1、考研数学三-298 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则 （分数：4.00）A.12B.6C.3D.22.设 f“(x 0 )=0 且 f“(x 0 )0，则存在 0，使得（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在(x0-，x0+)是凹的B.曲线 y=f(x)在(x0-，x0+)是凸的C.函数 y=f(x)在(x0-，x0上单调减少，在x0，x0+)上单调增加D.函数 y=f(x)在(x0-，x0上单调增加，在x0，x0+)上单调减少3.设函数 ，其中 x，y，z 满足方程 x+2y+z-3=0当由该方程确定 z 为 x，
2、y 的函数时，记 ；当由该方程确定 x 为 y，z 的函数时，记 （分数：4.00）A.P=-4，Q=-4B.P=-2，Q=-2C.P=-4，Q=-2D.P=-2，Q=-44.设数列a n ，b n 满足 0a n ， 下列级数中必收敛的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 4 维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 k1，k2，k3，k4 不全为 0 时，有k11+k22+k33+k44=0B.如果 1，2，3，4 线性相关，那么当 k11+k22+k33+k44 时，有 k1，k2
3、，k3，k4 不全为 0C.如果 5 不能由 1，2，3，4 线性表出，那么 1，2，3，4 必线性相关D.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 5 不能由 1，2，3，4 线性表出6.已知 A，B，C，D 都是 4 阶非零矩阵，且 ABCD=0，如果|BC|0，记 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的最大值是（分数：4.00）A.11B.12C.13D.147.随机变量 X 的分布函数 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则不能将概率密度设成（分数：4.00）A.f(x+a)B.af(ax)C.f(-x)D.2f(x)F(x)8.将长度为 1m 的木棒随机地截成两段
4、，记第一段的长度一半为 X，第二段长度的 为 Y，则 X，Y 的相关系数 XY = A-1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设方程 x 3 -3x+a=0(a 为常数)有一个大于零的重根，则该方程非重根的根为 1 （分数：4.00）12.微分方程 y“-ky=cosx(k 为非零常数)的一个以 2 为周期的确定解为 1 （分数：4.00）13.已知矩阵 A 和 B 相似，若 （分数：4.00）14.设相互独立两随机变量 X 1 和 X 2 均服从 （分数：4.00）三、解答题(总
5、题数：9，分数：94.00)15.设连续函数 f(x)满足方程 （分数：10.00）_16.某市计划投资 150(百万元)对该地区现有电器厂和化工厂进行技术改造已知为完成一个电器厂的技术改造需要投资 5(百万元)，而完成一个化工厂的技术改造需要投资 6(百万元)一旦 x 个电器厂与 y 个化工厂完成技术改造，并在扣除这些厂的技术改造的投资后可使该市得到总利润的年增加值为 （分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_证明：（分数：10.00）(1).当 x0 时，函数 （分数：5.00）_(2).当 0x1 时，成立不等式： （分数：5.
6、00）_19.解方程组 （分数：11.00）_设二次型 矩阵 A 满足 AB=O，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用正交变换（分数：5.50）_(2).判断矩阵 A 和 B 是否合同（分数：5.50）_已知随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）(1).求常数 A（分数：5.50）_(2).求条件概率密度 f Y|X (y|x)（分数：5.50）_设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自区间-1，+1上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，试求（分数：11.00）(1).参数 的矩估计 （分数：5.50）_(2).参数 的最大似然估
7、计 （分数：5.50）_考研数学三-298 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则 （分数：4.00）A.12 B.6C.3D.2解析：解析 由于当 x0 时，ln(1+2x)0，故 ，f(x)tanx0 所以，当 x0 时，ln(1+2x)2x； 于是 即 2.设 f“(x 0 )=0 且 f“(x 0 )0，则存在 0，使得（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在(x0-，x0+)是凹的B.曲线 y=f(x)在(x0-，x0+)是凸的C.函数 y=f(x)在(x0-，x0上单调减少，在x0，x0+)上单调增加 D.函数
8、y=f(x)在(x0-，x0上单调增加，在x0，x0+)上单调减少解析：解析 由题设可得 ，从而按极限的性质即知，存在 0，使得当 0|x-x 0 | 时 3.设函数 ，其中 x，y，z 满足方程 x+2y+z-3=0当由该方程确定 z 为 x，y 的函数时，记 ；当由该方程确定 x 为 y，z 的函数时，记 （分数：4.00）A.P=-4，Q=-4B.P=-2，Q=-2C.P=-4，Q=-2 D.P=-2，Q=-4解析：解析 表面看 P 与 Q 都表示 的值，似乎应该相等，但由于中间变量不同了，结果并不相等事实上， ； 可知选项 C 是正确的 由所给方程分别解出 z=3-x-2y 与 x=3
9、-2y-z 代入函数 u，便可得到两个函数 4.设数列a n ，b n 满足 0a n ， 下列级数中必收敛的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 sin(a n b n )a n b n ， 而 收敛，故 收敛 取 知 A，C 项皆发散； 又 5.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 4 维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 k1，k2，k3，k4 不全为 0 时，有k11+k22+k33+k44=0B.如果 1，2，3，4 线性相关，那么当 k11+k22+k33+k44 时，有 k1，k2，k3，k4
