1、考研数学三-236 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(0)=2，则 =_ A B2 C （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在0，1上连续且单调递减，则函数 F(t)= （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=e x2+y2+xy xyf(x，y)dxdy，其中 D=(x，y)|0x1，0y1，则=_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A为 n阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0有两个线性无关的解，A *
2、是 A的伴随矩阵，则有_ A.A*x=0的解均为 Ax=0的解 B.Ax=0的解均为 A*x=0的解 C.Ax=0与 A*x=0无非零公共解 D.Ax=0与 A*x=0恰好有个非零公共解（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 3维向量 4不能由向量组 1， 2， 3线性表示，则必有_ A.向量组 1， 2， 3线性无关 B.向量组 1， 2， 3线性相关 C.向量组 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4线性无关 D.向量组 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X具有对称的概率密度，即 f(-x)=f(x)，则对任意 a0，P(|X|a)=_
3、A.1-2F(a) B.2F(a)-1 C.2-F(a) D.21-F(a)（分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n为来自总体 X的简单随机样本记 =，其中 a为常数若 E(T)= 2，则 a=_A- B （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 xn=(1+a)(1+a2)(1+a2n)，其中|a|1，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)有一个原函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知幂级数 在 x=2处发散，在 x=-1处收敛，则幂级数 （分数：4.0
4、0）填空项 1:_12.微分方程 y“-3y+2y=xex的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 3阶实对阵矩阵 A满足 A2-3A+2E=O，且|A|=2，则二次型 f=xTAx的标准形为_（分数：4.00）填空项 1:_14.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5的简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，则概率Pmin(X1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=_（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.若 ，求 （分数：10.00）_16.计算二重积分 （分数：10.00）_17.设 f(x)在2，2上具有连续的导数，且
5、 f(0)=0， 证明：级数 （分数：10.00）_18.已知 x+y-z=ez，xe x=tant，y=cost，求 （分数：10.00）_19.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两市场的需求函数分别是 P1=18-2Q1，P 2=12-Q2，其中 P1和 P2分别为该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q 1和 Q2分别为该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)并且，该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2Q+5，其中 Q为该产品在两个市场的销售总量，即 Q=Q1+Q2()如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润()如果该
6、企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格，使企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小（分数：10.00）_20.设有方程组 （分数：11.00）_21.已知矩阵 （分数：11.00）_22.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 Y在区间(0，x)上服从均匀分布，求 ()随机变量 X和 Y的联合概率密度； ()Y 的概率密度； ()概率PX+Y1（分数：11.00）_23.设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布首先开动一台，发生故障时停用，而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T
