1、考研数学三-234 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 n维向量组(i) 1， 2， s和(ii) 1， 2， t的秩都为 r，则下列命题中不正确的是_ A.若 s=t，则向量组(i)与(ii)等价 B.若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价 C.若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向量组(i)与(ii)等价
2、D.若向量组(iii) 1， 2， s， 1， 2， t的秩为 r，则向量组(i)和(ii)等价（分数：4.00）A.B.C.D.6.矩阵 与_相似 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ，则_ A.ab B.ab C.a=b D.无法确定（分数：4.00）A.B.C.D.8.当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则下列结论正确的是_ A.P(C)=P(AB) B.P(C)-P(A)+P(B) C.P(C)P(A)+P(B)-1 D.P(C)P(A)+P(B)-
3、1（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.=_ （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 y=y(x)由方程 xef(y)=eyln29确定，其中 f具有二阶导数且 f1，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 S0， （分数：4.00）填空项 1:_12.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A是 3阶实对称矩阵，且满足 A2+2A=O，若 kA+E是正定矩阵，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立，且都服从参数为 的泊松分布令 Y= （分数：4.00）填空项 1:_三、B
4、解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，求 （分数：10.00）_16.求|z|在约束条件 （分数：10.00）_17.设 xOy平面上有正方形 D(x，y)|0x1，0y1及直线 l:x+y=t(t0)，若 S(t)表示正方形 D位于直线 l左下方部分的面积，试求 （分数：10.00）_18.对于一切实数 t，函数 f(t)为连续的正函数且可导，又 f(-t)=f(t)，设 （分数：10.00）_19.计算二重积分 （分数：10.00）_20.设 1， 2， 3， 4为 4维列向量，满足 2， 3， 4线性无关，且 1+
5、3=2 2令 A=( 1， 2， 3， 4)，= 1+ 2+ 3+ 4求线性方程组 Ax= 的通解（分数：11.00）_21.设 A是一个 n阶方阵，满足 A2=A，r(A)=r，且 A有两个不同的特征值()试证 A可对角化，并求对角阵 （分数：11.00）_22.设随机变量 X与 Y独立同分布，且 X的概率分布为 X1 2P*记 U=maxX，Y，V=minX，Y()求(U，V)的概率分布；()求 U与 V的协方差 Cov(U，V)（分数：11.00）_23.已知 X1，X n为总体 X的一组样本，总体 X的概率密度为（分数：11.00）_考研数学三-234 答案解析(总分：150.00，做
6、题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数的可导性与连续性 解析 先考查在 x=0点 f(x)是否可导；若可导，则进一步考查f(x)的连续性，否则只考查 f(x)的连续性即可 * 所以，* 因此 f(x)在 x=0处可导，且 f(x)在x=0处连续 故应选 D 当 x0 时，*，而不少同学看到含有|x|，就想当然地认为不可导，从而错误地选择 C2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 无穷小阶的比较 解析 利用无穷小阶的定义，应用洛必达法则和等价无穷小替换求极限即得结果 * 所以，当 x0 时，