10、 不全为 0C.如果 5 不能由 1，2，3，4 线性表出，那么 1，2，3，4 必线性相关 D.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 5 不能由 1，2，3，4 线性表出解析：解析 因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 5 个 4 维向量，它必线性相关 而当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关时， 5 必可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 现在 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关 即命题 C 项正确 按定义当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使 k
11、 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0，但不是对任意不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 均有 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0，故命题 A 项不正确 因为 0 1 +0 2 +0 3 +0 4 =0 恒成立，所以命题 B 项不正确 当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关时， 5 一定能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时， 5 也有可能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出(例如 5 = 1 )，故命题 D 项不正确6.已知 A，B，C，D 都是 4 阶非零矩阵，且 ABCD=0，
12、如果|BC|0，记 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的最大值是（分数：4.00）A.11B.12 C.13D.14解析：解析 由|BC|0 7.随机变量 X 的分布函数 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则不能将概率密度设成（分数：4.00）A.f(x+a)B.af(ax) C.f(-x)D.2f(x)F(x)解析：解析 f(x)成为概率密度的充要条件是 (1)f(x)0；(2) 不难验证，A、B、C 项都满足这两条充要条件 由于 a 是常数，当 a0 时，af(ax)0，条件(1)不成立 或者当 a=0 时， 8.将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，记第一段的
13、长度一半为 X，第二段长度的 为 Y，则 X，Y 的相关系数 XY = A-1 B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然 2X+3Y=1，即 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）解析：-1 解析 函数 f(x)的间断点分别为 x=5，-2，-1 其中 10. （分数：4.00）解析： 解析 要去掉绝对值符号方能积分，x-x 2 =x(1-x)，所以将积分区间分成两段： 与 于是有 其中 所以 11.设方程 x 3 -3x+a=0(a 为常数)有一个大于零的重根，则该方程非重根的根为 1 （分数：4.00）解析：-2 解析 设 f(x)=
14、x 3 -3x+a，则方程 f(x)=0 的重根必为方程 f“(x)=0 的一个根由于 f“(x)=3x 2 -3=3(x-1)(x+1)， 所以 x=1 是 f“(x)=0 的唯一正数根，故其正是原方程的重根 以 x=1 代入原方程得 a=2，即原方程为 x 3 -3x+2=0 所以其另一个根为-2 本题考查导数的一个应用：方程重根的判别 因为若 f(x)=(x-a) 2 g(x)，则 f“(x)=2(x-a)g(x)+(x-a) 2 g“(x)=(x-a)2g(x)+(x-a)g“(x) 即 f(x)的一个二重零点(f(x)=0 的二重根)一定是其导数 f“(x)的一个零点(f“(x)=0
15、 的一个根)12.微分方程 y“-ky=cosx(k 为非零常数)的一个以 2 为周期的确定解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 由一阶线性非齐次方程的求解公式得通解： 由于要求方程的周期解，所以必须 C=0，从而应填 13.已知矩阵 A 和 B 相似，若 （分数：4.00）解析：2 解析 由 AB 知 A-4EB-AE 从而 14.设相互独立两随机变量 X 1 和 X 2 均服从 （分数：4.00）解析： 解析 方法一： PX 1 +X 2 1=PX 1 =0，X 2 =0+PX 1 =0，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =0 =PX 1 =0PX 2 =0+PX 1 =0PX 2
16、 =1+PX 1 =1PX 2 =0 方法二：PX 1 +X 2 1=1-PX 1 +X 2 1=1-PX 1 =1，X 2 =1 方法三：PX 1 +X 2 1=PX 1 =0X 2 =0 =PX 1 =0+PX 2 =0-PX 1 =0，X 2 =0 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设连续函数 f(x)满足方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 在题设的积分方程中令 x=0 得 f(0)=0，把方程改写成 由于上式右端各项都可导，因而 f(x)可导，且 即 不难看出 f“(x)也可导，且 f(x)“(x)=12x 2 -4f(x)， 此外还有 f“(0)=1这样
17、一来，y=f(x)就是二阶常系数线性微分方程初值问题 的特解由于 y“+4y=0 的特征根为 1 =2i 与 2 =2i(其中 i 是虚数单位)， 所以其通解为 y C =C 1 cos2x+C 2 sin2x 因为非齐次项是 12x 2 ，于是非齐次方程是 y“+4y=12x 2 具有形式为 y*=Ax 2 +Bx+C 的特解令 y*“+4y“=2A+4(Ax 2 +Bx+C)12x 2 ， 可确定 A=3，B=0， ，即 按通解结构定理知非齐次方程 y“+4y=12x 2 的通解为 令 x=0 并利用 y(0)=0 可确定 ，在 y“=2C 1 sin2x+2C 2 cos2x+6x 中令
