1、考研数学三-399 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0_（分数：4.00）A.有唯一实根B.有两个不同实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.曲线 y=f(x)=|x|-x+e -|x| ln|x|的渐近线共有_（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条4.若幂级数 在 x=1 处收敛，则级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 b 的取值有关5.设 A 是 n 阶矩阵
2、， 是 n 维非零列向量，记 （分数：4.00）A.ax= 必有无穷多解B.ax= 必有唯一解C.y=0 仅有零解D.By=0 必有非零解6.设 A，B 均是 n 阶实对称可逆矩阵，则存在可逆矩阵 P，使得下列关系式成立的个数是_ PA=B； P -1 ABP=BA； P -1 AP=B； P T A 2 P=B 2 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.47.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机向量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 P(-Xa，Yy)=_（分数：4.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(+，y)-F(-a
3、，y-0)D.F(+，y)-F(-a，y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设二元函数 f(x，y)二阶连续可导，且 若 u(x，y，z)=f(x+y+z，x 2 +y 2 +z 2 )，则 （分数：4.00）10.若二阶常系数线性齐次微分方程 2y“+ay“=0 和 y“-by=0 有同一解 y=e 2x ，则非齐次方程 y“+ay“+by=e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）11.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，则在点 P 0 (1，1)处 （分数：4.00）12.f(t)为连续函数，D 是由 y=x 3 ，y=1，x=-1 围成的区域，则 （分数：4.00）
4、13.设 A 是三阶矩阵，将 A 的所有元素用关于副对角线对称的元素替换得到的矩阵记为 B若|A|=a，则|B|= 1 （分数：4.00）14.已知 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.4，则 P(A-B)|AB)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_设函数 （分数：10.00）(1).求 f(t)的初等函数表达式；（分数：5.00）_(2).证明存在 t 0 (0，1)，使得 f(t
5、0 )是 f(t)在0，1内的唯一最小值（分数：5.00）_设 y=y(x)在(-，+)内二阶可导，且 y“(x)0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：10.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.00）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：5.00）_若有数列x n 由如下条件确定，x 1 =1，x n+1 =sin(arctanx n )，n=1，2，（分数：10.00）(1).证明数列x n 收敛，并求极限 （分数：5.00）_(2).求极限 （分数：5.00）_16.已知某产品总产量 Q 对时间 t 的变化率为 （分数：10.
6、00）_(1).设 （分数：5.50）_(2).设 （分数：5.50）_17.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 ，用可逆线性变换化二次型为标准形并指出所作的可逆线性变换及二次型的正、负惯性指数及二次型的正定性 （分数：11.00）_18.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：11.00）_在计算机上作大型科学计算，需对经运算后的十进制数 x，在其小数点后第 6 位作四舍五人，得到近似值y，则误差 =x-y 在区间(-0.510 -5 ，0.510 -5 )内随机取值设随机变量 服从该区间上的均匀
7、分布记经 n 次运算的累积误差为 （分数：11.01）(1).试求 1 + 2 的分布；（分数：3.67）_(2).利用切比雪夫不等式估计，当 n=10000 时给出| n |不超过 0.0005 的概率的上界；（分数：3.67）_(3).利用中心极限定理，当 n=10000 时以 99.7以上的把握给出| n |的近似估计(估计上界) 注：(x)为标准正态分布，已知 (3)=0.99874（分数：3.67）_考研数学三-399 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c
8、=0_（分数：4.00）A.有唯一实根 B.有两个不同实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根解析：解析 设 f(x)=x 5 +2ax 3 +3bx+4c，f“(x)=5x 4 +6ax 2 +3b 因为 =(6a) 2 -45(3b)=12(3a 2 -5b)0，所以 f“(x)=5x 4 +6ax 2 +3b0，因此，f(x)=0 至多有一个根 又 f(x)是五次多项式，它至少有一个零点，所以 f(x)=0 有唯一实根2.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 区域 D：0xt 2 ，xyt 2 ，交换次序为 D：0yt 2 ，0xy，则 3.曲线 y=f(x)=|x|-x+
