1、考研数学三-412 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.间断B.连续，但不可导C.可导，且 f“(0)=0D.导数连续2.下列选项正确的是_ A若 收敛，则 必收敛 B若 u n 0 单调下降，即 u n+1 u n (n=1，2，)，且 必收敛 C若 u n 0(n=1，2，)，且 收敛，则 必收敛 D若 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设区域 D：1x 2 +y 2 2 2 ，f 是区域 D 上的连续函数，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 等于_ A
2、0 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.5.n 阶实对称矩阵 A 正定的充要条件是_ A.A 的所有特征值非负 B.r(A)=n C.A 的所有 k 阶子式为正(1kn) D.A-1为正定矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 n 维(n2)向量，则_（分数：4.00）A.1，2 线性无关，1，2 线性无关，必有 1，1，2，2 线性无关B.1，2 线性相关，1，2 线性相关，必有 1，1，2，2 线性相关C.1，2 线性无关，1，2 线性相关，必有 1，1，2，2 线性无关D.1，2 线性相关，1，2 线性无关，则 1，1，2，2 可能线性相
3、关，可能线性无关7.已知随机变量 X 的密度函数 （分数：4.00）A.与 a 无关，随 的增大而增大B.与 a 无关，随 的增大而减小C.与 无关，随 a 的增大而增大D.与 无关，随 a 的增大而减小8.设随机变量 X 与 Y 分别服从正态分布 N(-1，2)与 N(1，2)，且 X 与 Y 不相关，aX+Y 与 X+bY 亦不相关，则一定有_（分数：4.00）A.a=b=0B.a=b0C.ab=0D.a+b=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.已知某厂生产 x 件产品的成本为 （分数：4.00）11.设 g(x)处处连续，且 （分数：4.00）12.
4、y“+y“=xe -x 的通解是 1 （分数：4.00）13.已知 （分数：4.00）14.设 X，Y 为相互独立的随机变量，且 XN(1，2)，Y 服从参数 =3 的泊松分布，则 D(XY)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.设可微函数 f(x)，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=f(x)，且 f(0)=0，g(x)0，又设 （分数：10.00）_17.设 x-1，证明：当 0a1 时，(1+x) a 1+ax；而当 a0 或 a1 时，(1+x) a 1+ax （分数：10.00）_18.已知 a 0 =3
5、，a 1 =5，且对任何自然数 n1， 证明当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_19.计算二重积分 （分数：10.00）_设 A 是三阶矩阵， 1 ， 1 ， 3 是线性无关的三维向量组，且 A 1 = 2 ，A 2 1 = 3 ，A 3 1 = 1 （分数：11.00）(1).证明：A 3 =E；（分数：5.50）_(2).若 1 =(2，-2，1) T ， 2 =(1，1，-1) T ， 3 =(1，2，-2) T ，求 A（分数：5.50）_设 A，B 都是三阶矩阵，满足 AB=A-B若 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：11.00）(1). i -
6、1(i=1，2，3)；（分数：5.50）_(2).存在可逆矩阵 C，使 C -1 AC，C -1 BC 同时为对角矩阵（分数：5.50）_已知 X，Y 服从相同的分布 （分数：11.01）(1).求出(X，Y)的联合分布律；（分数：3.67）_(2).求出 X，Y 的相关系数；（分数：3.67）_(3).讨论 X，Y 的相关性，独立性（分数：3.67）_设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).确定常数 a；（分数：3.67）_(2).求 的极大似然估计量；（分数：3.67）_(3).第二小题中求出的估计量是否为 的无偏估计量?（分数：3.67）_考研数学三-412 答案解析(
7、总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.间断B.连续，但不可导 C.可导，且 f“(0)=0D.导数连续解析：解析 由于 是有界变量，因此 f(x)在 x=0 处连续，故 A 是错误的注意到 极限不存在，这是由于2.下列选项正确的是_ A若 收敛，则 必收敛 B若 u n 0 单调下降，即 u n+1 u n (n=1，2，)，且 必收敛 C若 u n 0(n=1，2，)，且 收敛，则 必收敛 D若 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 收敛，故必有 从而当 n 充分大时，一定有 ，由比较判别法知3.
