1、考研数学三-253 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的无穷间断点，x=1 是 f(x)的可去间断点B.x=0 是 f(x)的可去间断点，x=1 是 f(x)的无穷间断点C.x=0 是 f(x)的无穷间断点，x=1 是 f(x)的跳跃间断点D.x=0 是 f(x)的跳跃间断点，x=1 是 f(x)的可去间断点2.曲线 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.33.设 ，则有 AF(1)=0 BF“(1)=0 C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设常系数线性微分方程 y“+a
2、y“+2y=be x 的一个特解为因(1+x+e x )，则常数 a,b 的值分别为（分数：4.00）A.a=3，b=1B.a=3，b=-1C.a=-3，b=1D.a=-3，b=-15.设非齐次线性方程组 Ax=b 无解，则必有（分数：4.00）A.A 的行向量组线性无关B.A 的行向量组线性相关C.A 的列向量组线性无关D.A 的列向量组线性相关6.设 A 为 nm 实矩阵，且秩 r(A)=n 考虑以下命题： AA T 的行列式|AA|0； AA T 必与 n 阶单位矩阵等价； AA T 必与一个对角矩阵相似； AA T 必与 n 阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为（分数：4.00）A.1B
3、.2C.3D.47.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从区间-1，2上的均匀分布，Y 的分布律为 ，则概率PXY)= A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 与 Y 都服从标准正态分布 N(0，1)，X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X 和 Y 的两个相互独立的简单随机样本，其样本均值与方差分别为 ， 与 ， ，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）10.设二元函数 f(x，y)可微，且 f(x，x 3 )=1，f“ x (x，x
4、 3 )=x 2 ，则当 x0 时，f“ y (x，x 3 )= 1. （分数：4.00）11.微分方程 xln xdy+(y-ln x)dx=0 满足条件 y(e)=1 的解为 1 （分数：4.00）12.设某商品需求量 Q 是价格 p 的函数 Q=Q(p)，其需求弹性 （分数：4.00）13.已知正负惯性指数均为 1 的二次型 x T Ax 经过合同变换 x=Py 化为 y T By，其中矩阵 （分数：4.00）14.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立同分布，且 DX i = 2 (i=1，2，3，4)，记 X=X 1 +X 2 +X 3 ，Y=X 3 +X 4 ，
5、则 X 与 Y 的相关系数等于 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 求不定积分 （分数：10.00）_16.(本题满分 10 分) 设曲线 L 1 :y=1-x 2 (0x1)，x 轴和 y 轴所围区域被曲线 L 2 :y=kx 2 分成面积相等的两部分，其中常数 k0 ()试求 k 的值； ()求()中 k 的值对应的曲线 L 2 与曲线 L 1 及 x 轴所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积 （分数：10.00）_17.(本题满分 10 分) 试利用变量代换 x=cos t 将微分方程 （分数：10.00）_18.(本题
6、满分 10 分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ；销售量分别为 q 1 和 q 2 ；需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 ，q 2 =10-0.05p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?并求最大利润 （分数：10.00）_19.(本题满分 10 分) 将函数 展开成 x 的幂级数，并求数项级数 （分数：10.00）_20.(本题满分 11 分) 设有非齐次线性方程组 （分数：11.00）_21.(本题满分 11 分) 设二次型 通过正交变换化为标准形 （分数：11
