1、考研数学三-409 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是_（分数：4.00）A.10B.20C.30D.402.设 （分数：4.00）A.f(x)在 x=0 处不连续B.f(x)在 x=0 处连续但不可导C.f(x)在 x=0 处可导，但其导函数不一定连续D.f(x)在 x=0 处导函数连续3.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.a=1，b 为任意实数B.a1，b 为任意实数C.b=-1，a 为任意
2、实数D.b-1，a 为任意实数4.设级数 （分数：4.00）A.当 a 时，级数收敛B.当 时，级数收敛C.当 时，级数收敛D.当 时，级数收敛5.设向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 2 ，且 i (i=1，2，s)均可由() 1 ， 2 ， s 线性表出，则_（分数：4.00）A.向量组 1+1，2+2，s+s 的秩为 r1+r2B.向量组 1-1，2-2，s-s 的秩为 r1-r2C.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1+r2D.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r16.设 A 为 45 矩阵，且 A 的行向量线
3、性无关，则_ AA 的列向量组线性无关 B方程组 Ax=b 有无穷多解 C方程组 Ax=b 的增广矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的分布函数为 又知 ，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 5 ，独立同分布且其方差存在，记 W=X 1 +X 2 +X 3 ，Z=X 3 +X 4 +X 5 ，则 W 和 Z 的相关系数 WZ 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 y“+y “2 =0 满足初始条件 y| x=0 =1, （分数：4.00
4、）10. （分数：4.00）11.设二元函数 z=xe x+y +(x+1)ln(1+y)，则 dz| (1，0) = 1 （分数：4.00）12.设函数 f(x)具有连续的二阶导数，点(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)上的拐点，则 （分数：4.00）13.设 A 为三阶方阵，|A|=4，则|(A*)*-2A| 1 （分数：4.00）14.设平面区域 D 由曲线 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.若 u=u(x，y)具有连续的二阶偏导数，证明 u(x，y)=f(x)(y)的充要条件是： （分数：10.00）_16.设 f(x)可微，f(0)=0，f“
5、(0)=1， （分数：10.00）_设 f(x)在-2，2上二阶可导（分数：11.00）(1).若|f(x)|1(x-2，2)，又 ，证明： （分数：5.50）_(2).若 f“(x)0(x(-2，2)，又 a(-2，2)使得 f“(a)0，证明： （分数：5.50）_17.设 ，且 P0，判别级数 （分数：10.00）_设抛物线 （分数：9.99）(1).求曲线过点(1，0)的切线；（分数：3.33）_(2).求曲线、切线及 x 轴所围成的平面图形的面积；（分数：3.33）_(3).求第二小题中图形绕 x、y 轴旋转所得旋转体的体积（分数：3.33）_18.设 1 =(1，2，0) T ，
6、2 =(1，a+2，-3a) T ， 3 =(-1，-b-2，a+2b) T ，=(1，3，-3) T ，试讨论当 a，b 为何值时： (1) 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2) 可由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式 （分数：11.00）_设 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型为标准形，并写出所作的正交变换及标准形；（分数：5.50）_(2).是否存在可逆阵 W，使得 WW T =A其中 A 是二次型的对应矩阵，若存在，求 W，若不存在，说明理由（分数：5.50）_19.设 X
7、 与 Y 的概率密度分别为 且 X 与 Y 相互独立，求 （分数：11.00）_20.设 XN(0， )，YN(0， （分数：10.00）_考研数学三-409 答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是_（分数：4.00）A.10B.20C.30D.40 解析：解析 若 ，P=P-80，无意义； 若 2.设 （分数：4.00）A.f(x)在 x=0 处不连续B.f(x)在 x=0 处连续但不可导C.f(x)在 x=
8、0 处可导，但其导函数不一定连续 D.f(x)在 x=0 处导函数连续解析：解析 3.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.a=1，b 为任意实数B.a1，b 为任意实数C.b=-1，a 为任意实数D.b-1，a 为任意实数 解析：解析 若 存在且 ，则称 x 0 是 f(x)的可去间断点 因为 x=0 是 f(x)的可去间断点，所以 为保证 4.设级数 （分数：4.00）A.当 a 时，级数收敛B.当 时，级数收敛 C.当 时，级数收敛D.当 时，级数收敛解析：解析 当 时， 所以级数与 收敛性相同，而 是以 为公比的几何级数，且当 5.设向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r