9、e -|x| ln|x|的渐近线共有_（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条 D.4 条解析：解析 当 x=0 时， 所以最新 x=0 是其垂直渐近线 当 x0 时，f(x)=e -x lnx， 所以 y=0 是其水平渐近线 当 x0 时，f(x)=-2x+e x ln(-x)， 4.若幂级数 在 x=1 处收敛，则级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 b 的取值有关解析：解析 在 x=1 处收敛 在(-1-2，-1+2)=(-3，1)内绝对收敛 绝对收敛 又 由比较审敛法的极限形式，知 5.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维非零列向量，记 （分数
10、：4.00）A.ax= 必有无穷多解B.ax= 必有唯一解C.y=0 仅有零解D.By=0 必有非零解 解析：解析 因 r(B)=r(A)n，B 是 n+1 阶矩阵，故6.设 A，B 均是 n 阶实对称可逆矩阵，则存在可逆矩阵 P，使得下列关系式成立的个数是_ PA=B； P -1 ABP=BA； P -1 AP=B； P T A 2 P=B 2 （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 逐个分析关系式是否成立 式成立因 A，B 均是 n 阶实对称可逆矩阵，故存在可逆矩阵 R，W，使得 RA=E，WB=E(即 )，RA=WB，W -1 RA=B记 P=W -1 R 即有 PA=B
11、，故成立 式成立取 P=A，则有 P -1 ABP=A -1 ABA=BA，故式成立 式不成立如 7.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知得 8.设随机向量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 P(-Xa，Yy)=_（分数：4.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(+，y)-F(-a，y-0)D.F(+，y)-F(-a，y) 解析：解析 P(-Xa，Yy)=P(X-a，Yy) =P(-X+，Yy)-P(X-a，Yy) =P(Yy)-P(X-a，Yy) =F(+，y)-F(-a，y)二、填空题(总题数：6，分数：24.0
12、0)9.设二元函数 f(x，y)二阶连续可导，且 若 u(x，y，z)=f(x+y+z，x 2 +y 2 +z 2 )，则 （分数：4.00）解析：-12 解析 由已知得 利用函数结构的对称性，可得 最后得 10.若二阶常系数线性齐次微分方程 2y“+ay“=0 和 y“-by=0 有同一解 y=e 2x ，则非齐次方程 y“+ay“+by=e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）解析： 其中 C 1 ，C 2 为任意常数 解析 由题设条件可知二次方程 2 2 +a=0 与 2 -b=0有共同的一个解 =2，所以 b=4，a=-4齐次微分方程为 y“-4y“+4y=0，其通解是 y=(
13、C 1 +C 2 x)e 2x 求非齐次微分方程 y“-4y“+4y=e 2x 的一个特解： 设特解 Y=Ax 2 e 2x ，代入微分方程 y“-4y“+4y=e 2x ，得 A(2e 2x +8xe 2x +4x 2 e 2x )-4A(2xe 2x +2x 2 e 2x )+4Ax 2 e 2x =e 2x 得 故其特解为 通解为 11.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，则在点 P 0 (1，1)处 （分数：4.00）解析：1 解析 由方程 z+lnz-lnx-y=0，得 又 z(1，1)=1，所以在点 P 0 (1，1)处 12.f(t)为连续函数，D 是由 y=x 3 ，y=1，
14、x=-1 围成的区域，则 （分数：4.00）解析：2 解析 如下图，由区域的对称性可得 13.设 A 是三阶矩阵，将 A 的所有元素用关于副对角线对称的元素替换得到的矩阵记为 B若|A|=a，则|B|= 1 （分数：4.00）解析：a解析 14.已知 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.4，则 P(A-B)|AB)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由题设可知，P(AB)=P(A)P(B|A)=0.50.4=0.2，于是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z
15、=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 方程 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 两边对 x 和 y 求导，得 故得驻点坐标关系 将上式代入 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0，可得两个驻点 由于 对 x 求导得 对 x 求导得 对 y 求导得 得 故 又 从而点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3 类似地，由 可知 又 设函数 （分数：10.00）(1).求 f(t)的初等函数表达式；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解：如图将积分区域划分如下： D + =D(x，y)|y
