1、考研数学三-256 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内可导，则_ A若 =-，则 =- B若 =-，则 =- C若 =+，则 =+ D若 =+，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.方程 x 2 =xsin x+cos x 的实根个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.定积分 的值为_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.若常数 p，q，r，满足 pqr，且使得广义积分 （分数：4.00）A.p+q1B.q+r1C.p+q1，q+r1D.p1，r15.设向量组 1 =1，
2、0，2，1， 2 =1，2，0，1， 3 =2，5，-1，4， 4 =2，1，3，2，则向量组的极大无关组的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.46.设 A 是三阶不可逆矩阵，已知 Ax= 有通解 ，Ax= 有通解 ，则 A 相似于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设事件 A，B 满足 P(A)=0.6， （分数：4.00）A.0B.0C.0D.08.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，令 ，则 E(T)=_ A 2 B 2 + 2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
3、9.设 y=y(x)是由参数方程 所确定的函数，则 （分数：4.00）10.已知 f(1)=1，f“(x)= （分数：4.00）11.若 f(x)=(x+1) 2 sin x，则 f (100) (0)= 1 （分数：4.00）12.设 max(a，b，c)表示 a，b，c 中最大的数，则积分 （分数：4.00）13.设 n 阶行列式 D n = ，则 （分数：4.00）14.设随机变量 Xt(3)，Y=1/X 2 ，则 Y 服从的分布为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos 2x
4、，求 （分数：11.00）_16.设 x 1 0，x n+1 = ，n=1，2，分别就 a0，a=0，a0 这三种情况讨论 （分数：11.00）_设 a 1 = ，a n+1 = （分数：11.00）(1).收敛，并求其值； （分数：5.50）_(2).级数 （分数：5.50）_17.设函数 f(x)在0，1上连续、在(0，1)内可导，f(0)=0，当 x(0，1)时，f(x)0 证明：对任意的正整数 m，n，存在 (0，1)，使得 （分数：11.00）_18.设 n (x)=n 2 (nx)，n=1，2，若 f(x)的二阶导数存在且有界证明： （分数：10.00）_19.设 A 是 n 阶矩
5、阵，r(A)=n-r又 Ax=b 有 1 ， 2 ， r ， r+1 共 r+1 个线性无关解 证明 Ax=b 的任一解均可由 1 ， 2 ， r ， r+1 线性表出 （分数：10.00）_20.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 经正交变换可化为 （分数：10.00）_设 X，Y 具有联合概率密度函数 f(x，y)= （分数：10.00）(1).求边缘密度函数 f X (x)和 f Y (y)，并判断 X 与 Y 是否独立；（分数：5.00）_(2).求条件密度 fY|X(y|x)（分数：5.00）_设总体 X 的概率密度函数为 f(x；)= （分数：10.00）(1).
6、求参数 的矩估计量 （分数：5.00）_(2).求参数 的极大似然估计量 （分数：5.00）_考研数学三-256 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内可导，则_ A若 =-，则 =- B若 =-，则 =- C若 =+，则 =+ D若 =+，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 选项 A 的反例：f(x)= ，f“(x)= ； 选项 B 的反例：f(x)=x 3 ，f“(x)=3x 2 ； 选项 C 的反例：f(x)= ，f“(x)= ； 选项 D 的证明： 所以有， 2.方程 x 2 =xsi
7、n x+cos x 的实根个数是_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 设 f(x)=x 2 -xsin x-cos x 是偶函数，且有 =+，f(0)=-10 又 f“(x)=2x-sin x-xcos x+sin x=x(2-cos x) 当 x(-，0)时， 3.定积分 的值为_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 t=x-1，则 注意：上式中用到了定积分的几何意义， 为半径为 1 的半圆的面积，等于 4.若常数 p，q，r，满足 pqr，且使得广义积分 （分数：4.00）A.p+q1B.q+r1C.p+q1，q+r1D.p1，r1 解析：解