7、f(x)是 g(x)的同阶但不等价的无穷小 故应选 B3.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二重积分的不等式性质解析 利用被积函数的不等性确定二重积分的不等性解：当被积函数连续时，在同一积分区域上比较积分大小即可只要比较被积函数的大小，由题目知被积函数为*的方幂，因此只需看*是否小于或大于 1，如下图所示当(x，y)D 时，有*，从而有*(等号不恒成立)，所以 I1I 2I 3故应选 A部分同学错误地选择 D，这是由于没有注意到*4.设级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 数项级数敛散性判别 解析 由级数收敛的必要条件推出*，再由正项级数的比较判
8、别法推导*收敛 解：因为级数*收敛，故*，即*，于是有*，又因为级数*收敛，所以*收敛，即*绝对收敛 故应选 A5.已知 n维向量组(i) 1， 2， s和(ii) 1， 2， t的秩都为 r，则下列命题中不正确的是_ A.若 s=t，则向量组(i)与(ii)等价 B.若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价 C.若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向量组(i)与(ii)等价 D.若向量组(iii) 1， 2， s， 1， 2， t的秩为 r，则向量组(i)和(ii)等价（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 向量组的等价 解析 举反例可得 A选项错误；或者逐一
9、判断 B、C、D 选项正确，从而排除 A 解：取向量组(i)：* 则向量组(i)的秩为 2，向量组(ii)的秩也为 2但显然(i)与(ii)不等价 故应选 A6.矩阵 与_相似 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵相似的判别 解析 利用矩阵相似的必要条件排除 A、B、C；或者直接判别题目中矩阵与 D都与同一个对角阵相似 解：令矩阵 A=*，则 A的特征值为 1和 2 而 A选项中矩阵的特征值为-1 和-2，故矩阵 A不与 A选项的矩阵相似 又因为*=2，而 B选项中*=0，C 选项中*=-2，故矩阵 A不与 B、C 选项的矩阵相似 所以，矩阵 A与 D选项的矩阵
10、相似 事实上，*和*均与对角阵*相似再由相似的传递性，*和*相似 故应选 D 本题出错的主要原因是在解题思路上，很多考生不会用相似的必要条件来判别矩阵不相似，从而无法排除 A、B、C 三个选项7.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ，则_ A.ab B.ab C.a=b D.无法确定（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 考查正态分布 解析 利用正态分布标准化 解：因为 X-YN(-1，4)，Y-ZN(-1，9)，则 * 由于分布函数 (x)单调增加，所以 ab 故应选 A8.当事件 A与 B同时发生时，事件
11、C必发生，则下列结论正确的是_ A.P(C)=P(AB) B.P(C)-P(A)+P(B) C.P(C)P(A)+P(B)-1 D.P(C)P(A)+P(B)-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 考查随机事件的关系及概率性质 解析 利用包含关系及广义加法公式得到结论 解：由题意 AB*C及概率广义加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)，得 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-1 故应选 C二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 未定式的极限解析 注意到
12、x0 +时，*，利用等价无穷小代换*，可得结论解：当 x0 +时，*，故有*，所以，*故应填 0本题为“0”型未定式的极限，如果直接转化为“*”型或“*”型未定式，然后应用洛必达法则，极限式将变得更加复杂，无法求得结果10.设函数 y=y(x)由方程 xef(y)=eyln29确定，其中 f具有二阶导数且 f1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 隐函数的高阶导数 解析 先求 y，再求 y“ 解法一：方程两边取自然对数得Inx+f(y)=y+ln(ln29)，上述方程两边对 x求导，得* 解得* 解法二：令 F(x，y)=lnx+f(y)-y-ln(ln29)，则
