1、考研数学三-411 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：18，分数：50.00)1. （分数：2.50）2.级数 （分数：2.50）3.设 （分数：2.50）4.函数 （分数：2.50）5.级数 （分数：2.50）6.幂级数 （分数：2.50）7.幂级数 （分数：2.50）8. （分数：2.50）9.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1 （分数：3.00）10.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 （分数：3.00）11.连续函数 f(x)满足 （分数：3.00）12.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+x)=y(x)，
2、且 （分数：3.00）13. （分数：3.00）14.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1 （分数：3.00）15.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1 （分数：3.00）16.设连续函数 f(x)满足 （分数：3.00）17.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1 （分数：3.00）18.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1 （分数：3.00）二、选择题(总题数：20，分数：50.00)19.若正项级数 收敛，则 （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定20.设级数 发散(a
3、 n 0)，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则 A发散 B （分数：2.50）A.B.C.D.21. （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 a 有关22.若级数 收敛(u n 0)，则下列结论正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.23.设 收敛，则下列正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.24.设常数 k0，则级数 （分数：2.50）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性与 k 有关25.设 则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.26.设 a n 0(n=1，2，)且 收敛，又 则级数
4、（分数：2.50）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 k 有关27.设 收敛，则下列级数必收敛的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.28.下列说法正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.29.下列结论正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.30.设级数 都发散，则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.31.下列命题正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.32.设 a 为任意常数，则级数 （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有关33.下列叙述正确的是
5、_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.34. （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定35.设 k0，且级数 收敛，则级数 （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 k 的取值有关36.设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，且 R 1 R 2 ，设 （分数：2.50）A.R0=R2B.R0=R1C.R0R2D.R0R237.设 则级数 的收敛半径为_ A1 B C D （分数：2.50）A.B.C.D.38.设 （分数：2.50）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定考研数学三-411 (1)答案解析(总分：1
6、00.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：18，分数：50.00)1. （分数：2.50）解析：8解析 2.级数 （分数：2.50）解析：-2，2)， 解析 由 得收敛半径为 R=2，当 x=-2 时级数收敛，当 x=2 时级数发散，故级数 的收敛域为-2，2)令 则 3.设 （分数：2.50）解析： 解析 4.函数 （分数：2.50）解析： 解析 5.级数 （分数：2.50）解析：xln(1-x 2 )+x 3 -x 3 ln(1-x 2 )(-1x1) 解析 6.幂级数 （分数：2.50）解析： 解析 7.幂级数 （分数：2.50）解析：(0，4)解析 令 x-2=t，对级数
7、因为 所以收敛半径为 R=2，当 t=2 时， 发散，所以8. （分数：2.50）解析：2 解析 9.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1 （分数：3.00）解析：(x+C)|cosx| 解析 通解为 y=cosxe tanxdx dx+Ce -tanxdx =(x+C)|cosx|10.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 （分数：3.00）解析：2x 解析 11.连续函数 f(x)满足 （分数：3.00）解析：2e 3x 解析 12.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+x)=y(x)，且 （分数：3.00）解析：解析 由 得 或者 解得 再由 y(0)=2，得
8、 C=2，所以13. （分数：3.00）解析： 解析 14.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1 （分数：3.00）解析：ln(xy)=Cx解析 令 xy=u， 代入原方程得 分离变量得15.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1 （分数：3.00）解析：解析 令 则 代入原方程得 两边积分得 u-lnu-lnx-lnC=0，解得16.设连续函数 f(x)满足 （分数：3.00）解析：2e 2x -e x 解析 两边求导数得 f“(x)-2f(x)=e x ，解得 17.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1 （分数：3.00）解析： 解析 令
9、 y“=p，则 两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y“=C 1 (2x+3) 2 ， 于是 18.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1 （分数：3.00）解析： 解析 令 y“=p，则 即 解得 ln(1+p 2 )=lny 2 +lnC 1 ，则 1+p 2 =C 1 y 2 ，由 y(0)=1，y 1 (0)=0 得 由 y(0)=1 得 C 2 =0，所以特解为 二、选择题(总题数：20，分数：50.00)19.若正项级数 收敛，则 （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性不确定解析：解析 20.设
10、级数 发散(a n 0)，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则 A发散 B （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 21. （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 a 有关解析：解析 因为 而 收敛，所以22.若级数 收敛(u n 0)，则下列结论正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 令 S n =u 1 +u 2 +u n ，因为 收敛，所以 存在且 令 S“ n =(u 1 +u 2 )+(u 2 +u 3 )+(u n +u n+1 )=2S n -u 1 +u n+1 ， 于是 23.设 收敛，则下列正确
11、的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 24.设常数 k0，则级数 （分数：2.50）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.敛散性与 k 有关解析：解析 25.设 则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 26.设 a n 0(n=1，2，)且 收敛，又 则级数 （分数：2.50）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 k 有关解析：解析 27.设 收敛，则下列级数必收敛的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 收敛，因为 S n =2(u 1 +u 2 +u n )-u 1 +u n+1 ，而级
12、数 收敛，所以 存在且 于是 存在，由级数收敛的定义， 28.下列说法正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 29.下列结论正确的是_ A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 30.设级数 都发散，则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 选 D 因为 为正项级数，若 收敛， 因为 0|u n |u n |+|v n |，0|v n |u n |+|v n |，根据正项级数的比较审敛法知， 都收敛，即 都绝对收敛， 31.下列命题正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 选
13、 D 因为 收敛，所以 从而存在 M0，使得|u n |M，于是|u n v n |Mv n ，因为正项级数 收敛，根据比较审敛法， 收敛，即 32.设 a 为任意常数，则级数 （分数：2.50）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有关解析：解析 33.下列叙述正确的是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 34. （分数：2.50）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性不确定解析：解析 因为 又 单调减少且以零为极限，由 Leibniz 审敛法，级数 收敛而 且 发散，所以 35.设 k0，且级数 收敛，则级数 （分数：2.50）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 k 的取值有关解析：解析 36.设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，且 R 1 R 2 ，设 （分数：2.50）A.R0=R2B.R0=R1 C.R0R2D.R0R2解析：37.设 则级数 的收敛半径为_ A1 B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 38.设 （分数：2.50）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不确定解析：解析 因为 在 x=-1 处收敛，即 收敛，所以 的收敛半径 R2，故当 x=2 时，|2-1|R，所以级数