8、析 设 minp，q，r=p，当 x0 + 时，由于 x p +x q +x r 所以，当 minp，q，r=p1 时， 收敛 maxp，q，r)=r，当 x+时，由于 x p +x q +x r 所以，当 maxp，q，r)=r1 时， 收敛 综上，当 minp，q，r)=p1，且 maxp，q，r=r1 时， 5.设向量组 1 =1，0，2，1， 2 =1，2，0，1， 3 =2，5，-1，4， 4 =2，1，3，2，则向量组的极大无关组的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 将 1 ， 2 ， 3 ， 4 处理成列向量，设 ，并作初等行变换，化 A 为阶梯型矩阵
9、 显然 线性相关而 均线性无关，故 均是 6.设 A 是三阶不可逆矩阵，已知 Ax= 有通解 ，Ax= 有通解 ，则 A 相似于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A 是三阶不可逆矩阵，则 Ax=0 有非零解，故 A 有特征值 1 =0 Ax= 有解 ，即 A=；Ax= 有解 ，即 A=，故 A(+)=+=+ A 有 2 =1(对应的特征向量为 +)， A(-)=-=-(-) A 有 3 =-1(对应的特征向量为 -) 三阶矩阵有三个不同的特征值，故 7.设事件 A，B 满足 P(A)=0.6， （分数：4.00）A.0B.0C.0 D.0解析：解析 由条件概率
10、公式，得 需要求出 ，P(B)，由已知条件 P(A)=0.6， ，易联想到条件概率公式，即 则 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，令 ，则 E(T)=_ A 2 B 2 + 2 C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用公式 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X) 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是由参数方程 所确定的函数，则 （分数：4.00）解析：- 2 解析 由参数方程 得 10.已知 f(1)=1，f“(x)= （分数：4.00）解析： 解析 由 y=f(e x2 )得 y“(x)=2xe
11、 x2 f“(e x2 )= 所以 则 y(x)=2(x 2 -2) +4+f(1)=2(x 2 -2) 11.若 f(x)=(x+1) 2 sin x，则 f (100) (0)= 1 （分数：4.00）解析：-200 解析 记 u(x)=(x+1) 2 ，v(x)=sin x，则当 n2 时，由乘积函数的高阶导数公式得 12.设 max(a，b，c)表示 a，b，c 中最大的数，则积分 （分数：4.00）解析：解析 13.设 n 阶行列式 D n = ，则 （分数：4.00）解析： 解析 将 D n 的第上行展开 D n -D n-1 =D n-1 -D n-2 ，n=3，4，n故 D 1
12、 ，D 2 ，D n 是等差数列又 D 1 =2， ，则公差为 D 2 -D 1 =1，第 n 项 D n =n+1，则 14.设随机变量 Xt(3)，Y=1/X 2 ，则 Y 服从的分布为 1 （分数：4.00）解析：F(3，1) 解析 因为 Xt(3)，由 t 分布的定义可将 X 表示为 其中 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 均服从 N(0，1)，且相互独立，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos 2x，求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由已知得 F“(x)=f(x)，又由 F(
13、x)f(x)=cos 2x，得 F(x)F“(x)= F 2 (x)“=cos 2x， 从而有 F 2 (x)=sin 2x+C又由 F(0)=1，得 C=1，所以 F 2 (x)=sin 2x+1，F(x)= =|cos x+sin x| 则 16.设 x 1 0，x n+1 = ，n=1，2，分别就 a0，a=0，a0 这三种情况讨论 （分数：11.00）_正确答案：()解析：如果 存在，设 则 ，得方程 即 A 2 =a可见，必须 a0，A= 此时，数列x n 必是正数列 设函数 ，则当 x0 时，|f(x)|1+ 1+|1-a|可见，f(x)是有界的，所以数列x n )是有界的 下面仅
14、须讨论其单调性，若是单调数列则其必收敛 再由微分中值定理得 首先考虑，当 0a1 时， ，相邻两项之差是同号的 因此，当 x 2 x 1 时，x n 单调递增；当 x 2 x 1 时，x n 单调递减所以x n 都收敛 当 a=1 时，x n+1 -x n =0，这是常数数列，当然收敛 当 a1 时， ，相邻两项之差是异号的此时，可再运用一次中值定理 这说明数列x 2n-1 )和x 2n 是单调的，因此它们都收敛 若设 ，它们分别由方程 确定，并且两个方程有相同的正根 由此可知 综上，当 a0 时， 不存在，当 a0 时， 设 a 1 = ，a n+1 = （分数：11.00）(1).收敛，并
