1、考研数学三-233 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.若函数 f(x)的一个原函数为 arctanx，则 等于_Aarctan(1-x 2)+C BCxarctan(1-x 2)+C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在闭区间0，1上二次可微，且 f(0)=0，f(x)0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.二重积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，则当 mn 时，方阵 AB 的秩_ A.大于 m B.
2、等于 m C.小于 m D.不小于 m（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶矩阵，秩(A)=n-3，且 1， 2， 3是 Ax=0 的三个线性无关的解向量，则下列各组中为Ax=0 的基础解系的是_ A. 1- 2， 2- 3， 3- 1 B. 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3 C. 1+2 2，2 2+3 3，3 3+ 1 D. 1- 2，3 2+ 3，- 1-2 2- 3（分数：4.00）A.B.C.D.7.设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)是一个偶函数，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 xR，有 F(-x)+F(x)等于_ A.0 B.1 C.
3、2 D.-1（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 和 Y 相互独立且在(0，a)上服从均匀分布，则 Emin(X，Y)等于_ A Ba C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9._ （分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，其中 f(t)连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. 1 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A，B 为三阶矩阵， （分数：4.00）填空项 1:_14.已知二次型 （分数：4.00）填空项 1:_
4、三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设 ba0，证明： （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在0，1上连续，并设 ，试求 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在x 1，x 2上可微，且 0x 1x 2，证明：（分数：10.00）_18.设某产品在生产过程中次品率 y 依赖于日产量 x，已知 y= 其中 x 为正整数，又每生产一个合格品可获利 a 元，生产一个次品损失 （分数：10.00）_19.求级数 （分数：10.00）_20.假设 1=(1+，1，1) T， 2=(1，1+，1) T， 3=(1，1，1+) T，=(0， 2)T，问 如何取值，(1)可使
5、由 1， 2， 3线性表示，且表示式唯一？(2)可使 由 1， 2， 3不唯一线性表示？(3)p 不能被 1， 2， 3线性表示？（分数：11.00）_21.设 ， 为三维单位列向量，并且 T=0，若设 A= T+ T，则必有非零列向量 x，使得 Ax=0，并且 A 与 （分数：11.00）_22.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，且同分布，PX i=0)=0.6，PX i=1=0.4(i=1，2，3，4)，求行列式 （分数：11.00）_23.已知二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求：(1)随机变量 X 的边缘密度函数 fX(x)；(2)条件密度函数 fY|X(y|x)
6、；(3) （分数：11.00）_考研数学三-233 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 * * *故选 A.2.若函数 f(x)的一个原函数为 arctanx，则 等于_Aarctan(1-x 2)+C BCxarctan(1-x 2)+C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 * *. 故选 B3.设 f(x)在闭区间0，1上二次可微，且 f(0)=0，f(x)0，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 令*，则* 从而 F(x)0(0x1，即
7、 F(x)是单调增加的，故选 A.4.二重积分 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分区域 D 关于 x 轴对称(或关于 y 轴对称)，因此当被积函数关于 y(或关于 x)为奇函数时，积分值为零故选 D.5.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，则当 mn 时，方阵 AB 的秩_ A.大于 m B.等于 m C.小于 m D.不小于 m（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于秩(AB)min秩(A)，秩(B)，又秩(A)minm，nm，故秩(AB)秩(A)m故选C6.设 A 为 n 阶矩阵，秩(A)=n-3，且 1， 2， 3是 Ax=0 的三个线性无关的解向量
8、，则下列各组中为Ax=0 的基础解系的是_ A. 1- 2， 2- 3， 3- 1 B. 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3 C. 1+2 2，2 2+3 3，3 3+ 1 D. 1- 2，3 2+ 3，- 1-2 2- 3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设，每组向量均为 Ax=0 的解向量，只需找出一组线性无关的向量即可对于 A，B，D 三项有1( 1- 2)+1( 2- 3)+1( 3- 1)=0,1( 1+ 2)+1( 2+ 3)+(-1)( 1+2 2+ 3)=0，1( 1- 2)+1(3 2+ 3)+1(- 1-2 2- 3)=0，即 A，B，D 项中三组向