7、的： ()概率密度 f(t)； ()数学期望和方差（分数：11.00）_考研数学三-236 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 间断点及数列的极限 解析 先求数列极限得到函数表达式，再求间断点 解：当|x|1 时，*； 当|x|1 时，*； 当 x=1时，f(x)=0； 当 x=-1时，f(x)=-1 所以，* 由此可知，*，即 x=-1是连续点； 而*，即 x=1是 f(x)的间断点； 从而 f(x)在 x1 处连续，所以 f(x)间断点的个数为 1 故应选 A 若 f(
8、x)=*，应先求极限得到 f(x)的表达式此题中出现等比数列的极限*，应分|x|1，|x|1，|x|=1 三种情况讨论很多同学在此处易出错，忘记讨论2.设 f(0)=2，则 =_ A B2 C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 导数的定义 解析 先对表达式作恒等变形，再利用导数的定义求极限 解：* 故应选 B 此题若用洛必达法则计算，则是错误的： * 此方法的错误之处在于计算中增加了条件 f(x)可导，但题目中只给出 f(x)在 x=0点可导，而并没有给出在 x0 点 f(x)是否可导的条件3.设 f(x)在0，1上连续且单调递减，则函数 F(t)= （分数：4.00）A.B.C
9、.D. 解析：考点 函数的单调性及极值 解析 先利用定积分的性质和换元积分法简化运算，再判定函数的单调性和极值 解：因为*，其中* 于是* 令 F(t)=0，即 f(t)=*f(x)dx，由积分中值定理知* 所以，t= 是 F(t)的驻点 由于 f(x)在0，1上单减，当 0t 时，F(t)=f(t)-f()0； 当 t1 时，F(t)=f(t)-f()0，则 F(t)在 t= 点取得极大值 故应选 D 在求 F(t)的驻点时，F(t)=f(t)-*f(x)dx，许多同学没有想到用积分中值定理表示定积分*f(x)dx，因而求不出驻点，无法判定极值另外，极值的判定过程中不能求 F“(t)，因为
10、f(t)不一定可导4.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=e x2+y2+xy xyf(x，y)dxdy，其中 D=(x，y)|0x1，0y1，则=_A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 二重积分与多元函数偏导数 解析 先求 f(x，y)的表达式，再求偏导数即可 解：设*xyf(x，y)dxdy=A，则 * 解得*，从而* 所以* 故应选 C5.设 A为 n阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0有两个线性无关的解，A *是 A的伴随矩阵，则有_ A.A*x=0的解均为 Ax=0的解 B.Ax=0的解均为 A*x=0的解 C.Ax=0与 A*x=0无非零公共解 D.Ax=0
11、与 A*x=0恰好有个非零公共解（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 伴随矩阵 A*的性质；线性方程组的解的性质解析 利用 Ax=0的解的性质以及 A*的性质，从而求得 A*x=0解的性质解：由题意，n-r(A)2，从而 r(A)n-2，由 r(A)与 r(A*)之间关系知 r(A*)=0，即 A*=O，所以任选一个n维向量均为 A*x=0的解故应选 B本题主要错误是没能利用 A*与 A的秩之间的关系6.设 3维向量 4不能由向量组 1， 2， 3线性表示，则必有_ A.向量组 1， 2， 3线性无关 B.向量组 1， 2， 3线性相关 C.向量组 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4线
12、性无关 D.向量组 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4线性相关（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 向量组的线性关系解析 对于 A、B 选项，可以利用如下结论：若 1， m线性无关，且 ， 1， m线性相关，则 可由 1， m线性表示对于 C、D 选项，可通过举反例加以排除解：4 个 3维向量 1， 2， 3， 4必线性相关若 1， 2， 3线性无关，则 4可由 1， 2， 3线性表示，所以 B正确对于 C选项，取*易知 4不能由 1， 2， 3线性表示，但 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4线性相关，故 C不正确对于 D选项，取*易知 4不能由 1， 2， 3线性表示，但 1+ 4，
13、2+ 4， 3+ 4线性无关，故 D不正确故应选 B7.设随机变量 X具有对称的概率密度，即 f(-x)=f(x)，则对任意 a0，P(|X|a)=_ A.1-2F(a) B.2F(a)-1 C.2-F(a) D.21-F(a)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 考查概率密度、分布函数及概率的关系 解析 利用概率密度的偶函数性质表示概率 解：因为 f(-x)=f(x)，则* 则 P(|X|a)=P(X-a)+P(Xa)=F(-a)+1-F(a)=21-F(a) 故应选 D8.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n为来自总体 X的简单随机样本记 =，其中 a为
