1、考研数学三-411 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 _ A1 B-1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.33.设函数 f(x)可导，则 _ A2f“(x) B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 y“-4y“+4y=xe 2x 具有如下形式的特解(其中 A，B 为待定常数)_ A.(Ax+B)e2x B.(Ax2+Bx)e2x C.(Ax3+Bx2)e2x D.Ax3e2x（分数：4.00）A.B.C.D.5.设
2、A 为 n(n2)阶方阵，A*为 A 的伴随矩阵，若对任一 n 维列向量 ，均有 A*=0，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数 k 必定满足_（分数：4.00）A.k=0B.k=1C.k0D.k=n6.已知 A 为三阶方阵，1，1，2 是 A 的三个特征值， 1 ， 2 ， 3 分别为对应的三个特征向量，则_（分数：4.00）A.1，2，3 必为矩阵 2E-A 的特征向量B.1-2 必为矩阵 2E-A 的特征向量C.1+3 不是矩阵 2E-A 的特征向量D.1，2 不是矩阵 2E-A 的特征向量，3 必为矩阵 2E-A 的特征向量7.设随机变量 X 1 ，X 2 都服从区间
3、0，4上的均匀分布，且 PX 1 3，X 2 3=1，则 PX 1 3，X 2 3=_ A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.假设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定独立B.如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定不独立C.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定都不服从正态分布D.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则 X 与 Y 不一定都不服从正态分布二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f，g 均可微，z=f(xy，lnx+g(xy)，则 （分数：
4、4.00）10.某商品的需求量 Q 与价格 p 的函数关系为 Q=ap b ，其中 a 与 b 为常数，且 a0，则需求量对价格 p的弹性是 1 （分数：4.00）11.设函数 f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，则 （分数：4.00）12.曲线 （分数：4.00）13.已知 （分数：4.00）14.设随机变量 X 服从区间a，b上的均匀分布，E(X k )=k 2 ，k=1，2，则 E(aX+b) 2 = 1. （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， （分数：10.00）_设 f(x)为
5、奇函数，在(-，+)内连续且单调增加， （分数：10.00）(1).F(x)为奇函数；（分数：5.00）_(2).F(x)在0，+)上单调减少（分数：5.00）_16.设 1x+时， ，且 f“(x)连续，试证 （分数：10.00）_17.设函数 f(t)满足 （分数：10.00）_18.设 f(x)在a，b上具有二阶连续导数，且 f(a)=f(b)，f“(a)0，f“(b)0，试证：在(a，b)内至少存在一点 ，使 f“()=0 （分数：10.00）_设二次型 （分数：11.01）(1).将上述二次型表示成矩阵形式；（分数：3.67）_(2).用正交变换化上述二次型成标准形，并写出所作正交变
6、换及标准形；（分数：3.67）_(3).将上述二次型的对应矩阵 A 表示成 A=WW T ，其中 W 是三阶方阵（分数：3.67）_设 （分数：11.00）(1).计算 A 2 ，并将 A 2 用 A 和 E 表出；（分数：5.50）_(2).设 A 是二阶方阵，当 k2 时，证明 A k =0 的充分必要条件是 A 2 =0（分数：5.50）_已知(X，Y)的联合概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度函数；（分数：3.67）_(2).X 与 Y 是否相互独立?说明理由；（分数：3.67）_(3).求 （分数：3.67）_从正态总体 N(， 2
7、)中抽取一容量为 16 的样本，S 2 为样本方差，这里 和 2 均未知，求：（分数：11.00）(1). （分数：5.50）_(2).D(S 2 )（分数：5.50）_考研数学三-411 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 _ A1 B-1 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 2.函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 注意 x=1 不是垂直渐近线 本题考查渐近线的求法3.设函数 f(x)可导，则 _ A2f“(x) B C （分数：4.00）A.B
8、.C. D.解析：解析 4.微分方程 y“-4y“+4y=xe 2x 具有如下形式的特解(其中 A，B 为待定常数)_ A.(Ax+B)e2x B.(Ax2+Bx)e2x C.(Ax3+Bx2)e2x D.Ax3e2x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 特征方程为 2 -4+4=(-2) 2 =0，=2 为二重根，故特解形式为 x 2 (Ax+B)e 2x ，应选 C 本题考查二阶线性微分方程的解的结构5.设 A 为 n(n2)阶方阵，A*为 A 的伴随矩阵，若对任一 n 维列向量 ，均有 A*=0，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数 k 必定满足_（分数：4.