9、量均线性相关，而由定义易证 C 项中向量组线性无关故选 C7.设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)是一个偶函数，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 xR，有 F(-x)+F(x)等于_ A.0 B.1 C.2 D.-1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 * *故选 B8.设随机变量 X 和 Y 相互独立且在(0，a)上服从均匀分布，则 Emin(X，Y)等于_ A Ba C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设* 于是 Z=min(X，Y)的分布函数为 * 因此，Z 的分布密度为* 故*，故选C二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9
10、._ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *是偶函数， 故*10.设 ，其中 f(t)连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 2f(a)）解析：解析 *11. 1 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 利用对称性知*12.设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由已知 x=lnz-lny，两边对 x 求偏导，得*，即*，故*=113.已知 A，B 为三阶矩阵， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 等式(A *)-1B=ABA+
11、2A2两边同时左乘 A*，得B=A*ABA+2A*A2=|A|BA+2A=-3BA-6A，即 BE+3A=-6A，从而*14.已知二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 的概率密度为*二次型对应矩阵为*，由 A 正定的充要条件是其所有顺序主子式全大于零，得 1- 20因此所求概率为*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设 ba0，证明： （分数：10.00）_正确答案：(令 f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)(xa)， 因为* * 所以 f(x)“”，又 f(a)=0，于是 f(x)0(xa)， 因而 f(x)“”，又 f(a)
12、=0，故当 ba0 时，f(b)f(a)=0， 即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)0， 亦即*)解析：16.设函数 f(x)在0，1上连续，并设 ，试求 （分数：10.00）_正确答案：(所求积分中，*无法计算，可考虑更换积分次序，但改变积分次序后，*仍无法计算，再考虑利用定积分对积分变量的无关性，将积分向已知积分*转化 * 于是*， 故*)解析：17.设函数 f(x)在x 1，x 2上可微，且 0x 1x 2，证明：（分数：10.00）_正确答案：(令*，因为 0x 1x 2，所以 (x)，*在x 1，x 2上满足柯西中值定理，于是存在一个 (x 1，x 2)，使得*，即*故*)解
13、析：18.设某产品在生产过程中次品率 y 依赖于日产量 x，已知 y= 其中 x 为正整数，又每生产一个合格品可获利 a 元，生产一个次品损失 （分数：10.00）_正确答案：(设该厂生产的某产品的日产量为 x，由题设所获利润为 *， 将 x 看作连续变量，于是 * 令* 取 x=89，L(89)=79.1a 取 x=90，L(90)=79.09a， 可知，该厂的日产量该定为 89 件)解析：19.求级数 （分数：10.00）_正确答案：(*，又*发散，所以级数*的收敛区间为(-1，1) 当 x(-1，1)时，令*， * 因S(0)=0，故* *)解析：20.假设 1=(1+，1，1) T，
14、2=(1，1+，1) T， 3=(1，1，1+) T，=(0， 2)T，问 如何取值，(1)可使 由 1， 2， 3线性表示，且表示式唯一？(2)可使 由 1， 2， 3不唯一线性表示？(3)p 不能被 1， 2， 3线性表示？（分数：11.00）_正确答案：(设 k1 1+k2 2+k3 3=，则得线性方程组*其系数行列式为*(1)当 0 且 -3 时，|A|0， 可由 1， 2， 3唯一线性表示；(2)当 =0 时，|A|=0，齐次方程有无穷多组解，此时 可由 1， 2， 3线性表示，但表达式不唯一；(3)当 =-3 时，*这时秩*，故方程组无解，即 p 不能由 1， 2， 3线性表示)解
15、析：21.设 ， 为三维单位列向量，并且 T=0，若设 A= T+ T，则必有非零列向量 x，使得 Ax=0，并且 A 与 （分数：11.00）_正确答案：(考虑线性方程组*，其系数矩阵秩为 2，故必有非零解 x，使 Tx=0， Tx=0这样可使Ax=( T+ T)x=0事实上，A=，A=，Ax=0x，故 =1，1，0 是 A 的特征值相应有线性无关的特征向量，x 从而有可逆矩阵 P=，x使 P-1AP=，其中*)解析：22.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，且同分布，PX i=0)=0.6，PX i=1=0.4(i=1，2，3，4)，求行列式 （分数：11.00）_正确答案：
16、(证 Y1=X1X4，Y 2=X2X3，则 X=Y1-Y2，随机变量 Y1和 Y2独立同分布PY1=1=PY2=1=PX2=1，X 3=1=PX2=1PX3=1=0.16，PY1=0=PY2=0=1-0.16=0.84，随机变量 X=Y1-Y2有三个可能值-1，0，1PX=-1=PY1=0，Y 2=1=0.840.16=0.1344，PX=1=PY1=1，Y 2=0=0.160.84=0.1344，PX=0=1-PX=-1-PX=1=1-20.1344=0.7312于是*)解析：23.已知二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求：(1)随机变量 X 的边缘密度函数 fX(x)；(2)条件密度函数 fY|X(y|x)；(3) （分数：11.00）_正确答案：(1)当 0x1 时，* 因此，X 的边缘密度函数为* (2)当 0x2 时，* (3)*)解析：
