：7.50）_正确答案：(记 g(x)=e2xf(x)(x(a，+)，则*由极限性质，存在 x00，当 xx 0时，g(x)1在x 0，x*(a，+)上，对 g(x)用拉格朗日中值定理，存在 (x 0，x)，使 g(x)-g(x0)=g()(x-x 0)(x-x 0)即 g(x)g(x 0)+x-x0*)解析：(2). （分数：7.50）_正确答案：(因为* * 于是*)解析：解析 函数与导函数在 x+时极限性质(3).求由方程 2x2+2y2+z2
21、+8xz-z+8=0 确定的隐函数 z=z(z，y)的极值点与极值（分数：7.50）_正确答案：(在所给方程两边取全微分，得 4xdx+4ydy+2zdz+8xdz+8zdx-dz=0*8=0，得 7z2+z-8=(z-1)(7z+8)=0，故 z1=1，*从而得驻点为(-2，0)，*而*因此(-2，0)是 z=z(x，y)的极小点，极小值为 z(-2，0)=1；*，是 z=z(x，y)的极大点，极大值为*)解析：解析 求二元隐函数的极值点与极值(4).某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品产量分别为 x 和 y(单位：吨)时，总收益函数为 R(x，y)=42x+27y-4x2-2xy-y2；
22、总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)，除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元，并限制排污费用总支出为 8 万元，问甲、乙两种产品的产量各为多少时，总利润最大?最大总利润是多少?（分数：7.50）_正确答案：(总利润函数为L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)-2x-y=42x+27y-4x2-2xy-y2-36-8x-12y-2x-y=32x+14y-4x2-2xy-y2-36问题为求 L(x，y)在限制条件 2x+y=8 下的最值点与最值令 F(x，y，)=L(x，y)+(2x+y-8)=32x+14y-4x2-2xy-y2-36+(
23、2x+y-8)*从(1)，(2)消参数 与(3)联立，得唯一驻点(2.5，3)。实际问题必有最大利润，此点即为最大点，在限制排污费总支出为 8 万元的条件下，生产甲种产品 x=2.5吨，乙种产品 y=3 吨时总利润取最大值，最大利润为 Lmax=L(2.5，3)=37(万元)。)解析：解析 条件极值在经济问题中的应用设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，且满足A 1= 1+ 2+ 3，A 2=2 2+ 3，A 3=2 2+3 3。（分数：21.99）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：7.33）_正确答案：(依题设条件有A( 1， 2， 3)=( 1+ 2+ 3
24、，2 2+ 3，2 2+3 3)*记 P1=( 1， 2， 3)，*则上式可写为 AP1=P1B，由于 1， 2， 3线性无关，故矩阵 P1可逆，两端左乘*得*即矩阵 A 与矩阵 B 相似，而*因此 B 的特征值是 1，1，4，因为 AB，故 A 也有相同的特征值 1，1，4。)解析：(2).求可逆矩阵 P，使 A 与对角矩阵 A 相似。（分数：7.33）_正确答案：(对矩阵 B，由(E-B)X=0，得到属于 1= 2=1 的特征向量为 1=(-1，1，0) T， 2=(-2，0，1)T，由(4E-B)X=0，得到属于 3=4 的特征向量 3=(0，1，1) T令 P2=( 1， 2， 3)=
25、*)解析：解析 求抽象 3 阶矩阵的特征值并使之与对角矩阵相似(3).已知齐次线性方程组 () 和() （分数：7.33）_正确答案：(由于方程组()中“方程个数(为 2)未知数个数(为 3)”，所以()必有非零解，而()与()同解，即()也有非零解，从而()的系数行列式为 0，有*对()的系数矩阵作初等行变换，有*得()的通解为 X=k(1，1，-1) T由于 X=(1，1，-1) T也是()的解，故有*由于 r()=12=r()，所以()，()不同解，舍之从而 =2，=1，=2 时，方程组()与()同解。)解析：解析 两个齐次线性方程组同解，求其中参数设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(
26、x，y)|1x+y2；0y1上服从均匀分布，求（分数：11.01）(1).(X，Y)的边缘密度 fX(x)和 fY(y)；（分数：3.67）_正确答案：(* * * *)解析：(2).Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)；（分数：3.67）_正确答案：(对任意实数 z，FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)*)解析：(3).数学期望 E(Z)，方差 D(Z)。（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：解析 二维随机变量的边缘密度，函数分布，数学期望设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量(X 1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本)；（分数：5.50）_正确答案：(* 令*得 的矩估计量为：*)解析：(2).求 的极大似然估计量(x 1，x 2，x n是一组确定的样本值)。（分数：5.50）_正确答案：(样本的似然函数为*当 min(x1，x 2，x n)0 时，取对数：*从而 的极大似然估计量为*)解析：解析 求参数的矩估计量与极大似然估计量