9、00）A.k=0B.k=1C.k0 D.k=n解析：解析 由题设必有 A*=0，从而 r(A)n-1，故 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数 k1 本题考查齐次线性方程组的基础解系6.已知 A 为三阶方阵，1，1，2 是 A 的三个特征值， 1 ， 2 ， 3 分别为对应的三个特征向量，则_（分数：4.00）A.1，2，3 必为矩阵 2E-A 的特征向量 B.1-2 必为矩阵 2E-A 的特征向量C.1+3 不是矩阵 2E-A 的特征向量D.1，2 不是矩阵 2E-A 的特征向量，3 必为矩阵 2E-A 的特征向量解析：解析 利用特征值的定义 A i = i i ，i=1，2，3，有(2E-
10、A) i =(2- i ) i ，i=1，2，3可见 1 ， 2 ， 3 为 2E-A 的特征向量，故选 A 本题考查特征值和特征向量的定义7.设随机变量 X 1 ，X 2 都服从区间0，4上的均匀分布，且 PX 1 3，X 2 3=1，则 PX 1 3，X 2 3=_ A0 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 8.假设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定独立B.如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定不独立C.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定都不服从正
11、态分布D.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则 X 与 Y 不一定都不服从正态分布 解析：解析 由二维正态分布的性质知，如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关 =0，而二维正态分布中的 未必为零，故 A，B 不正确. 对于(X，Y)不服从二维正态分布的，其边缘分布可以都是正态分布，例如： (X，Y)不服从二维正态分布，且 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f，g 均可微，z=f(xy，lnx+g(xy)，则 （分数：4.00）解析：f“ 2 解析 10.某商品的需求量 Q 与价格 p 的函数关系为 Q=ap b ，其中 a 与 b 为常数，
12、且 a0，则需求量对价格 p的弹性是 1 （分数：4.00）解析：b 解析 由弹性公式 得 弹性为 11.设函数 f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，则 （分数：4.00）解析：2f x (a，b) 解析 由偏导数定义，添项并求极限得 12.曲线 （分数：4.00）解析： 解析 因为 13.已知 （分数：4.00）解析： 解析 14.设随机变量 X 服从区间a，b上的均匀分布，E(X k )=k 2 ，k=1，2，则 E(aX+b) 2 = 1. （分数：4.00）解析：16 解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a
13、)f(b)0， （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 需证存在 (a，b)，使 f“()-kf()=0，两边同乘 e -k ，得 e -k f“()-ke -k f()=0，即e -kx f(x)“| x= =0，为此设 F(x)=e -kx f(x)， 不妨假定 f(a)0，则 f(b)0， 又因 e -kx 0，故有：F(a)0，F(b)0， 由连续函数的介值定理知，存在 x 1 ，x 2 使 F(x 1 )=F(x 2 )=0，且 设 f(x)为奇函数，在(-，+)内连续且单调增加， （分数：10.00）(1).F(x)为奇函数；（分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 (
14、2).F(x)在0，+)上单调减少（分数：5.00）_正确答案：()解析： 由于 f(x)为奇函数且单调增加，当 x0 时，f(x)0，故 16.设 1x+时， ，且 f“(x)连续，试证 （分数：10.00）_正确答案：()解析：当 1x+，由 f“(x)0 知 f(x)单调增加，又 得 即 这样 x n =f(n)单调增加有上界，由数列极限收敛准则知 17.设函数 f(t)满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 得积分方程为 方程两边求导 从而有 f“(t)+ae t -f(t)+f 3 (t)=ae t ，即 f“(t)=f(t)-f 3 (t)=f(t)1-f 2 (t) 由
15、 得 由 f(0)=a，得 故当 a1 时， 即 18.设 f(x)在a，b上具有二阶连续导数，且 f(a)=f(b)，f“(a)0，f“(b)0，试证：在(a，b)内至少存在一点 ，使 f“()=0 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因为 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)，由罗尔定理知存在 1 (a，b)，使 f“( 1 )=0 在a， 1 ， 1 ，b上 f“(x)满足拉格朗日中值定理条件，故存在 2 (a， 1 )，使 f“( 2 )= ，存在 3 ( 1 ，b)，使 ，又 f“(x)在 2 ， 3 上连续，由零点定理知，至少存在一点 ( 2 ， 3 ) 设二次
16、型 （分数：11.01）(1).将上述二次型表示成矩阵形式；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(2).用正交变换化上述二次型成标准形，并写出所作正交变换及标准形；（分数：3.67）_正确答案：()解析： 特征值为： 1 =9， 2 = 3 =6 对 1 =9，解方程组 ，得 1 =(1，1，1) T ； 对 2 = 3 =6，解方程组 得 2 =(1，-1，0) T ， 3 =(1，1，-2) T (取 3 时，已考虑到 3 与 2 正交) 将 1 ， 2 ， 3 单位化，得正交矩阵 且 (3).将上述二次型的对应矩阵 A 表示成 A=WW T ，其中 W 是三阶方阵（分数：3.67）_
17、正确答案：()解析： 其中 设 （分数：11.00）(1).计算 A 2 ，并将 A 2 用 A 和 E 表出；（分数：5.50）_正确答案：()解析： 令 A 2 =xA+yE，得 (2).设 A 是二阶方阵，当 k2 时，证明 A k =0 的充分必要条件是 A 2 =0（分数：5.50）_正确答案：()解析：充分性：A 2 =0，显然有 A k =0(k2)，充分性成立 必要性：A k =0，|A k |=|A| k =0，|A|=0，即 ad-bc=0 由第一小题知 A 2 =(a+d)A+0E，得 A k =(a+d) k-1 A=0， 则 a+d=0 或 A=0，从而有 A 2 =
18、(a+d)A=0 注：必要性也可利用 r(A)=1 的特点来证，A 是 22 矩阵，|A|=0，故 r(A)1 r(A)=0 时，有 A=0，A 2 =0 r(A)=1 时，A= T ，A 2 =( T ) T = T A A k =( T ) k-1 A=0 得 T =0 或 A=0，从而有 A 2 =0已知(X，Y)的联合概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 0y1 时， (2).X 与 Y 是否相互独立?说明理由；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(3).求 （分数：3.67）_正确答案：()解析：从正态总体 N(， 2 )中抽取一容量为 16 的样本，S 2 为样本方差，这里 和 2 均未知，求：（分数：11.00）(1). （分数：5.50）_正确答案：()解析：由于 ，所以 (2).D(S 2 )（分数：5.50）_正确答案：()解析：