9、1 ，向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 2 ，且 i (i=1，2，s)均可由() 1 ， 2 ， s 线性表出，则_（分数：4.00）A.向量组 1+1，2+2，s+s 的秩为 r1+r2B.向量组 1-1，2-2，s-s 的秩为 r1-r2C.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1+r2D.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1 解析：解析 因向量组 A 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 中任一向量及向量组 B 1 - 1 ， 2 - 2 ， s - s 中任一向量均可由 1 ， 2 ， s 线性表出，故秩均应r 1 同样向量组 C 及 D 中，因 i (
10、i=1，2，s)均可由 1 ， 2 ， s 线性表出，故应有 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s )=r 1 ，故应选D6.设 A 为 45 矩阵，且 A 的行向量线性无关，则_ AA 的列向量组线性无关 B方程组 Ax=b 有无穷多解 C方程组 Ax=b 的增广矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为7.设随机变量 X 的分布函数为 又知 ，则_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于分布函数 F(x)是右连续函数，因此有 F(-1+0)=F(-1)即 由于 F(1)=PX1=PX1+PX=1，且 P
11、X1=F(1-0)=a+b 因此可得方程 8.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 5 ，独立同分布且其方差存在，记 W=X 1 +X 2 +X 3 ，Z=X 3 +X 4 +X 5 ，则 W 和 Z 的相关系数 WZ 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 D(X i )= 2 ，i=1，2，5，则 Cov(W，Z)=Cov(X 1 +X 2 +X 3 ，X 3 +X 4 +X 5 )=Cov(X 3 ，X 3 )= 2 ，于是 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 y“+y “2 =0 满足初始条件 y| x=0 =1, （分数：4.00
12、）解析： 或 y 2 =1+x 解析 这是特殊的二阶方程令 y“=u，并取 y 为新的自变量，则 ，原方程化为 由初值条件知 u0，故有 分离变量得 积分得 ln(uy)=lnC 1 ，uy=C 1 ，由于 y=1 时， ，于是 分离变量再积分得 y 2 =x+C 2 ，由于 x=0 时，y=1，故 C 2 =1，于是所求特解为 10. （分数：4.00）解析：1 解析 11.设二元函数 z=xe x+y +(x+1)ln(1+y)，则 dz| (1，0) = 1 （分数：4.00）解析：2edx+(e+2)dy 解析 求二元函数偏导数时，可将一变量暂时看作定值 对 x 求偏导数(此时 y 为
13、定值)得 对 y 求偏导数(此时 x 为定值)得 于是 x 的全微分为 12.设函数 f(x)具有连续的二阶导数，点(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)上的拐点，则 （分数：4.00）解析：0 解析 由题设 f“(x 0 )=0，根据洛必达法则，有 13.设 A 为三阶方阵，|A|=4，则|(A*)*-2A| 1 （分数：4.00）解析：32 解析 |(A*)*-2A|=|A| 3-2 A-2A|=|2A|=2 3 |A|=3214.设平面区域 D 由曲线 （分数：4.00）解析： 解析 区域 D 的面积 故(X，Y)的联合密度为： (X，Y)关于 X 的边缘概率密度为： 于是 三、
14、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.若 u=u(x，y)具有连续的二阶偏导数，证明 u(x，y)=f(x)(y)的充要条件是： （分数：10.00）_正确答案：()解析：必要性设 u(x，y)=f(x)(y)，则 故得 充分性由已知及 令 ，代入上式得 ，将此等式变形得 即 ，从而得 亦即 16.设 f(x)可微，f(0)=0，f“(0)=1， （分数：10.00）_正确答案：()解析：对定积分作变量代换：令 x 2 -t 2 =u，则 ，且 F“(x)=xf(x 2 )， 于是由洛必达法则得 设 f(x)在-2，2上二阶可导（分数：11.00）(1).若|f(x)|1(x-2，2)，