7、.00）_22.(本题满分 11 分) 某商场销售某种型号计算机，只有 10 台，其中有 3 台次品现已售出 2 台某顾客又来到该商场购买此种型号计算机 ()若该顾客只买一台，求他买到正品的概率； ()若该顾客买 4 台，以 X，Y 表示 4 台计算机中次品数与正品数，求 4 台中次品数的数学期望，并求协方差 cov(X，Y) （分数：11.00）_23.(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_考研数学三-253 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的
8、无穷间断点，x=1 是 f(x)的可去间断点B.x=0 是 f(x)的可去间断点，x=1 是 f(x)的无穷间断点C.x=0 是 f(x)的无穷间断点，x=1 是 f(x)的跳跃间断点D.x=0 是 f(x)的跳跃间断点，x=1 是 f(x)的可去间断点 解析：解析 本题考查函数间断点类型问题，只要求极限 即可 解 显然 x=0，1 是函数 f(x)的间断点，又 故 x=0 是 f(x)的跳跃间断点而 2.曲线 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 本题考查求曲线的渐近线问题求水平渐近线就是求极限 或 或 ；求铅直渐近线就是找 f(x)的无穷间断点；求斜渐近线 y=ax+b，
9、要先求斜率 a= 或 或 ，再求截距 b= 或 或 ，按上述提示方法逐一求解即可，注意，要先求函数的定义域 解 函数 的定义域为(-，-1)(0，+) 因 ，故 y=1 是曲线的一条水平渐近线显然 x=0，-1 是函数的间断点，而 可见 x=-1 是曲线的一条铅盲渐近线，x=0 不是曲线的铅直渐近线又 3.设 ，则有 AF(1)=0 BF“(1)=0 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查分段函数的积分，只要求出 F(x)的表达式，即可看出正确选项 解 当 x1 时， 当 x1 时 故 显然 F(x)在(-，+)上连续，且 F(1)= 4.设常系数线性微分方程 y
10、“+ay“+2y=be x 的一个特解为因(1+x+e x )，则常数 a,b 的值分别为（分数：4.00）A.a=3，b=1B.a=3，b=-1C.a=-3，b=1D.a=-3，b=-1 解析：解析 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的逆问题，只要能够从所给非齐次方程的解中找出对应齐次方程的特征根以及非齐次方程的特解即可将原方程“还原”出来，从而求得 a，b 的值 解 因该方程的一个特解为 y=(1+x+e x )e x =e x +xe x +e 2x ，根据方程右端函数 f(x)=be x 可知，上述解中的 e 2x 不可能是非齐次方程的特解，必对应齐次方程的通解项，从而可知对应齐次方
11、程的特征方程有一个根为 1 =2进而可知 xe x 必是非齐次方程的一个特解，不可能是齐次方程的通解项，因此齐次方程的另一特征根为 2 =1，于是可得齐次方程的特征方程为 (-2)(-1)=0，即 2 -3+2=0，齐次方程为 y“-3y“+2y=0 设非齐次方程为 y“-3y“+2y=f(x)，将 y=xe x 代入可求得 f(x)=-e x ，因此原方程为 y“-3y“+2y=-e x ，可见 a=-3，b=-1，D 注 本题也可将特解 y=(1+x+e x )e x 直接代入原方程求得 a，b 的值，但计算量稍大些，请读者练习5.设非齐次线性方程组 Ax=b 无解，则必有（分数：4.00
12、）A.A 的行向量组线性无关B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关D.A 的列向量组线性相关解析：解析 本题考查线性方程组解的判定与其系数矩阵行、列向量组线性相关性的联系非齐次线性方程组 Ax=b 有无解就看“两秩”是否相等本题是已知 r(A)r(A，b)，考查其系数矩阵 A 的行、列向量组的线性相关性 解 因 A mn x=b 无解 6.设 A 为 nm 实矩阵，且秩 r(A)=n 考虑以下命题： AA T 的行列式|AA|0； AA T 必与 n 阶单位矩阵等价； AA T 必与一个对角矩阵相似； AA T 必与 n 阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为（分数：4.00）A.
