1、考研数学三-404 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=ln(1+x 2 )-x 2 ， （分数：4.00）A.低阶无穷小量B.高阶无穷小量C.同阶但不等价的无穷小量D.等价无穷小量2.已知 f(x)在 x=a，x=b 两点处 f(a)=f(b)，则 （分数：4.00）A.f“(x)-f“(b)B.f“(x)-2f“(b)C.f“(a)+2f“(b)D.f“(a)+f“(b)3.下列说法正确的是_ A若级数 与 都发散，则 一定发散 B若级数 与 都发散，则 一定发散 C若级数 收敛，则 一定收敛 D若级数 与 一个
2、收敛一个发散，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设在0，1上，f“(x)0，则_（分数：4.00）A.f“(1)f“(0)f(1)-f(0)B.f“(1)f(1)-f(0)f“(0)C.f(1)-f(0)f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0)-f(1)f“(0)5.下列矩阵中，A 和 B 相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 P -1 AP=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 F 1 (x)，F
3、2 (x)为随机变量的分布函数，f 1 (x)，f 2 (x)是密度函数，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)是密度函数B.f1(x)f2(x)是密度函数C.对任何满足 a+b=1 的实数 a，b，af1(x)+bf2(x)是密度函数D.F1(x)F2(x)是分布函数8.随机变量 X 1 ，X n 相互独立并同分布，均服从 N(， 2 )，则 服从_ AN(， 2 ) B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.设对任意 x0，曲线 y=f(x)的切线在 y 轴上的截距等于 （分数：4.00）11.曲线 x 2
4、 y+e y =2ln(x+1)+1 在点(0，0)处的切线方程为 1 （分数：4.00）12.设 D：x 2 +y 2 16，则 （分数：4.00）13.若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.求不定积分 （分数：10.00）_17.设变换 可把方程 简化为 （分数：10.00）_18.证明方程 （分数：10.00）_19.计算二重积分 （分数：10.00）_20.设线性方程组 （分数：11.00）_已知二次型 （分数
5、：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：3.67）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_设随机变量 Y 服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 （分数：11.01）(1).X 0 和 X 1 的联合分布律，（分数：3.67）_(2).E(X 0 -X 1 )；（分数：3.67）_(3).X 0 和 X 1 是否相关?（分数：3.67）_21.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3-y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 f X
6、(x)和条件概率密度 f Y|X (yx) （分数：11.00）_考研数学三-404 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=ln(1+x 2 )-x 2 ， （分数：4.00）A.低阶无穷小量B.高阶无穷小量C.同阶但不等价的无穷小量D.等价无穷小量 解析：解析 2.已知 f(x)在 x=a，x=b 两点处 f(a)=f(b)，则 （分数：4.00）A.f“(x)-f“(b)B.f“(x)-2f“(b)C.f“(a)+2f“(b) D.f“(a)+f“(b)解析：解析 3.下列说法正确的是_ A若级数 与 都发散，则 一
7、定发散 B若级数 与 都发散，则 一定发散 C若级数 收敛，则 一定收敛 D若级数 与 一个收敛一个发散，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 显然 都发散，但 收敛，A 不对 令 显然 与 都发散，但 收敛，B 不对 令 显然 收敛，但 发散，C 不对 若 收敛，且 收敛，则 一定收敛，若 收敛，则 收敛，故若 一个收敛一个发散，则 4.设在0，1上，f“(x)0，则_（分数：4.00）A.f“(1)f“(0)f(1)-f(0)B.f“(1)f(1)-f(0)f“(0) C.f(1)-f(0)f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0)-f(1)f“(0)解析：解析 由于 f
8、“(x)0，x0，1，则 f“(x)单调递增由拉格朗日中值定理可知，存在0，1，使 f(1)-f(0)=f“()，于是 f“(1)f“()f“(0)5.下列矩阵中，A 和 B 相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据 A 和 B 相似的必要条件 ()r(A)=r(B)()|A|=|B|() a = b ()a ii =b ii 易见 A，B，D 均不相似(理由依次为：秩，主对角线的和，特征值)，所以选 C下面证明 C 的正确性： 知矩阵 A 的特征值为 2，0，0，又因秩 r(0E-A)=1，有 n-r(0E-A)=2，即齐次方程组(OE-A)x=0 有
9、 2 个线性无关的解，亦即 =0 有 2 个线性无关的特征向量，从而 6.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，若 P=( 1 ，2 3 ，- 2 )，则 P -1 AP=_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 A 2 =3 2 ，有 A(- 2 )=3(- 2 )，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量，同理 2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量 当 P -1 AP=A 时，P 由 A 的特征向量所构成， 由 A 的特征值所构成
10、，且 P 与 A 的位置是对应一致的，即 7.设 F 1 (x)，F 2 (x)为随机变量的分布函数，f 1 (x)，f 2 (x)是密度函数，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)是密度函数B.f1(x)f2(x)是密度函数C.对任何满足 a+b=1 的实数 a，b，af1(x)+bf2(x)是密度函数D.F1(x)F2(x)是分布函数 解析：解析 可根据密度函数和分布函数的性质利用排除法求解 对于 A，因为 对于 B 和 C，取下列均匀分布密度： 于是 f 1 (x)f 2 (x)0，显然不是密度函数，否定 B 8.随机变量 X 1 ，X n 相互独立并同分布，均服从 N(， 2