15、又 ，证明： （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 令 ，要证 x 0 (-2，2)，F“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，我们用前面分析中指出的方法(3)来证明 由中值定理， (-2，0)，使得 同理， 0，2使得 在，上的最大值必在(，)中某点 x 0 取到，于是 F“(x 0 )=0，即 f“(x 0 )(f“(x 0 )+3f 2 (x 0 )=0 知 f“(x 0 )0，否则 (2).若 f“(x)0(x(-2，2)，又 a(-2，2)使得 f“(a)0，证明： （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 令 ，要证 x 0 (-2，2)，使得 F“(x 0 )=0我们
16、用分析中提到的方法(2)证明 按假设条件：F“()=f“()f“()+3f 2 ()0 若等号成立，则命题得证若 F“()0，则必 (-2，2)使 F“()0，否则对 x(-2，2)，F“(x)0 与 F(-2)F(2)矛盾 因 F“()，F“()异号， x 0 (，)使得 F“(x 0 )=f“(x 0 )(f“(x 0 )+3f 2 (x 0 )=0， 即 f“(x 0 )+3f 2 (x 0 )=0 解析 要证 x 0 (-2，2)使得 f“(x 0 )+3f 2 (x 0 )=0 在(-2，2)内有零点 在(-2，2)内有零点 x 0 且 f“(x 0 )0 在(-2，2)内有零点 x
17、 0 且 f“(x 0 )0 要证 F“(x)在(-2，2)内有零点，常用以下方法 (1)证明 ，(-2，2)，使得 F()=F()； (2)证明 ，(-2，2)，使得 F“()F“()0； (3)证明 17.设 ，且 P0，判别级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由于 ，从而可知该级数收敛设抛物线 （分数：9.99）(1).求曲线过点(1，0)的切线；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：设切点为 ，则切线方程为 (x-x 0 )由于过点(1，0)，所以 x 0 =3，y 0 =1，切线方程为 (2).求曲线、切线及 x 轴所围成的平面图形的面积；（分数：3.33）_正确答
18、案：()解析：解：(3).求第二小题中图形绕 x、y 轴旋转所得旋转体的体积（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：18.设 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，-3a) T ， 3 =(-1，-b-2，a+2b) T ，=(1，3，-3) T ，试讨论当 a，b 为何值时： (1) 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2) 可由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式 （分数：11.00）_正确答案：()解析：设存在数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +
19、k 3 3 = 记 A=( 1 ， 2 ， 3 )对矩阵(A，)施以初等行变换，有 (1)当 a=0 时，有 可知 r(A)r(A，)故方程组无解， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 (2)当 a0，且 ab 时，有 r(A)=r(A，)=3，方程组有唯一解： 此时 可由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示，其表示式为 (3)当 a=b0 时，对矩阵(A，)施以初等行变换，有 r(A)=r(A，)=2，方程组有无穷多解，其全部解为 ，k 3 =c，其中 c 为任意常数 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为 设 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型为标准形
20、，并写出所作的正交变换及标准形；（分数：5.50）_正确答案：()解析： 得 1 = 2 =1， 3 =4， 1 =1 时， 得 1 =1，1，1， 2 =1，-1，0 (取 2 时，考虑到既满足方程，是 =1 对应的特征向量，又和 1 正交) 得 3 =1，1，-2，将 1 ， 2 ， 3 单位化，并合并成正交阵，得 令 x=Ty，则 (2).是否存在可逆阵 W，使得 WW T =A其中 A 是二次型的对应矩阵，若存在，求 W，若不存在，说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析： 故 A=WW T ，其中 19.设 X 与 Y 的概率密度分别为 且 X 与 Y 相互独立，求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：用分布函数法先求分布函数 F Z (x)，再用导数求 f z (z) 20.设 XN(0， )，YN(0， （分数：10.00）_正确答案：()解析：E(X)=E(Y)=0， (1)E(U)=a 1 E(X)+a 2 E(y)=0，E(V)=0， 由于 U，V 都是 X，Y 的线性组合，都服从正态分布，所以 (2) (3) UV 0，U，V 相关，U，V 不独立 UV =0，U，V 不相关，因为 U，V 都服从正态分布，独立与不相关等价，所以 U，V 相互独立 (4)