13、1B.2C.3D.4 解析：解析 本题主要考查矩阵的三大关系等价、相似、合同，求解的关键是要清楚矩阵秩的结论r(A)=r(AA T )=r(A T A) 解 显然 AA T 为 n 阶矩阵由条件可知 r(AA T )=r(A)=n，故，正确 由于 AA T 是实对称矩阵，所以必可相似对角化，从而正确 因 AA T 的秩为 n，故二次型 x T AA T x 的秩为 n，从而 x T AA T x=(A T x) T (A T x)0，即 x T AA T x 是正定二次型，故 AA T 与 n 阶单位矩阵合同，也正确7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从区间-1，2上的均匀分布，Y
14、 的分布律为 ，则概率PXY)= A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查混合型随机变量求概率问题，其一般的处理方法是把离散型随机变量取各个可能值看成完备事件组，用全概公式求解 解 8.设总体 X 与 Y 都服从标准正态分布 N(0，1)，X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X 和 Y 的两个相互独立的简单随机样本，其样本均值与方差分别为 ， 与 ， ，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查统计量的分布问题见到确定统计量分布问题，就要想到考查它的构成想 2 分布、t 分布、F 分布定义
15、的典型模式 解 因 而 与 相互独立，故由 F 分布与 2 分布定义，知 可见选项(D)正确，(B)错误 对于选项(A)，(C)，因 ， 与 相互独立，故 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查函数连续定义，只要求出极限 即可注意，要先利用等价无穷小代换化简分子，这样会简便些 解 因 x1 时，ln cos(x-1)=ln1+cos(x-1)-1cos(x-1)-1，故 由函数连续定义可知， 10.设二元函数 f(x，y)可微，且 f(x，x 3 )=1，f“ x (x，x 3 )=x 2 ，则当 x0 时，f“ y (x，x 3 )=
16、1. （分数：4.00）解析： 解析 本题考查二元抽象复合函数的偏导数问题，利用相应的复合函数求导法则解之即可 解 因 f(x，y)可微，等式 f(x，x 3 )=1 两边对 x 求导，得 f“ x (x，x 3 )+f“ x (x，x 3 )3x 2 =0，而f“ x (x，x 3 )=x 2 ，故有 x 2 +f“ y (x，x 3 )3x 2 =0，当 z0 时，解得 11.微分方程 xln xdy+(y-ln x)dx=0 满足条件 y(e)=1 的解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查一阶线性微分方程的解法将方程恒等变形成一阶线性微分方程的标准形式，由其通解公式可得 解
17、方程变形为 故 由 y(e)=1，得 C= ，因此所求特解为 12.设某商品需求量 Q 是价格 p 的函数 Q=Q(p)，其需求弹性 （分数：4.00）解析： 解 总收益函数为 R(p)=pQ(p)，两边对 p 求导，得 从而 故 13.已知正负惯性指数均为 1 的二次型 x T Ax 经过合同变换 x=Py 化为 y T By，其中矩阵 （分数：4.00）解析：-2 解析 本题实质上考查矩阵的合同变换矩阵的合同变换是特殊的等价变换，不改变矩阵的秩，由此可得 解 因二次型的秩等于其正、负惯性指数之和，故 r(A)=2，从而 r(B)=2，|B|=0由 14.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X
18、3 ，X 4 相互独立同分布，且 DX i = 2 (i=1，2，3，4)，记 X=X 1 +X 2 +X 3 ，Y=X 3 +X 4 ，则 X 与 Y 的相关系数等于 1 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查两随机变量的相关系数问题，利用相关系数的计算公式以及协方差、方差的运算性质求解即可 解 因 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立同分布，故有 cov(X，Y)=cov(X 1 +X 2 +X 3 ，X 3 +X 4 ) =cov(X 3 ，X 3 )=DX 3 = 2 又 DX=D(X 1 +X 2 +X 3 )=3 2 ，DY=D(X 3 +X 4 )=2 2 ， 因此
19、三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 而 因此 16.(本题满分 10 分) 设曲线 L 1 :y=1-x 2 (0x1)，x 轴和 y 轴所围区域被曲线 L 2 :y=kx 2 分成面积相等的两部分，其中常数 k0 ()试求 k 的值； ()求()中 k 的值对应的曲线 L 2 与曲线 L 1 及 x 轴所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()由 可得曲线 L 1 与 L 2 的交点坐标为 故 又 由 S 1 =S 2 知 ，即有 ()当 k=3
20、 时，M 点坐标为 由题意，S 2 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 解析 本题考查定积分的几何应用问题要先求出曲线 L 1 与 L 2 的交点坐标，然后用微元法求解 17.(本题满分 10 分) 试利用变量代换 x=cos t 将微分方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因 x=cos t，故 ，于是 将 x, 代入原方程，得 即 这是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为 y=C 1 cos 2t+C 2 sin 2t 由 x=cos t，作如下图所示的直角三角形，故原方程的通解为 y=C 1 (2cos 2 t-1)+C 2 2sin tcos t =C 1 (2x 2