13、*， 则*求 y“方法同解法一 故应填* 首先，将方程两边取对数是简化运算的关键，若考生没有注意这一点，直接对原方程求 y，则计算会变得复杂11.设 S0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 反常积分的计算解析 建立 In，I n-1的递推公式，即可求得 In解：因为当 S0 时，*，所以*由此得到*而*故应填*12.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 差分方程的通解 解析 先求对应的齐次差分方程的通解再求特解即可 解：齐次差分方程*的特征方程为*，解得*故齐次差分方程的通解为* 设特解为*，代入原方程得*故所求通解为* 故应填*
14、13.设 A是 3阶实对称矩阵，且满足 A2+2A=O，若 kA+E是正定矩阵，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：小于*或*）解析：考点 正定矩阵解析 先求出 A的特征值，进而求出 kA+E的特征值，再确定 k值解：由 A2+2A=O知，A 的特征值是 0或-2，则 A+E的特征值是 1或-2k+1又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于 0，所以，k*故应填小于*或*14.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立，且都服从参数为 的泊松分布令 Y= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 泊松分布解析 利用泊松分布数字特征以及期望、方差的性质计算解：因
15、为 E(Xi)=，(i=1，2，3)，则*故 E(Y2)=E(Y)2+D(Y)=*故应填*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，求 （分数：10.00）_正确答案：(解：因为*则当 x0 时，f(x)x，从而 f(x2)x 2所以*)解析：考点 未定式的极限；导数定义；变限积分的导数解析 先利用导数定义找出等价无穷小量，再利用洛必达法则和等价无穷小替换求极限若没考虑到当 x0 时，f(x)x，f(x 2)x 2，在第一次用完洛必达法则后没有用到 f(x)x，f(x 2)x 2这两个等价无穷小替换，而继续用洛必达法则，
16、则问题将变得很烦琐，导致不能求出正确结果。16.求|z|在约束条件 （分数：10.00）_正确答案：(解：由|z|的最值点与 z2的最值点一致，下面构造拉格朗日函数设 F(x，y，z，)=z 2+(x 2+9y2-2z2)+(x+3y+3z-5)，令*解得两组解：*比较|z|在两点的值大小：当 x=1，y=*时，|z|=1 为最小值；当 x=-5，y=*时，|z|=5 为最大值)解析：考点 多元函数约束条件下的极值(最值)解析 拉格朗日乘数法：构造拉格朗日函数，解方程可得若没有考虑将|z|转化为 z2的条件极值，作 F(x，y，z，)=|z|+(x 2+9y2-2z2)+(x+3y+3z-5)
17、，则求*就复杂了，计算过程较上面解法要烦琐17.设 xOy平面上有正方形 D(x，y)|0x1，0y1及直线 l:x+y=t(t0)，若 S(t)表示正方形 D位于直线 l左下方部分的面积，试求 （分数：10.00）_正确答案：(解：当 0t1 时，*； 当 1t2 时，*； 当 t2 时，S(t)=1 即* 所以，当0x1 时，*； 当 1x2 时，* 当 x2 时，* 因此，*)解析：考点 分段函数的定积分与平面图形的面积 解析 先求平面图形的面积(画出积分面积的图形，如图下所示)，再求定积分 * 本题中应根据 t的不同取值情况，求出 S(t)的表达式如果忽略这一点，就会出错18.对于一切
18、实数 t，函数 f(t)为连续的正函数且可导，又 f(-t)=f(t)，设 （分数：10.00）_正确答案：(证：()因为*且 f(t)连续，故上式右边可导，于是*g“(x)=2f(x)，因为 f(x)0，知 g“(x)0，由此可得出 g(x)为单调增函数解：()令 g(x)=0，即*令 t=-，dt=-d，并注意到 f(-t)=f(t)，则*因此*即*又因为 f(t)0，故 x=0由()可知 g“(0)=2f(0)0，则 g(x)在 x=0点取得最小值，最小值为*()由 2*tf(t)dt=f(a)-a2-1，将上式两边对 a求导，则有 2af(a)=f(a)-2a，即*，则有*两边积分得
19、lnf(x)+1=x2+c，由 2*tf(t)dt=f(a)-a2-1，知 f(0)=1，则 c=ln2，于是得 f(x)+1=2ex2，即 f(x)-2ex2-1)解析：考点 函数的单调性、最值，一阶微分方程 解析 先利用定积分的性质化简，再判断单调、求最值，解微分方程即可 本题中 g(x)=*|x-t|f(t)dt，若不先用定积分性质化简而直接求导，容易出错不少同学易犯此类错误，更应注意19.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(解：设 D1=(x，y)|x 2+y24，yx，x0，D2=(x，y)|x 2+y24，yx，x0，y2，由于积分区域 D关于 y轴对称，被积函数|x
