1、考研数学三-218 及答案解析(总分：108.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1.设 f(x)=ex，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：1.00）填空项 1:_6. （分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：26.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：1.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x)=|x(1-x)|，则 A. x=0
2、 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点 B. x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 C. x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D. x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：64.00)15. （分数：10.00）_16.设 f(x)在0
3、，a上有一阶连续导数，证明：至少存在一点 0，a，使得 （分数：9.00）_17.求幂级数 的收敛半径、收敛域及和函数，并求 （分数：11.00）_18.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_19. （分数：1.00）_20. （分数：1.00）_21.求幂级数 （分数：10.00）_22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，均服从参数为 1 的指数分布记 Z1=min(X，Y)和 Z2=max(X，Y)试求()Z 1和 Z2的密度函数 f1(z)和 f2(z)；()求 EZ1和 EZ2（分数：10.00）_23. （分数：1.00）_考研数学三-218 答案解析(总分：108
4、.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1.设 f(x)=ex，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 用 f(x)=ex代入可得*从而 ex-1=xeux，解出有*于是*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*5. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*6. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：2
5、6.00)7. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*8. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*9. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*10.设 f(x)=|x(1-x)|，则 A. x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点 B. x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 C. x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D. x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 这是极值点与拐点的判别问题 分析一 y=
6、|x(1-x)|的图形易画出，从几何直观就可选择正确答案 * 易知，y=x(1-x)的图形，它是凸的y=|x(1-x)|的图形0，1部分不变，其余部分关于 x 轴对称，凹凸性相反，由图中看出应选(C) 分析二 用极值点与拐点的判别法先写出分段函数表达式(只需写出 x=0 附近) * * f(x)在*连续，再求 * 于是 x=0 是 f(x)的极小值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点，故应选(C)11. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*12. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*13. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：14. （分数：4.00）A.B.C. D
7、.解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：64.00)15. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明：至少存在一点 0，a，使得 （分数：9.00）_正确答案：(证明一 利用 f(x)=f(0)+f( 1)(x-0)=f(0)+f( 1)x 可得*因 f(x)在0，a上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理知，存在 m 和 M，使，mf(x)M，于是在0，a上有 mxxf( 1)Mx，故*即*由连续函数的介值定理知，至少存在一点 0，a，使得*即*于是*证明二 *因为 f(x)连续，x-a0(x0，a)，故由积分中值定理知，至少存在
8、一点 0，a，使得*于是 *证明三 令*则 F(x)可用麦克劳林公式表示为*即*)解析：解析 所给问题为 f(x)的定积分与 f()之间的关系，可以考虑成原函数*与 F“()之间的关系，从而可利用二阶泰勒公式证明。 如果认定为考察 f(x)与 f()之间关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明。 也可以用积分中值定理*来证明此题。17.求幂级数 的收敛半径、收敛域及和函数，并求 （分数：11.00）_正确答案：(由*得收敛半径为 R=1 当|x|1 时，幂级数绝对收敛；当|x|1 时，幂级数发散，当 x=1 时，因为*为收敛的交错级数，故幂级数*的收敛域为-1，1 * 因为 S1
9、(0)=0，所以 S1(z)=S1(x)S 1(0)=*(x)dx=arctanz，故 S(x)=xarctanx(-1)x1) *)解析：18.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(* *)解析：解析 常数 A 可以通过性质*来求得 但考虑到* 必须求*也可以定出 A 来19. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：20. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：21.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(因在幂级数中所有奇次幂项系数为零，可直接求级数中后项与前项绝对值之比的极限，并利用比值判别法得出收敛半径，设 x0，则*从而，当|x|1 时幂级数
10、绝对收敛，当|x|1 时幂级数发散，其收敛半径 R=1，当 x=1 时幂级数成为交错级数*单调减少，且*，按莱布尼兹判别法知级数条件收敛，故幂级数*的收敛域 D=-1，1。设*注意*于是，分解原幂级数，可得*因*故*又因 S2(0)=0，而当 xO 时*从而*注意原幂级数当 x=1 时收敛，而上面得到的和函数表达式在 x=1 处也连续，因而和函数公式在点x=1 处也成立，即*)解析：22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，均服从参数为 1 的指数分布记 Z1=min(X，Y)和 Z2=max(X，Y)试求()Z 1和 Z2的密度函数 f1(z)和 f2(z)；()求 EZ1和 EZ2（分数：1
11、0.00）_正确答案：(X，Y 独立，E(1)，其密度*指数分布有：*记 Z1的分布 F1(z)，z0，F 1(z)=PZ1z=Pmin(X，Y)z=0z0 时，F 1(z)=PZ1z=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z=1-PXz，Yz)=1-PXzPYz=1-e-ze-z=1-e-2x所以*现来求 Z2的分布 F2(z)F2(z)=PZ2z=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz=PXz)PYz=F X(z)FY(z)=F2(z)*()因 Z1E(2) 故*评注()中直接运用公式*记住这公式会很有用EZ2的计算也可以方便用公式*因为 Z1+Z2=min(X，Y)+max(X，Y)=X+Y)解析：23. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：
