1、考研数学三-255 及答案解析(总分：149.98，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若当 x0 时，e tan x -e x 与 x n 是同阶无穷小量，则 n=_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.42.设 f(x)二阶可导，且当 x(0，+)时 f“(x)0，若 n为自然数，则有不等式_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.幂级数 （分数：4.00）A.-1，+1B.-1，1)C.(-1，1D.(-1，1)4.若直线与曲线 C 1 :y=x 3 +3和 C 2 :y=x 3 -1都相切，则该直线与 C 1 ，C 2 的切点分别为_（
2、分数：4.00）A.(-1，2)和(1，-2)B.(1，4)和(-1-2)C.(-1，2)和(-1，-2)D.(-1，2)和(1，4)5.设 ，则关系式 |A|=|B| A B 3A （分数：4.00）A.1B.2C.3D.46.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 都是 4维列向量，非齐次线性方程组 AX= 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 有通解 k1，-1，0，2 T +1，2，1，0 T ，则下列关系式中错误的是_（分数：4.00）A.1+22+3-=0B.-1+2-24=0C.21+2+3+24-=0D.-32-3+24=07.X 1 ，X 2 ，X n (n1)是来自泊松总体 P()
3、的简单随机样本，有 则下列关系正确的是_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y 相互独立，X，Y 的概率分布分别如下 则 P(X 2 +Y 2 4)=_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 f(x)在(0，)内可导，且当 x100 时，有 ，则 （分数：4.00）11.设 f(x)，g(x)有连续的二阶导数，若 ，则 （分数：4.00）12.累次积分 （分数：4.00）13.设三阶矩阵 （分数：4.00）14.设随机变量 X服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(X 4 e X
4、 )= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，+)上有连续导函数，若 . 求 （分数：11.00）_16.设 y(x)是由方程 x+y=xy+1确定的隐函数，函数 g(x)在 x=0点二阶可导，且 g“(0)=g“(0)=1若 （分数：11.00）_设a n 是首项为 1且满足(n+1) （分数：11.00）(1).求数列a n 的通项；（分数：5.50）_(2).求幂级数 （分数：5.50）_17.设 f(x)在(-，+)上可导，f(0)=0，且满足 =1+f(x) 2 ，证明： （分数：11.00）_18.设函数 f(x)在0，1上有连续的
5、三阶导数，f(0)=1，f(1)=2，x= 是 f(x)的一个极值点证明：存在 (0，1)，使得 （分数：10.00）_设 A，B 是 n阶矩阵，问（分数：9.99）(1).A是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=E；（分数：3.33）_(2).A是什么矩阵时，有 BE，使得 AB=A；（分数：3.33）_(3).当 （分数：3.33）_19.设 A，B，C 均是 n阶方阵，满足 r(B)+r(C)=n，(A+E)C=0，B(A T -2E)=0 证明：A，并求 及| （分数：10.00）_设随机向量 X，Y 均服从二项分布 B （分数：9.99）(1).求 M，N 的联合概率分布；（分数：3
6、.33）_(2).求 M，N 的边际概率分布列，以及它们的数学期望；（分数：3.33）_(3).求 M，N 的相关系数 MN （分数：3.33）_X 1 ，X 2 ，X n 是来自均匀总体 XU(-a，a)的样本，（分数：10.00）(1).求参数 a的矩估计量；（分数：5.00）_(2).求参数 a的极大似然估计量（分数：5.00）_考研数学三-255 答案解析(总分：149.98，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若当 x0 时，e tan x -e x 与 x n 是同阶无穷小量，则 n=_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 思路一：
7、当 x0 时， e tan x -e x =e x (e tan x-x -1)tan x-x=x+ +o(x 3 )-x 所以，当 x0 时，e tan x -e x 可见 n=3 思路二：由于 ，其中 是非零常数，则 由上述关系可得，n=3，且 = 2.设 f(x)二阶可导，且当 x(0，+)时 f“(x)0，若 n为自然数，则有不等式_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 易知 思路一： 因为 f“(x)0，且 故选项 A成立，选项 B不成立 另外 因为 f“(x)0， 所以选项 C不成立，同理选项 D也不成立 思路二：因为当 x(0，+)时 f“(x)0，所