14、常数若 E(T)= 2，则 a=_A- B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 统计量的数字特征解析 利用*解：因为 X服从泊松分布 P()，则 E(X)=D(X)=，*由 E(T)= 2可得*，则*故应选 A二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 xn=(1+a)(1+a2)(1+a2n)，其中|a|1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 数列的极限解析 先求 xn的表达式，再求极限即可解：将 xn恒等变形为*由于|a|1，可知*，从而*故应填*10.设 f(x)有一个原函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解
15、析：考点 定积分与原函数 解析 利用定积分的分部积分法计算即可得结果 解：* 又因为* 所以* 故应填* 若有的同学先求出*，原积分为*，再求此定积分，反而不容易确定积分方法，计算更复杂11.已知幂级数 在 x=2处发散，在 x=-1处收敛，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 幂级数的收敛域 解析 先求幂级数*的收敛域，进而再求*的收敛域 解：令 x-*=t，由题设知幂级数*在 t=*处发散，从而*在*时发散 又因为*在*处收敛，则可知*在*时收敛 由此可知*的收敛半径为*，进而可得*的收敛域为*，令 t=x-1,代入即 得幂级数*收敛域为 x-1*，即 x
16、* 故应填* 部分同学对于收敛区间和收敛域两个概念混淆，收敛区间为开区间，收敛域是包含收敛的端点此题的收敛域为*，收敛区间为*若此题的收敛域写为*，则是错误的12.微分方程 y“-3y+2y=xex的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 二阶常系数线性微分方程解析 先求对应的齐次方程的通解，再求特解即可得结果解：对应的齐次方程为 y“-3y+2y=0，其特征方程为 2-3+2=0，解得 1=2， 2=1，则齐次方程 y“-3y+2y=0的通解为 C1ex+C2e2x设 y“-3y+2y=xex的一个特解为 y*=x(Ax+B)ex，将 y*代入方程得*，B=-1
17、，则特解*，所以原方程的通解为*故应填*13.设 3阶实对阵矩阵 A满足 A2-3A+2E=O，且|A|=2，则二次型 f=xTAx的标准形为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 二次型的标准形解析 二次型可经过正交变换化为标准形，且标准形中平方项的系数即为对应实对称矩阵 A的特征值解：由 A2-3A+2E=O，得 A的特征值为 1或 2又因为|A|=2，即特征值乘积为 2，故 A的特征值为 1，1，2所以二次型的标准形为*故应填*14.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5的简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，则概率Pmin(X1，X 2，X 3，X
18、 4，X 5)1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 统计量求概率解析 利用随机变量的独立性以及正态分布的标准化求概率解：PminX 1，X 2，X 3，X 4，X 51=1-PminX 1，X 2，X 3，X 4，X 5)1)=1-PX11，X 21，X 51=1-PX 11 5=*故应填*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.若 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(解：因为*，则*，其中*即* 则*)解析：考点 函数的极限 解析 根据无穷小与极限之间的关系表示 f(x)，综合运用极限的四则运算法则及洛必达法则即得结果16.计算二重积分 （分数
19、：10.00）_正确答案：(解：由已知积分区域(如下图所示) * * 利用极坐标，则有* 因此* 因为* 所以*)解析：考点 二重积分的计算 解析 利用已知累次积分，画出积分区域 D的草图，然后根据 D的形状，选择坐标系与积分次序 若本题在直角坐标系下直接计算或交换积分次序计算都很复杂，部分同学没有想到转化到极坐标系下计算，导致计算太烦琐，极易出错或算不出结果17.设 f(x)在2，2上具有连续的导数，且 f(0)=0， 证明：级数 （分数：10.00）_正确答案：(证：因为* 则* 由拉格朗日中值定理，得* 又因为 f(x)在-2，2上连续，则 f(x)在-2，2上有界，即存在正数 M0，有
20、|f(x)|M，x-2，2 因此* 又因为*收敛，则*收敛 所以*绝对收敛)解析：考点 数项级数敛散性判；定积分的运算及性质 解析 综合运用积分运算方法和性质推导出*，再运用正项级数的比较判别法即可证得结论18.已知 x+y-z=ez，xe x=tant，y=cost，求 （分数：10.00）_正确答案：(解：由题设条件知 x，y 都是 t的函数，因此，方程 x+y-z=ez确定了 z是 t的函数，对方程两边关于 t求导得*于是*，从而*由 xex=tant，得*，从而*由 y=cost得*当 t=0时，x=0，y=1，z=0，*于是*)解析：考点 隐函数的高阶导数 解析 先求一阶导数*，再求