21、 -1)+C 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 注 本题将 、 变换为 、 也可如下处理，但其关键仍是复合函数求导法则的应用： 然后将 =-sin t， 18.(本题满分 10 分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1 和 p 2 ；销售量分别为 q 1 和 q 2 ；需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 ，q 2 =10-0.05p 2 ，总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 ) 试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?并求最大利润 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 1 总收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2
22、q 2 =24p 1 - +10p 2 - ，总利润函数为 L=R-C=(p 1 q 1 )-35+40(q 1 +q 2 ) =32p 1 - +12p 2 - -1395. 因驻点唯一，且由问题的实际意义可知最大利润存在，故当 p 1 =80，p 2 =120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大值为 L max (80，120)=605 解 2 两个市场的价格函数分别为 P 1 =120-5q 1 ，P 2 =200-20q 2 总收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 =(120-5q 1 )q 1 +(200-20q 2 )q 2 总利润函数为 L=R-C=(120-5q 1
23、 )q 1 +(200-20q 2 )-35+40(q 1 +q 2 ) =80q 1 - +160q 2 - -35 由 19.(本题满分 10 分) 将函数 展开成 x 的幂级数，并求数项级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因 又 故 f“(x)= ，x(-1，1)两边在区间0，x(-1x1)上积分，考虑到 f“(0)=0，得 再积分，得 因 f(0)=0，右端的幂级数中令 n+1=k，可得 上式中，令 x=1，得 注 若熟悉 ，x-1，1；ln(1+x)= 20.(本题满分 11 分) 设有非齐次线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()记 由题设可知 1
24、 ， 2 ， 3 均为 Ax=b 的解又 r(B)=2，即 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，不妨设 1 ， 2 线性无关，于是 1 - 2 0 是方程组 Ax=0 的解，即齐次方程组 Ax=0 有非零解，故 由 得同解方程组为 从而方程组的通解为 其中 C 是任意常数 ()由题设条件可知， A 1 =b，A 2 =b，A 3 =b，将上述三个向量等式合并成一个矩阵等式，得 (A 1，A 2，A 3)=(b，b，b)，即 A( 1， 2， 3)=(b，b，b)从而有21.(本题满分 11 分) 设二次型 通过正交变换化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 二次型 f(x 1
25、，x 2 ，x 3 )及其经正交变换后的标准形所对应的矩阵分别为 由题设可知 AA，故有 于是矩阵 A 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =-1. 求解方程组(2E-A)x=0 的基础解系，得 1 = 2 =2 对应的特征向量为 1 =(1，0，-1) T ， 2 =(1，-2，1) T 求解方程组(-E-A)x=0 的基础解系，得 3 =-1 的特征向量 3 (1，1，1) T 因 1 ， 2 已经正交，故只需将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 令 ，则 Q 为所求的正交矩阵，即有 解析 本题考查用正交变换化二次型为标准形问题见到二次型 x T Ax 经正交变换化为标准形 ，就要想到矩阵
26、A 与 相似，从而 A 与 22.(本题满分 11 分) 某商场销售某种型号计算机，只有 10 台，其中有 3 台次品现已售出 2 台某顾客又来到该商场购买此种型号计算机 ()若该顾客只买一台，求他买到正品的概率； ()若该顾客买 4 台，以 X，Y 表示 4 台计算机中次品数与正品数，求 4 台中次品数的数学期望，并求协方差 cov(X，Y) （分数：11.00）_正确答案：()解析：()记 A=“从剩下的 8 台计算机中任取一台为正品”，B i =“售出的 2 台中恰有 i 台为正品”，i=0，1，2则 由全概公式，得 23.(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由 得 即 故 ()由()知， 似然函数为 取对数，得 令 得 ，故 的最大似然估计量为 解析 本题第()问求概率密度中的常数，由
