1、考研数学三-401 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.32.当 x0 时， （分数：4.00）A.k=2B.k=3C.k=4D.k=53.已知 sin 2 x，cos 2 x 是方程 y“+P(x)y“+Q(y)y=0 的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则不能构成该方程通解的是_ A.C1sin2x+C2cos2x B.C1+C2cos2x C.C1sin22x+C2tan2x D.C1+C2cos2x（分数：4.00）A.B.C.D.4.在a，b上，f(x)0，f“(x)0，f“
2、(x)0，令 则有_ （分数：4.00）A.S1S2S3B.S1S3S2C.S2S1S3D.S2S3S15.已知 （分数：4.00）A.(1，-2，3)B.(2，1，3)C.(51，1+2，3)D.(1，2，2+3)6.设 （分数：4.00）A.m=5，n=6B.m=6，n=5C.m=5，n=5D.m=6，n=67.设两个任意随机事件 A，B，其概率都大于 0 且小于 1，则下列事件中一定与事件 A 独立的是_ AAB B CA-B D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)，而且 X 与-X 有相同的分布函数，则_（分数：4.
3、00）A.F(x)=F(-x)B.F(x)=-F(-x)C.f(x)=f(-x)D.f(x)=-f(-x)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 z=e -x -f(x-2y)，且当 y=0 时，z=x 2 ，则 （分数：4.00）11.幂级数 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设 1 ， 2 ， 3 ， 均为 4 维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ，)，B=( 1 ， 2 ， 3 ，)，且|A|=2，|B|=3，则|A-3B|= 1 （分数：4.00）14.设总体 XN(， 2 )，其中从总体 X 中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X n
4、 ，样本方差为 S 2 ，则 D(S 2 )= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.计算不定积分 （分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.设某商品平均收益 成本函数为 （分数：10.00）_19.设 ba0，证明 （分数：10.00）_已知下列非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).求解方程组()用其导出组的基础解系表示通解；（分数：5.50）_(2).中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解?（分数：5.50）_设二次型 经过正交变换 X=QY 化为标准形 （分数：11.00
5、）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q（分数：5.50）_设二维随机变量(X，Y)的分布密度为 （分数：11.00）(1).求常数 c；（分数：5.50）_(2).当 k=2 时，求二维随机变量(X，Y)在以原点为圆心，r 为半径的圆内的概率（分数：5.50）_设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 Y=x(0x1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：（分数：11.01）(1).随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；（分数：3.67）_(2).Y 的概率密度；（分数：3.67）_(3).概率 PX+Y1（分数：3.67）_考研
6、数学三-401 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析 因为 所以曲线 无水平渐近线；由 得曲线有两条铅直渐近线； 由 2.当 x0 时， （分数：4.00）A.k=2B.k=3C.k=4D.k=5 解析：解析 因 f(x)和 g(x)为同阶无穷小，则极限 存在且不为 0 使 存在且不等于 0，必须满足 k-5=0，即 k=5 此时，两者为同阶无穷小，且有 3.已知 sin 2 x，cos 2 x 是方程 y“+P(x)y“+Q(y)y=0 的解，C 1 ，C 2 为任意常数
7、，则不能构成该方程通解的是_ A.C1sin2x+C2cos2x B.C1+C2cos2x C.C1sin22x+C2tan2x D.C1+C2cos2x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 依题设可知 sin 2 x，cos 2 x 为该方程两个互不相关的解，故 C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x 为方程的通解，故 A 是方程通解又因 sin 2 x+cos 2 x=1 及 cos 2 x-sin 2 x=cos2x，所以 y=1 和 cos2x 也是方程的特解，故 B，D 是解因此，由排除法可得 C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x 不能构成该方程的通解4
8、.在a，b上，f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 则有_ （分数：4.00）A.S1S2S3B.S1S3S2C.S2S1S3 D.S2S3S1解析：解析 由题设可知，在a，b上 f(x)的图形如下图，由图形可知，梯形 ABba 的面积曲边梯形 的面积矩形 CBba 的面积，所以 S 3 S 1 S 2 5.已知 （分数：4.00）A.(1，-2，3)B.(2，1，3)C.(51，1+2，3)D.(1，2，2+3) 解析：解析 若 A=，则 A(k)=(k)，即若 是 A 属于特征值 的特征向量，则 k(k0)仍是矩阵 A 属于特征值 的特征向量 若 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，
9、则 A(k 1 +k 2 )=(k 1 +k 2 )，即若 1 ， 2 是 A 属于特征值 的特征向量，则 k 1 +k 2 (非零时)仍是 A 属于特征值 的特征向量 注意：若 A 1 = 1 1 ，A 2 = 2 2 ， 1 2 ，则 1 + 2 ， 1 - 2 等都不是矩阵 A 的特征向量 所以 A、B、C 均正确，而 D 中 2 + 3 不再是矩阵 A 的特征向量6.设 （分数：4.00）A.m=5，n=6B.m=6，n=5C.m=5，n=5 D.m=6，n=6解析：解析 B 是 A 经过交换第一、二行再交换第二、三列后得到的矩阵，且 P 2 =Q 2 =E因此，当m，n 均为奇数时，