20、2+y2-4|关于 x是偶函数，由对称性知*所以 I=2(I1+I2)=*)解析：考点 二重积分 解析 首先画出 D的示意图(如下图所示)，利用对称性与积分区域可加性简化运算，选择坐标系，进而化为二次积分计算 * 部分同学没有想到利用对称性简化运算，而被积函数含有绝对值，为了去掉绝对值符号，将积分区域 D划分为四个小区域，这样需要计算的二重积分个数增多，计算量大，极易出错20.设 1， 2， 3， 4为 4维列向量，满足 2， 3， 4线性无关，且 1+ 3=2 2令 A=( 1， 2， 3， 4)，= 1+ 2+ 3+ 4求线性方程组 Ax= 的通解（分数：11.00）_正确答案：(解：先求
21、 Ax=0的基础解系由于 2， 3， 4线性无关，且 1=2 2- 3，得 r(A)=3又因为 1-2 2+ 3+0 4=0，故 Ax=0基础解系为(1，-2，1，0) T再求 Ax= 的一个特解由于 = 1+ 2+ 3+ 4，故(1，1，1，1) T为一个特解所以，Ax= 的通解为：(1，1，1，1) T+k(1，-2，1，0) T，k 为常数)解析：考点 非齐次线性方程组的结构解析 利用非齐次线性方程组解的结构求解先求对应导出组的基础解系，再求一个特解本题的主要错误在于未能利用条件 1+ 3=2 2得到 Ax=0的基础解系，未能利用 = 1+ 2+ 3+ 4得到 Ax= 的特解21.设 A
22、是一个 n阶方阵，满足 A2=A，r(A)=r，且 A有两个不同的特征值()试证 A可对角化，并求对角阵 （分数：11.00）_正确答案：(证：()设 是 A的特征值，由于 A2=A，所以 2=，且 A有两个不同的特征值，从而 A的特征值为 0和 1又因为 A2=A，即 A(A-E)=O，故 r(A)+r(A-E)=n事实上，因为 A(A-E)=O，所以 r(A)+r(A-E)n另外，由于 E-A同 A-E的秩相同，则有n=r(E)=r(E-A)+Ar(A)+r(E-A)=r(A)+r(AE)，从而 r(A)+r(A-E)=n当 =1 时，因为 r(A-E)=n-r(A)=n-r，从而齐次线性
23、方程组(E-A)x=0 的基础解系含有 r个解向量，因此，A属于特征值 1有 r个线性无关特征向量，记为 1， 2， r当 =0 时，因为 r(A)=r，从而齐次线性方程组(0E-A)x=0 的基础解系含 n-r个解向量因此，A 属于特征值 0有 n-r个线性无关的特征向量，记为 r+1， r+2， n于是 1， 2， n是 A的 n个线性无关的特征向量，所以 A可对角化，并且对角阵为 A=*解：()令 P=( 1， 2， 3， n)，则 A=P*P-1，所以*=(-1)r(-2)n-r=(-1)n2n-r)解析：考点 矩阵的相似对角化 解析 只需证明 A有 n个线性无关的特征向量即可说明 A
24、可相似对角化，而对角阵主对角线上的元素即为 A的特征值22.设随机变量 X与 Y独立同分布，且 X的概率分布为 X 1 2P * *记 U=maxX，Y，V=minX，Y()求(U，V)的概率分布；()求 U与 V的协方差 Cov(U，V)（分数：11.00）_正确答案：(解：()(U，V)的可能取值为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，则 PU=1，V=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1=*； PU=1，V=2=0； PU=2，V=1=PX=2，Y=1+PX=1，Y=2=PX=2PY=1+PX=1PY=2=*； PU=2，V=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2=* 故(U，V)的概率分布为 * ()由(U，V)的概率分布可得* 所以 Cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V)=*)解析：考点 考查二维离散型随机变量 解析 利用随机变量的函数关系求分布律23.已知 X1，X n为总体 X的一组样本，总体 X的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(解：()* 令*，解得*，即*为 的矩估计量 ()似然函数为：* 对数似然函数为：* 对数似然方程为：* 其最大似然估计值为*即 的最大似然估计量为*)解析：考点 考查参数的点估计 解析 利用 E(X)=*求出矩估计；构造似然函数并求其最大值点