11、 )，则 服从_ AN(， 2 ) B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 则 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析：解析 10.设对任意 x0，曲线 y=f(x)的切线在 y 轴上的截距等于 （分数：4.00）解析：f(x)=C 1 lnx+C 2 (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 曲线 y=f(x)在点x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f“(x)(X-x)， 令 X=0，得截距 Y=f(x)-xf“(x) 由题意得 即 11.曲线 x 2 y+e y =2ln(x+1)+1 在点(0，0)处的切线方程为 1 （分数：4
12、.00）解析：y=2x 解析 首先求曲线在点(0，0)处切线的斜率 y“(0)方程 x 2 y+e y =2ln(x+1)+1 两端对 x求导，得 12.设 D：x 2 +y 2 16，则 （分数：4.00）解析：80解析 13.若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：4.00）解析：24 解析 因为 A 与 B 相似，而相似矩阵具有相同的特征值，所以 B 的特征值为 又由 Bx= i x, i 0，有 可见矩阵 B -1 -E 有特征值 14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 （分数：4.00）解析： 解析 由于(X，Y)服从正态分布 说明 X 和 Y 相互独立且同分
13、布于 因此它们的线性函数 U=X-Y 服从正态分布 N(0，1). 应用随机变量函数的期望公式有 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 利用重要极限 16.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解： 17.设变换 可把方程 简化为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由树形图知 18.证明方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解： 令 f“(x)=0，得唯一驻点 x=e 又因为 所以 为 f(x)的极大值，且为最大值 又因为 由零点定理可知，f(x)在(0，+)上存在两个零点，又 则 f(x)
14、只能有两个零点，否则由罗尔定理可知 f“(x)必存在零点，矛盾综上可知，f(x)在(0，+)上有且仅有两个零点 即 19.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：区域 D 如下图所示 由 可得交点 引入极坐标 x=rcos，y=rsin，区域 D 的极坐标表示为 20.设线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：思路一：将与联立得非齐次线性方程组 若此非线性方程组有解，则与有公共解，且的解即为所求全部公共解，对的增广矩阵 作初等行变换得 当 a=1 时，有 ，方程组有解，即与有公共解，其全部公共解即为的通解，此时 方程组为齐次方程组，其基础解系为 所以与的全
15、部公共解为 k 为任意常数 当 a=2 时，有 ，方程组有唯一解，此时 故方程组的解为 即与有唯一公共解为 思路二：方程组的系数行列式为 当 a1 且 a2 时，只有唯一零解，但它不是的解，此时与没有公共解 当 a=1 时， 的解为 k 为任意常数 将其代入方程 x 1 +2x 2 +x 3 =1-1，知 也是的解 所以与的全部公共解为 k 为任意常数 当 a=2 时， 的解为 k 为任意常数 将其代入方程 x 1 +2x 2 +x 3 =2-1，得 k=-1，即与有唯一公共解为 已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：二次型对应矩阵为
16、 由二次型的秩为 2，知 (2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：由第一小题得 可求出特征值为 1 = 2 =2， 3 =0 解(2E-A)x=0，得特征向量为： 解(0E-A)x=0，得特征向量为： 由于 1 ， 2 已经正交，直接将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 令 Q= 1 ， 2 ， 3 ，即为所求的正交变换矩阵由 x=Qy，可化原二次型为标准形 (3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：由 得 y 1 =0，y 2 =0，y 3 =k(k
17、 为任意常数)， 从而所求解为： 设随机变量 Y 服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 （分数：11.01）(1).X 0 和 X 1 的联合分布律，（分数：3.67）_正确答案：()解析：解： 因为 所以 PY=0=e -1 ，P(Y=1)=e -1 P(X 0 =0，X 1 =0)=P(Y0，Y1)=P(Y=0)=e -1 ， P(X 0 =1，X 1 =0)=P(Y0，Y1)=P(Y=1)=e -1 ， P(X 0 =0，X 1 =1)=P(Y0，Y1)=0， P(X 0 =1，X 1 =1)=P(Y0，Y1)=P(Y1) =1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-2e -1 ， 所以 X
18、 0 和 X 1 的联合分布律如下： (2).E(X 0 -X 1 )；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：由第一小题可知，X 0 和 X 1 的边缘分布律如下： (3).X 0 和 X 1 是否相关?（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：因为 cov(X 0 ，X 1 )=E(X 0 X 1 )-E(X 0 )E(X 1 ) =1-2e -1 -(1-e -1 )(1-2e -1 ) =e -1 -2e -2 0， 所以 X 0 和 X 1 相关21.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3-y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 f X (x)和条件概率密度 f Y|X (yx) （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：如下图所示，区域 D 是一个底边平行于 x 轴的等腰梯形，其面积 因此(X，Y)的联合概率密度为 当 x0 或 x3 时，由于 f X (x)=0，因此条件密度 f Y|X (y|x)不存在