8、以(0，+)是曲线 y=f(x)的上凸区间其图形如下图所示 3.幂级数 （分数：4.00）A.-1，+1B.-1，1) C.(-1，1D.(-1，1)解析：解析 因为 所以，收敛半径 r=1 当 x=-1时，原级数变为交错级数 因为 ，所以|a n |单调减；又由 ，得 即有|a n | ，符合莱布尼茨条件，所以 收敛 当 x=1时，正项级数 发散因为 4.若直线与曲线 C 1 :y=x 3 +3和 C 2 :y=x 3 -1都相切，则该直线与 C 1 ，C 2 的切点分别为_（分数：4.00）A.(-1，2)和(1，-2)B.(1，4)和(-1-2) C.(-1，2)和(-1，-2)D.(-
9、1，2)和(1，4)解析：解析 设直线与曲线 y=x 3 +3的切点横坐标为 x 1 ，与曲线 y=x 3 -1的切点横坐标为 x 2 则依题意有直线斜率 ，且 x 1 x 2 由此有 x 1 =-x 2 ，则由 得 5.设 ，则关系式 |A|=|B| A B 3A （分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 观察 B和 A的关系： 用初等矩阵表示，即为 E 13 AE 13 =B其中 则 |B|=|E 13 AE 13 |=|A|， 6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 都是 4维列向量，非齐次线性方程组 AX= 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 有通解 k1，-1，0，2 T
10、 +1，2，1，0 T ，则下列关系式中错误的是_（分数：4.00）A.1+22+3-=0B.-1+2-24=0 C.21+2+3+24-=0D.-32-3+24=0解析：解析 1 ， 2 ， 3 ， 4 = 有通解 k1，-1，0，2 T +1，2，1，0 T = 7.X 1 ，X 2 ，X n (n1)是来自泊松总体 P()的简单随机样本，有 则下列关系正确的是_ A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 样本方差 是总体 XP()方差的无偏估计量，所以有 E(S 2 )=D(X)=则随机变量 S的方差为 D(S)=E(S 2 )-E 2 (S)=-E 2 (S)， 因为
11、 D(S)0，所以 -E 2 (S)0，即 E(S) 8.设随机变量 X，Y 相互独立，X，Y 的概率分布分别如下 则 P(X 2 +Y 2 4)=_ A B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 X 2 和 Y 2 的概率分布分别为 则 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 思路一： 思路二： 10.设 f(x)在(0，)内可导，且当 x100 时，有 ，则 （分数：4.00）解析：1 解析 由洛必达法则，得 ，而 所以 由上式可见 11.设 f(x)，g(x)有连续的二阶导数，若 ，则 （分数：4.00）解析：xf“(x) 解析 依题
12、意 故 12.累次积分 （分数：4.00）解析： 解析 13.设三阶矩阵 （分数：4.00）解析：a=-2b 解析 对于三阶矩阵 A，由 r(A * )=1，得 r(A)=3-1=2 对 A作初等行、列变换，有 因 r(A)=2，故 a=-2b且 ab，即 a=-2b(0)(因为 a=b 14.设随机变量 X服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(X 4 e X )= 1 （分数：4.00）解析： 解析 因为 X的概率密度函数为 由随机变量函数的期望计算有 因为 X 2 2 (1)，所以 D(X 2 )=2，即 D(X 2 )=E(X 4 )-E(X 2 ) 2 =E(X 4 )-1=2， 从
13、而 E(X 4 )=3，所以 E(X 4 e X )= E(X 4 )+6E(X 2 )+1=10 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，+)上有连续导函数，若 . 求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：记 q(x)=f“(x)+ ，则 q(x)是0，+)上的连续函数， 关于 f(x)的方程 f“(x)+ 是一阶线性非齐次微分方程 设 ，则有 u(x)f(x)=u(x)q(x)， u(x)f(x)=u(0)f(0)+ u(t)q(t)dt 故 由 u(x)表达式，得 ，则 16.设 y(x)是由方程 x+y=xy+1确定的隐函数，函数 g(x)在 x=0点二
14、阶可导，且 g“(0)=g“(0)=1若 （分数：11.00）_正确答案：()解析：首先，x+y=xy+1 1+y“=xy“+y y“-xy“+2y“ 所以 从而有 y(0)=1，y“(0)=0，y“(0)=0 因 f(x)在 x=0点连续，则 设a n 是首项为 1且满足(n+1) （分数：11.00）(1).求数列a n 的通项；（分数：5.50）_正确答案：()解析：由已知，得 则 或 a n+1 =-a n =(-1) 2 a n-1 =(-1) n a 1 =(-1) n ，n=1，2， 由于a n 收敛，所以 (2).求幂级数 （分数：5.50）_正确答案：()解析：幂级数 ，显然