15、求其值； （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 首先，显然有 a n 0，n=1，2，由归纳法可证 a n 2，n=1，2，因为 a 1 = 2假设 a k 2，则 ，故 a n 2 上面证明了有界性，下面再证明单调性 可见 a n+1 -a n 与 同号，所以a n 是单调增的 由于a n 单调增有上界，所以其极限存在设 ，则由 ，得 A= ，解之，得 A=2，即 (2).级数 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 令 ，由上一小题知其为正项级数，又 或者 由比值判别法知， 17.设函数 f(x)在0，1上连续、在(0，1)内可导，f(0)=0，当 x(0，1)时，f(x)0
16、 证明：对任意的正整数 m，n，存在 (0，1)，使得 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 要证 设函数 g(x)=lnf n (x)f m (1-x)，由于 f(0)=0，g(x)在 x=0，x=1 处无定义，不满足罗尔定理条件可转而考虑函数 F(x)=f n (x)f m (1-x)由于 F(0)=F(1)=0，它满足罗尔定理条件 所以， (0，1)，使得 F“()= f n (x)f m (1-x)| x= =0即 nf n-1 ()f“()f m (1-)-mf m-1 (1-)f“(1-)f n ()=0， nf“()f(1-)=mf“(1-)f() 18.设 n (x)
17、=n 2 (nx)，n=1，2，若 f(x)的二阶导数存在且有界证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 由已知，得 令 ，则 因为 故 19.设 A 是 n 阶矩阵，r(A)=n-r又 Ax=b 有 1 ， 2 ， r ， r+1 共 r+1 个线性无关解 证明 Ax=b 的任一解均可由 1 ， 2 ， r ， r+1 线性表出 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 由解的性质知， r+1 - 1 ， r+1 - 2 ， r+1 - r 是对应齐次方程 Ax=0 的r 个解 令 k 1 ( r+1 - 1 )+k 2 ( r+1 - 2 )+k r ( r+1 - r
18、 )=0，即 (k 1 +k 2 +k r ) r+1 -(k 1 1 +k 2 2 +k r r )=0 因 1 ， 2 ， r ， r+1 线性无关，得 k 1 =k 2 =k r =0，故知 r+1 - 1 ， r+1 - 2 ， r+1 - r ，是 Ax=0 的 r 个线性无关解，又因 r(A)=n-r，故知是 Ax=0 的基础解系，从而Ax=b 的通解是 l 1 ( r+1 - 1 )+l 2 ( r+1 - 2 )+l r ( r+1 - r )+ r+1 =-l 1 1 -l 2 2 -l r r +(l 1 +l 2 +l r ) r+1 即 Ax=b 的任一解均可由 1 ，
19、 2 ， r ， r+1 线性表出20.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 经正交变换可化为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：f 在正交变换下的标准形的系数是 f 对应矩阵的特征值，即 A 有特征值 1 =2， 2 = 3 =-1，从而知 A * 有特征值 ： 1 =1， 2 = 3 =-2， 是 A * 的对应于 1 =1 的特征向量A 是对称阵A * 也是对称阵故 2 = 3 =-2 对应的特征向量与 正交， 也是 A 对应于 1 =2 的特征向量A 对应于 2 = 3 =-1 的特征向量正交，设 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 T X=x 1
20、 +x 2 -x 3 =0，解得 A 对应于 2 = 3 =-1 的特征向量为 X 1 =1，-1，0 T ，X 2 =1，0，1 T ， 令 P=，X 1 ，X 2 = ，则 p -1 AP= ， 设 X，Y 具有联合概率密度函数 f(x，y)= （分数：10.00）(1).求边缘密度函数 f X (x)和 f Y (y)，并判断 X 与 Y 是否独立；（分数：5.00）_正确答案：()解析：按照边缘密度函数定义进行计算 当 x0 和 x1 时，f X (x)=0； 当 0x1 时，f X (x)= ； 当 y0 和 y1 时，f Y (y)=0； 当 0y1 时，f Y (y)= (2).求条件密度 fY|X(y|x)（分数：5.00）_正确答案：()解析：由条件概率定义，当 f X (x)0 时 设总体 X 的概率密度函数为 f(x；)= （分数：10.00）(1).求参数 的矩估计量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：总体 X 的概率密度为 令 ，解得参数 的矩估计量为 (2).求参数 的极大似然估计量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：依题意有似然函数 似然函数 L()在区间 上为正，且严格增，在该区间外为零，所以它在 处取得最大值，因此参数 的极大似然估计量为
