1、考研数学三-405 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)设 f(a)=f(b)=0， （分数：8.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_1.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：4.00）_2.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_3.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：4.00）_4.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f“(x)|2证明： （分数：4.00）_5.设 f(x)在区间
2、a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_6.求曲线 （分数：4.00）_7.求曲线 y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积V （分数：4.00）_设 L：y=e -x (x0)（分数：6.00）(1).求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)（分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：6.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形
3、面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：3.00）_(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 （分数：3.00）_8.求由圆 x 2 +y 2 =2y 与抛物线 y=x 2 所围成的平面图形的面积 （分数：4.00）_9.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积 （分数：4.00）_10.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比 （分数：4.00）_11.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 和 C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平
4、行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 求曲线 C 2 的方程 （分数：4.00）_12.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a （分数：4.00）_13.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：4.00）_14.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积
5、 （分数：4.00）_15.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：4.00）_16.求由曲线 y=4-x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积 （分数：4.00）_17.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：4.00）_18.设曲线 （分数：4.00）_19.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小 （分数：4.00）_设直线 y=kx 与曲线 （分数：4.00
6、）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_考研数学三-405 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)设 f(a)=f(b)=0， （分数：8.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 1.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=x 2 f(x)，由积分
7、中值定理得 其中 即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) 2.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0，而 所以 即3.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 F(0)=F()=0，所以存在 x 1 (0，)，使得 F“(x 1 )=0，即 f(x 1 )sinx 1 =0，又因为 sinx 1 0，所以 f(x
8、 1 )=0 设 x 1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，)且 xx 1 时，有 sin(x-x 1 )f(x)恒正或恒负，于是 而 矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设 f(x 1 )=f(x 2 )=0，x 1 ，x 2 (0，)且x 1 x 2 ，由罗尔中值定理，存在 (x 1 ，x 2 ) 4.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f“(x)|2证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f“( 1 )x，其中 0 1 x， f(x)-f(2)=f“( 2 )(x-2
9、)，其中 x 2 2，于是 从而 5.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 由泰勒公式得 因为 f“(x)在a，b上连续，所以存在 1 ， 2 (a，b)，使得 从而 6.求曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 7.求曲线 y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积V （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设 L：y=e -x (x0)（分数：6.00）(1).求由 y=e -x 、x 轴
10、、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：6.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 S 1 (c)=cf(c)， 即证明 S 1 (c)=S 2 (c)，或 根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 “(c)=0，即 (2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 （分
11、数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令8.求由圆 x 2 +y 2 =2y 与抛物线 y=x 2 所围成的平面图形的面积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 9.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 则双纽线的极坐标形式为 第一卦限的面积为 10.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设左边的面积为 S 1 ，右边的面积为 S 2 ， 11.设
12、C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 和 C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 求曲线 C 2 的方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由题设条件：C：y=x 2 ，C 1 ： 令 C 2 =x=f(y)，P 点坐标为(x，y)， 所以 因为 PC，所以有 即 两边对 x 求导，得 即 从而 C 2 的方程为 12.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在
13、 x轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设曲线 y=a+x-x 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 移项得 因为 0，所以 4a+2- 2 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+x-x 3 与 x 轴的交点，所以有 +- 3 =0，从而有 13.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 取x，x+dx 1，2，dv=2x|(x-1)(x-2)|dx=-2x(x-1)(x-2)dx，14.设平面图形 D 由 x 2 +y 2
14、2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 15.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 取x，x+dx 0，1， dv 1 =3 2 -(x 2 -1) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx， x，x+dx 1，2， dv 2 =3 2 -(1-x 2 ) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx， 则所求体积为 16.求由曲线 y=4-x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积 （分
15、数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 取x，x+dx -2，2，则 dV=2(3-x)(4-x 2 )dx， 方法二 取y，y+dy 0，4， 17.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y-a 2 =2a(x-a)，即 y=2ax-a 2 ， 由题意得 解得 a=1， 则切线方程为 y=2x-1，旋转体的体积为 18.设曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4
16、-a曲线可化为 对任意的x，x+dx 0，a， 于是 根据对称性，有 于是 令 又 V“(2)0，所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 19.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2-a 因为 a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为 所以 设直线 y=kx 与曲线 （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由方程组 得直线与曲线交点为 因为 V“(k)0，所以函数 V(k)当 时取最小值，且最小值为 (2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解