15、其收敛域是-1，1 和函数为 或 则 17.设 f(x)在(-，+)上可导，f(0)=0，且满足 =1+f(x) 2 ，证明： （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明设 ，则 y(0)=0，y“(0)=f(0)=0，y“(x)=f(x)，y“(x)=f“(x) 求 y(x)的问题变成二阶微分方程初值问题 这是缺自变量的可降阶方程，令 y“(x)=p(y)，则 y“(x)= =pp“(y) 问题变成 先考虑 由方程 也可推导出同样的结果： 由泰勒级数可知 18.设函数 f(x)在0，1上有连续的三阶导数，f(0)=1，f(1)=2，x= 是 f(x)的一个极值点证明：存在 (0，1)，使
16、得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 在 处，将 f(x)展开成二阶带拉格朗日余项的泰勒公式： 式-式得 由于 在(0，1)中连续，由介值定理知，存在 ( 0 ， 1 ) (0，1)，使得 设 A，B 是 n阶矩阵，问（分数：9.99）(1).A是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=E；（分数：3.33）_正确答案：()解析：当 A可逆时，若 AB=A，必有 B=E因 A可逆时，AB=A 两边左乘 A -1 ，即有 B=E(2).A是什么矩阵时，有 BE，使得 AB=A；（分数：3.33）_正确答案：()解析：当 A不可逆时，存在 BE，使得 AB=A因 A不可逆时，AB=A，即
17、 A(B-E)=0，此时，Ax=0 有非零解将 Ax=0的非零解合并成方阵，设为 1 ， 2 ， n ，并令 1 ， 2 ， n =B-E，则 B= 1 ， 2 ， n +EE，使 AB=A(3).当 （分数：3.33）_正确答案：()解析：解 Ax=0 ， r(A)=2Ax=0 有通解 k ，则 A =0，故有 A =0，令 19.设 A，B，C 均是 n阶方阵，满足 r(B)+r(C)=n，(A+E)C=0，B(A T -2E)=0 证明：A，并求 及| （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明r(B)+r(C)=n 若 r(B)=n，则 B可逆由 B(A T -2E)=0，两边左乘
18、 B -1 ，得 A T =2E=A，故 A=2E， 且|A|=2 n 若 r(C)=n，则 C可逆，由(A+E)C=0，右乘 C -1 ，得 A+E=0，A=-E，即 A-E， |A|=(-1) n 若 r(B)n，r(C)n，因 r(B)+r(C)=n，设 r(B)=r，则 r(C)=n-r 由(A+E)C=0 知，A 有 =-1，且至少有 n-r个线性无关的特征向量(因 r(C)=n-r，C 中有 n-r列线性无关，且是 A的对应于 =-1 的特征向量)故 =-1 至少是 n-r重根 由 B(A T -2E)=0，两边转置，得(A-2E)B T =0知 A有 =2，且至少是 r重根，B
19、T 的 r个线性无关列向量即是 A的对应于 =2 的特征向量 由，知，=-1 是 n-r重根，=2 是 r重根，从而可知 A有 n个线性无关特征向量，A且 设随机向量 X，Y 均服从二项分布 B （分数：9.99）(1).求 M，N 的联合概率分布；（分数：3.33）_正确答案：()解析：计算 M，N 所有取值的概率 P(M=1，N=1)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)= ， P(M=1，N=0)=P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=1)=P(X-1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1)= ， P(M=0，N=0)=P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=0)= ， P(
20、M=0，N=1)=0 所以，随机变量 M，N 的联合概率分布为 (2).求 M，N 的边际概率分布列，以及它们的数学期望；（分数：3.33）_正确答案：()解析：由 M，N 的联合概率分布可求得 M，N 的边际概率分布列分别为 因此 M，N 的数学期望为 E(M)= ，E(N)= (3).求 M，N 的相关系数 MN （分数：3.33）_正确答案：()解析：M，N 的方差为 D(M)=E(M 2 )-E(M) 2 = ， D(N)=E(N 2 )-E(N) 2 = M，N 的协方差为 cov(M，N)=E(MN)-E(M)E(N)= 因此 M，N 的相关系数为 X 1 ，X 2 ，X n 是来
21、自均匀总体 XU(-a，a)的样本，（分数：10.00）(1).求参数 a的矩估计量；（分数：5.00）_正确答案：()解析：总体 X的密度函数为 期望 E(X)=0，所以无法利用总体分布的期望和样本均值 进行参数 a的矩估计，进一步计算 X的方差，利用样本方差 给出矩估计量 计算总体方差 D(X)=E(X 2 )-E(X) 2 =E(X 2 )= 令 S 2 =D(X)，解得参数 a的矩估计量为 (2).求参数 a的极大似然估计量（分数：5.00）_正确答案：()解析：依题意，有似然函数 似然函数 L(a)关于 a是单调递减函数，使 L(a)达到最大，必须使 a尽可能小，而 a不能小于任何一个 x k ，所以当 a=minx 1 ，x 2 ，x n 时，似然函数 L(a)达到最大，故参数 a的极大似然估计量为
