1、考研数学三-215 及答案解析(总分：94.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，6，4) T若 不能由 1， 2， 3线性表出，则 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3.无穷级数 （分数：4.00）4. （分数：1.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：17.00)7. （分数：1.00）A
2、.B.C.D.8.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x) 2 =sinx，且 f(0)=0则 U /U A.f(0)是 f(x)的极小值 B.f(0)是 f(x)的极大值 C.在点(0，f(0)左侧邻域，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域，曲线 y=(x)是凸的 D.在点(0，f(0)左侧邻域，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域，曲线 y=f(x)是凹的（分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：1.00）A.B.C.D.10. （分数：1.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C.D.12. （分数：1.00）A.B.C.D.13. （分数：4.00）A.B.C.D.
3、14. （分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：59.00)15.设函数 F(u，v)具有二阶连续偏导数，且 Fv(u，v)0，求由方程 F(xy，x+y+z)=0 确定的隐函数z=z(x，y)的偏导数 （分数：10.00）_16. （分数：11.00）_17. （分数：11.00）_18. （分数：1.00）_19.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明： () 存在 (0，1)，使得 f()=1-； () 存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：11.00）_20.设二次型xTAx=ax2
4、1+2x22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3矩阵 A 满足 AB=0，其中（分数：12.00）_21. （分数：1.00）_22. （分数：1.00）_23. （分数：1.00）_考研数学三-215 答案解析(总分：94.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，6，4) T若 不能由 1， 2， 3线性表出，则 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：b2）解析：解析 设 x1 1+x2 2+x3 3
5、=，对增广矩阵( 1 2 3|)作初等行变换，有*当且仅当 b2 时，方程组 x1 1+x2 2+x3 3= 无解所以 b2 时 不能由 1， 2， 3线性表出注意：a=1 或 a1 只是影响到方程组有解或惟一解，而 b=2 或 b2 涉及的是方程组是否有解!2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3.无穷级数 （分数：4.00）解析：*4. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*6. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：17.0
6、0)7. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*8.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x) 2 =sinx，且 f(0)=0则 U /U A.f(0)是 f(x)的极小值 B.f(0)是 f(x)的极大值 C.在点(0，f(0)左侧邻域，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域，曲线 y=(x)是凸的 D.在点(0，f(0)左侧邻域，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域，曲线 y=f(x)是凹的（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由 f“(x)+x(f(x)2 =sinx 有 f“(x)=0再求f“(x)+(f(x)2 +2xf(x)f“(x)=cosxf“(0)=1，所以*9. （分数
7、：1.00）A.B.C. D.解析：*10. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*11. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*12. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*13. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*14. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：59.00)15.设函数 F(u，v)具有二阶连续偏导数，且 Fv(u，v)0，求由方程 F(xy，x+y+z)=0 确定的隐函数z=z(x，y)的偏导数 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 利用一阶全微分形式不变性将方程 F(xy，x+y+z)=0 两端
8、求全微分得0=F1(xy，x+y+z)d(xy)+F 2(xy，x+y+z)d(x+y+z)=F1(xy，x+y+z)(ydx+xdy)+F 2(xy，x+y+z)(dx+dy+dz)=(yF1+F2)dx+(xF1+F2)dy+F2dz，于是*从而*其中 F1与 F2的第一个变元是 xy，第二个变元是 x+y+z，继续求二阶混合偏导数*有*把*代入即得*注意在上面的计算中利用了 F 具有二阶连续偏导数，从而 F“12(u，v)=F“ 21(u，v)解析：16. （分数：11.00）_正确答案：(*)解析：17. （分数：11.00）_正确答案：(* * *)解析：18. （分数：1.00）_
9、正确答案：(*)解析：19.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明： () 存在 (0，1)，使得 f()=1-； () 存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：11.00）_正确答案：() 即证*在(0，1)存在零点由于 F(x)在0，1连续，且 F(0)=-1，F(1)=1 即F(0)F(1)0，由连续函数的零点存在性定理知，*，使得 F()=0，即 f()=1- () 利用题()的结果，在0，上用拉格朗日中值定理知，*，使得在，1上，用拉格朗日中值定理知，*，使得 * 两式相乘得 f()f()=1)解析：解析 微分中
10、值定理20.设二次型xTAx=ax21+2x22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3矩阵 A 满足 AB=0，其中（分数：12.00）_正确答案：(AB=0 知 0 是矩阵 A 的特征值且矩阵 B 的列向量(1，0，1) T是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量故有*于是*由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值为：6，0，-6由(6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量为(1，2，-1) T由(-6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值一 6 的特征向量为(-1，1，1) T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有*那么令*则有 xTAx=yTAy=6y21-6y23()不合同，因为 xTAx6y 21-6y23，x TBx=(x1+x3)2=y21，它们的正负惯性指数不一样，所以不合同)解析：21. （分数：1.00）_正确答案：(* * *)解析：22. （分数：1.00）_正确答案：(* * *)解析：23. （分数：1.00）_正确答案：(* * * *)解析：