10、有 P m =P，Q n =Q，从而 P m AQ n =PAQ=B7.设两个任意随机事件 A，B，其概率都大于 0 且小于 1，则下列事件中一定与事件 A 独立的是_ AAB B CA-B D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 所以不能保证 A 与 AB 及 A 与 AB 一定相互独立，从而排除 A，C 由于 A，B 任意，排除 B 8.设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)，而且 X 与-X 有相同的分布函数，则_（分数：4.00）A.F(x)=F(-x)B.F(x)=-F(-x)C.f(x)=f(-x) D.f(x)=-f(-x)解析：解析
11、 利用分布函数的性质 F(+)=1，F(-)=0 即可排除 A，B，由 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：0 解析 因为 10.设 z=e -x -f(x-2y)，且当 y=0 时，z=x 2 ，则 （分数：4.00）解析：2(x-2y)-e -x +e 2y-x 解析 令 u=x-2y，则 因为当 y=0 时，z=x 2 ，由 z=e -x -f(x-2y)可得，f(x)=e -x -x 2 ，故 11.幂级数 （分数：4.00）解析： 解析 因为 故收敛半径 12. （分数：4.00）解析：4- 解析 因为 为 x 的奇函数，积分区间关于 y 轴对称，
12、所以 13.设 1 ， 2 ， 3 ， 均为 4 维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ，)，B=( 1 ， 2 ， 3 ，)，且|A|=2，|B|=3，则|A-3B|= 1 （分数：4.00）解析：56 解析 |A-3B|=|-2 1 ，-2 2 ，-2 3 ，-3| =(-2) 3 | 1 ， 2 ， 3 ，-3| =-8| 1 ， 2 ， 3 ，|+| 1 ， 2 ， 3 ，-3|) =-8(|A|-3|B|)=-8(2-33)=5614.设总体 XN(， 2 )，其中从总体 X 中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X n ，样本方差为 S 2 ，则 D(S 2 )= 1 （分数：4.00）
13、解析： 解析 因为 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 16.计算不定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解： 令 u=-sinx，则 17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由 x+y1，x0，y0，得 所以 18.设某商品平均收益 成本函数为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：设利润最大时的产量为 Q 0 ，则由 所以 可推得 a=5Q 0 又 L(Q)=R(Q)-C(Q)，R=Q(a-2Q)， 得 将联立解得 当 p=20-2Q 时，有 R“(Q 0 )C“(Q 0
14、 )，即 L“(Q 0 )0； 当 19.设 ba0，证明 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 原不等式 (a+b)(lnb-lna)-2(b-a)0，将 b 改为 x，则转化为函数不等式(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)0(xa) 令 F(x)=(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)0，xa，则 F(x)在a，+)上二阶可导，且 所以当 xa 时，F“(x)单调增加，即 于是 F(x)在a，+)上单调增加，所以对 ba0，有 即 已知下列非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).求解方程组()用其导出组的基础解系表示通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解
15、：对方程组()的增广矩阵 作初等行变换 由于 r(A)=r( )=34，所以方程组()有无穷多解，得其导出组的基础解系为1，1，2，1 T ，非齐次方程的一个特解是-2，-4，-5，0 T ，故方程组()的通解为 (2).中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：若方程组()与()同解，则()的解应是()的解，将()的通解代入()的三个方程，可分别求得参数 m，n，t 将 x 代入()的第一个方程，得 (-2+k)+m(-4+k)-(-5+2k)-k=-5， 整理得(m-2)(k-4)=0，其中 k 是任意常数，故解得 m=2 将 x 代
16、入()的第二个方程，得 n(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11， 整理得(n-4)(k-4)=0，其中 k 是任意常数，故解得 n=4 将 x 代入()的第三个方程，得 (-5+2k)-2k=-t+1， 解得 t=6故()()同解 设二次型 经过正交变换 X=QY 化为标准形 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：由已知得，二次型矩阵 因为 所以 A，于是 A 的特征值为 1，1，4 思路一：由 得 a=2 得 b=1 思路二：由|E-A|= 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有 3
17、-(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)=(-1) 2 (-4) = 3 -6 2 +9-4 建立方程组 (2).求正交矩阵 Q（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：当 1 = 2 =1 时，由(E-A)X=0 得 当 3 =4 时，由(4E-A)X=0 得 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 则正交矩阵为 设二维随机变量(X，Y)的分布密度为 （分数：11.00）(1).求常数 c；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：因为 所以 (2).当 k=2 时，求二维随机变量(X，Y)在以原点为圆心，r 为半径的圆内的概率（分数：5.50）
18、_正确答案：()解析：解：当 k=2 时， 于是当 r2 时， 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 Y=x(0x1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：（分数：11.01）(1).随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：X 的概率密度与在 Y=x(0x1)的条件下，Y 的条件概率密度分别为 当 0yx1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 在其他(x，y)点处，有 f(x，y)=0，即 (2).Y 的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：当 0y1 时，Y 的概率密度为 当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0，因此 (3).概率 PX+Y1（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：如下图，得