21、二阶导数*19.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两市场的需求函数分别是 P1=18-2Q1，P 2=12-Q2，其中 P1和 P2分别为该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q 1和 Q2分别为该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)并且，该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2Q+5，其中 Q为该产品在两个市场的销售总量，即 Q=Q1+Q2()如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润()如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格，使企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小（分数：
22、10.00）_正确答案：(解：()由题意知，收益函数为R=P1Q1+P2Q2=(18-2Q1)Q1+(12-Q2)Q2=18Q1+12Q2-2Q12-*，又因为成本函数 C=2Q+5=2Q1+2Q2+5，所以利润函数为L=R-C=*解方程组*该实际问题一定有最大值，在 Q1=4，Q 2=5时，取到最大利润 L=164+105-242-52-5=52()若 P1=P2，则约束条件为：2Q 1-Q2=6，构造拉格朗日函数 F(Q1，Q 2，)=16Q 1+10Q2-2Q12-*-5+(2Q 1-Q2-6)，令*解得 Q1=5，Q 2=4，P 1=P2=8，最大利润 L=49由上述结果可知，实行价格
23、差别策略所得到利润大于实行统一价格利润)解析：考点 多元函数的最值；条件最值应用 解析 首先求出利润函数，然后求最值，找到约束条件求条件最值20.设有方程组 （分数：11.00）_正确答案：(解：()将方程组(i)改写为*令*，得(i)的基础解系 1=(0，-1，1，0) T， 2=(-1，0，0，1) T，故方程组(i)的通解为 k1 1+k2 2，k 1，k 2为常数又将方程组(ii)改写为*令*，得(ii)的基础解系 1=(0，1，0，-2) T， 2=(-2，0，1，0) T，故方程组(ii)的通解为 k1 1+k2 2，k 1，k 2为常数()联立方程组(i)和(ii)，求得的通解即
24、为公共解*对系数矩阵 A进行初等行变换，可得*从而解得基础解系 =(-2，-1，1，2) T所以方程组(i)和(ii)的公共解为 k，k 为常数)解析：考点 齐次线性方程组的求解和公共解 解析 若两个方程组都给了一般表示式，则求公共解，只需联立求通解即可21.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(解：()实对称矩阵 A的特征多项式为|E-A|=(-1) 2(-3)，故 A的特征值为 1= 2=1， 3=3于是，A 与对角矩阵*相似，又因为 A与 B相似，故 B也与对角矩阵*相似，因此，B 的特征值为 1= 2=1， 3=3，且 r(E-B)=1，又因为 x+5= 1+ 2+ 3=5，得
25、x=0由*得 y=-2，z=3()经计算可知，将实对称矩阵 A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 P1=*，即*；把矩阵 B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为*，即*取*有*)解析：考点 矩阵相似 解析 将 A，B 分别与同一个对角阵相似，再由相似的传递性，可得 A，B 相似 许多考生直接求可逆矩阵 P，导致做题思路出问题22.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 Y在区间(0，x)上服从均匀分布，求 ()随机变量 X和 Y的联合概率密度； ()Y 的概率密度； ()概率PX+Y1（分数：11.00）_正确答案：(解：()X 的概率密度为*在 X=x
26、(0x1)的条件下，Y 的条件概率密度为*当 0yx1 时，随机变量 X和 Y的联合概率密度为 f(x，y)=f X(x)fY|X(y|x)=*，在其他点处，有 f(x，y)=0，即*()当 0y1 时，Y 的概率密度为*当 y0 或 y1 时，f Y(y)=0因此*()*)解析：考点 二维连续型随机变量 解析 利用条件密度公式求出 f(x，y)，再利用 f(x，y)求边缘密度及概率23.设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布首先开动一台，发生故障时停用，而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T的： ()概率密度 f(t)； ()数学期望和方差（分数：11.00）_正确答案：(解：()PY=1=PX0=*；PY=-1=1-PY=1=*所以，Y 的概率分布为 Y -1 1P * *()*所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=*)解析：考点 离数型随机变量概率分布及协方差 解析 利用 X的概率密度求概率，从而得到 Y的分布律，再由协方差的计算公式求 Cov(x，y)