18、 x=0 并利用 y“(0)=1 可确定 故所求函数 16.某市计划投资 150(百万元)对该地区现有电器厂和化工厂进行技术改造已知为完成一个电器厂的技术改造需要投资 5(百万元)，而完成一个化工厂的技术改造需要投资 6(百万元)一旦 x 个电器厂与 y 个化工厂完成技术改造，并在扣除这些厂的技术改造的投资后可使该市得到总利润的年增加值为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 利用拉格朗日乘数法求解令 驻点条件是 由，可得 ，9y=5x 结合可解出唯一驻点 x=18，y=10 因驻点唯一，且实际问题必存在最大值，故上述结果表明该地区应改造 18 个电器厂和 10 个化工厂可获得最大
19、总利润年增加值，且此最大值为 maxf=f(18，10)=60(百万元) 解法二 从约束条件 5x+6y=150 可得 ，代入目标函数有 ，其中 由驻点条件 可解得唯一驻点 x=18又因 17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 首先求出曲线 x 2 +y 2 =4 与 x 2 +y 2 =4x 在第一象限内交点的直角坐标为 用直线 将区域 D 分成两部分于是有 解析 本题考查在极坐标系下的二重积分计算重点在把积分区域画出来，且要分成两个区域计算 18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 x=0 时幂级数 是收敛的，当 x0 时由于 可见当 0|
20、x|1 时幂级数绝对收敛，当|x|1 时幂级数发散，故幂级数的收敛半径 R=1 当 x=1 时幂级数成为交错级数 ，由于数列 单调减少且趋于零，故幂级数当 x=1 时也收敛，即幂级数的收敛域为闭区间-1，1 令幂级数的和函数为 S(x)，即 由于 ，记 当|x|1 时逐项求导得 将上式逐项求积分，并利用 S 1 (0)=0 即得当|x|1 时 代入即得 由于幂级数 在 x=1 收敛，从而 S(x)在-1，1上连续注意 xarctanx 在 x=1 也连续，故 S(x)=xarctanx 不仅当|x|1 时成立，而且在 x=1 也成立即有 证明：（分数：10.00）(1).当 x0 时，函数 （
21、分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由于 (2).当 0x1 时，成立不等式： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由于 故由第一小题知，当 0x1 时 从而 成立证毕 解析 第一小题的证明，应该是先求 f“(x)以确定正负号，当无法直接判断f“(x)的符号时，需再求导数，但只要对其分子求导即可第小题要利用第一小题的结果 本题考查导数在函数性态讨论中的应用，证明中辅助函数 (x)的引入是常用的一个方法，读者应掌握证明第二小题部分的关键，是建立起欲证的不等式与第一小题中的函数的关系，亦即需证明 19.解方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 对增广矩阵作初等行变换，有
22、 (1)如 a=1，同解方程组为 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1其通解为：(1，0，0，0) T +k 1 (-1，1，0，0) T +k 2 (-1，0，1，0) T +k 3 (-1，0，0，1) T (2)当 a1 时 设二次型 矩阵 A 满足 AB=O，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用正交变换（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 二次型矩阵 AB=O 知 =0 是矩阵 A 的特征值且矩阵 B 的列向量(1，0，1) T 是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量故有 于是 由矩阵 A 的特征多项式 由(6E-A)x
23、=0 得矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量为(1，2，-1) T 由(-6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值-6 的特征向量为(-1，1，1) T 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有 那么令 则有 (2).判断矩阵 A 和 B 是否合同（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 不合同，因为已知随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）(1).求常数 A（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 常数 A 可以通过性质 来求得 (2).求条件概率密度 f Y|X (y|x)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 ，且 f X (x)0 而 f X (x)0 等价
24、于 x0， 所以当 x0 时， 即 x0 时， 从上面的解法中不难发现，求解的关键在于找出 f X (x)， 求 时，即使 A 不知道也没关系，分子、分母的 A 相约了找出 f X (x)后再根据 f X (x)为密度的性质也很容易求出 A 基于上述想法，下面的解法更简单些： 第一小题不难看出 f X (x)为参数为 1 的指数分布，故 A=1 第二小题当 f X (x)0，即 X0 时， 所以，当 x0 时， 设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自区间-1，+1上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，试求（分数：11.00）(1).参数 的矩估计 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 X 的概率密度为 一个参数 矩估计为 ，其中 所以 (2).参数 的最大似然估计 （分数：5.50）_正确答案：()解析：求最大似然估计 2 ，先求出似然函数 只要满足 ，L 始终为 也就是最大 所以 即 故最大似然估计 是一个范围中任一点都行，这范围是