16、-t0， D - =D(x，y)|xy-t0 (2).证明存在 t 0 (0，1)，使得 f(t 0 )是 f(t)在0，1内的唯一最小值（分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 由驻点方程 f“(t)=0，难以求得驻点的值，但可以通过分析函数 f(t)在区间(0，1内的性质，断言：f(t)在区间(0，1)内有唯一驻点，这一点就是 f(t)在区间0，1上的最小值点因为 f“(t)=-2lnt0，t(0，1)，函数在区间(0，1)内是下凸的 设 y=y(x)在(-，+)内二阶可导，且 y“(x)0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：10.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分
17、方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：因为 xy(x)=x，所以 从而 (2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：现在变为初值问题 对应的齐次方程 y“-y=0 的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -x 设方程 y“-y=sinx 的特解为 Y=Acosx+Bsinx，代入得 A=0， 故 y*=- 从而 y“-y=sinx 的通解为 由 得 C 1 =1，C 2 =-1，故所求初值问题的解为 若有数列x n 由如下条件确定，x 1 =1，x n+1 =sin(arctanx n )，n=1，2，（分数：10.00）
18、(1).证明数列x n 收敛，并求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：首先证明x n 单调减趋于零 由 x 1 =1 及 0x n+1 =sin(arctanx n )arctanx n x n ，可知x n 是单调减少，且x n 0，1，则x n 单调减有下界 从而其极限存在，设 则由 得方程 a=sin(arctana)，a1，0， 显然 a=0，即 (2).求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：思路一： 思路二：令 u n =arctanx n ，则 x n =tanu n ，因此 16.已知某产品总产量 Q 对时间 t 的变化率为 （分数：10.00）_正确
19、答案：()解析：解：先求总产量函数 Q(T)，由于 Q(0)=0，故 平均年产量为 令 得 T=3(年)，又因为 T3 时， 即投产后 3 年，平均年产量将达到最大值，此时，总产量的变化率为 由此可见，在平均年产量等于总产量的变化速度时，总产量最大，此结果具有一般性 平均年产量达到最大后，再生产 3 年，这 3 年的平均年产量为 (1).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解：(2).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解：对 A 作倍加初等行变换(即左乘倍加初等阵，倍加初等阵是主对角元为 1 的下三角阵)，化 a 21 ，a 31 ，a 32 为零，将 A 化为上三角阵，即
20、即 E 12 (-1)E 23 (-1)A=C， 其中 17.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 ，用可逆线性变换化二次型为标准形并指出所作的可逆线性变换及二次型的正、负惯性指数及二次型的正定性 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：思路一：用配方法化二次型为标准形 作可逆线性变换，令 记 x=Cy，其中 所作线性变换 x=Cy 是可逆的，所得标准形为 且二次型的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0二次型不正定(半正定) 思路二：用正交变换法化二次型为标准形 二次型的对应矩阵为 1 =0 时
21、，解(0E-A)x=0，作初等行变换 得 1 =(-1，1，1) T 2 = 3 =3 时，解(3E-A)x=0，作初等行变换 得 2 =(1，1，0) T ， 3 =(1，-1，2) T 注：求 3 时，可利用 2 与 3 正交 且满足(3E-A)x=0，即 x 1 -x 2 -x 3 =0 将 1 ， 2 ， 3 单位化，并合并成正交矩阵，得 令 x=Qy 即是所求的可逆线性变换(正交变换必是可逆线性变换)，得二次型的标准形为 18.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：由 y=x 2 +1 及-1x1，得 所以 Y 的密度函数 f Y (y)取非零值
22、的范围为1，2) 当 1y2 时，有 Y=X 2 +1 的分布函数为 则 Y 的密度函数为 在计算机上作大型科学计算，需对经运算后的十进制数 x，在其小数点后第 6 位作四舍五人，得到近似值y，则误差 =x-y 在区间(-0.510 -5 ，0.510 -5 )内随机取值设随机变量 服从该区间上的均匀分布记经 n 次运算的累积误差为 （分数：11.01）(1).试求 1 + 2 的分布；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：(X，Y)的分布密度函数为 则 利用几何概型来解： 设 D=(x，y)|x|a，|y|a，其中 a=0.510 -5 当-2az0 时，所求概率为(x，y)点落在下图
23、中有竖条的阴影下三角形区域上的概率为 当 0z2a 时，则所求概率为(x，y)点落在图中五边形上的概率，故 (2).利用切比雪夫不等式估计，当 n=10000 时给出| n |不超过 0.0005 的概率的上界；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：注意 E( n )=0，由切比雪夫不等式，得 (3).利用中心极限定理，当 n=10000 时以 99.7以上的把握给出| n |的近似估计(估计上界) 注：(x)为标准正态分布，已知 (3)=0.99874（分数：3.67）_正确答案：()解析：解： j 是独立同分布的随机变量， j U(-0.510 -5 ，0.510 -5 ) 由中心极限定理(林德伯格勒维定理)，当 n 足够大时 若取 k=3则此概率近似为 (3)=0.9987，有 即有 99.74以上的把握断言 当 n=10000 时，