8、设区域 D：1x 2 +y 2 2 2 ，f 是区域 D 上的连续函数，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 区域 D 为圆环域，故利用坐标有 所以4.设 等于_ A0 B1 C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 5.n 阶实对称矩阵 A 正定的充要条件是_ A.A 的所有特征值非负 B.r(A)=n C.A 的所有 k 阶子式为正(1kn) D.A-1为正定矩阵（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 正定的充要条件是 A 的所有特征值 i 0，i=1，2，n而 A -1 的特征值为 6.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是
9、 n 维(n2)向量，则_（分数：4.00）A.1，2 线性无关，1，2 线性无关，必有 1，1，2，2 线性无关B.1，2 线性相关，1，2 线性相关，必有 1，1，2，2 线性相关C.1，2 线性无关，1，2 线性相关，必有 1，1，2，2 线性无关D.1，2 线性相关，1，2 线性无关，则 1，1，2，2 可能线性相关，可能线性无关 解析：解析 A例： 线性无关 线性无关，但 1 + 线性相关，A 不成立； B例： 线性相关， 线性相关，但 线性无关，B 不成立； C例： 线性相关 线性相关，但 7.已知随机变量 X 的密度函数 （分数：4.00）A.与 a 无关，随 的增大而增大B.与
10、 a 无关，随 的增大而减小C.与 无关，随 a 的增大而增大 D.与 无关，随 a 的增大而减小解析：解析 由 可求得 A=e ，所以 8.设随机变量 X 与 Y 分别服从正态分布 N(-1，2)与 N(1，2)，且 X 与 Y 不相关，aX+Y 与 X+bY 亦不相关，则一定有_（分数：4.00）A.a=b=0B.a=b0C.ab=0D.a+b=0 解析：解析 两个随机变量不相关的充分必要条件是它们的相关系数为零，即协方差为零，依题意有 D(X)=D(Y)=2，Cov(X，Y)=0 于是，Cov(aX+Y，X+bY)=aD(X)+(ab+1)Cov(X，Y)+bD(Y) =2(a+b)=0
11、二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：解析 10.已知某厂生产 x 件产品的成本为 （分数：4.00）解析：1000 解析 由 ，得平均成本为： 对 x 求导，并令 ，得 得 x 1 =1000，x 2 =-1000(舍去) 又因为 所以 x=1000 时， 11.设 g(x)处处连续，且 （分数：4.00）解析：0解析 12.y“+y“=xe -x 的通解是 1 （分数：4.00）解析： 解析 齐次微分方程 y“+y“=0 的通解为 C 1 +C 2 e -x ，设非齐次方程的特解为 y=(ax 2 +bx)e -x ，代入 y“+y“=xe -x ，解得
12、，b=-1，所以其通解 13.已知 （分数：4.00）解析：2 解析 14.设 X，Y 为相互独立的随机变量，且 XN(1，2)，Y 服从参数 =3 的泊松分布，则 D(XY)= 1 （分数：4.00）解析：27 解析 由题设易知 E(X)=1，D(X)=2，E(Y)=D(Y)=3 D(XY)=E(XY) 2 -(E(XY) 2 =E(X 2 Y 2 )-(E(XY) 2 ，又 X，Y 独立，所以有 E(X 2 Y 2 )=E(X 2 )E(Y 2 )，E(XY)=E(X)E(Y)， 于是 E(X 2 Y 2 )=E(X 2 )E(Y 2 )=D(X)+(E(X) 2 D(Y)+(E(Y) 2
13、 =312=36。 (E(XY) 2 =(E(X) 2 (E(Y) 2 =9， 则 D(XY)=36-9=27三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：16.设可微函数 f(x)，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=f(x)，且 f(0)=0，g(x)0，又设 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 17.设 x-1，证明：当 0a1 时，(1+x) a 1+ax；而当 a0 或 a1 时，(1+x) a 1+ax （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 考虑函数 f(x)=(1+x) a -(1+ax) 由于 f“(
14、x)=a(1+x) a-1 -1，所以 x=0 是 f(x)的驻点，同时，当 a1 或 a0 时，如果-1x0，就有f“(x)0，即 f(x)单调递减；如果 x0，就有 f“(x)0，即 f(x)单调递增，所以 f(0)=0 是最小值，f(x)0，即(1+x) a 1+ax同样地讨论可知：当 0a1 时，得 f(0)是最大值，所以 f(x)0，即(1+x) a 1+ax至此两个不等式得证18.已知 a 0 =3，a 1 =5，且对任何自然数 n1， 证明当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题设 当|x|1 时， 绝对收敛 解此一阶线性方程得 由条件 S(0)=a
15、 0 =3，得 ，故 19.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中区域 D=D 1 D 2 D 3 ，且 如图所示， 由对称性可得 于是 设 A 是三阶矩阵， 1 ， 1 ， 3 是线性无关的三维向量组，且 A 1 = 2 ，A 2 1 = 3 ，A 3 1 = 1 （分数：11.00）(1).证明：A 3 =E；（分数：5.50）_正确答案：()解析：由所设条件知：A 3 1 = 1 ，A 3 2 =A 4 1 =A 1 = 2 ，A 3 3 =A 5 1 = 3 ，以 1 ， 2 ， 3 为列向量作三阶矩阵 B，则有 A
16、 3 B=B又因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故矩阵 B 可逆用 B -1 右乘 A 3 B=B，即得 A 3 =E(2).若 1 =(2，-2，1) T ， 2 =(1，1，-1) T ， 3 =(1，2，-2) T ，求 A（分数：5.50）_正确答案：()解析：由所设条件可看出 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A 3 = 1 于是有 解此矩阵方程可得 设 A，B 都是三阶矩阵，满足 AB=A-B若 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：11.00）(1). i -1(i=1，2，3)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 由于 AB=A-B，故 A-
17、B-AB+E=E，即(A+E)(E-B)=E，从而 A+E 可逆且其逆是 E-B，那么|A+E|0，知 =-1 不是 A 的特征值解析 要证 =-1 不是 A 的特征值，也就是要证|E+A|0，即A+E 可逆(2).存在可逆矩阵 C，使 C -1 AC，C -1 BC 同时为对角矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 由第一小题及可逆定义知(A+E)(E-B)=(E-B)(A+E) 从而 AB=BA设 Ax 1 = 1 x 1 ，Ax 2 = 2 x 2 ，Ax 3 = 3 x 3 ，由于 1 ， 2 ， 3 是不同的特征值，故 x 1 ，x 2 ，x 3 线性无关，且 另一方面，因
18、为 AB=BA，有 ABx i =BAx i =B(Ax i )=Bx i ，i=1，2，3 若 Bx i 0，则 Bx i 也是 A 关于 i 的特征向量，且 i 是单根， i 只有一个线性无关的特征向量，故必有 Bx i = i x i ，知 x i 是 B 关于 i 的特征向量 若 Bx i =0，则 Bx i =0x i ，知 x i 是 B 关于 =0 的特征向量 不论哪种情况，x i 都是 B 的特征向量，从而 可见 C -1 BC= 所以 A，B 可同时对角化 解析 由于 A 有三个不同的特征值，设 Ax i = i x i (i=1，2，3)，则 x 1 ，x 2 ，x 3 线
19、性无关用分块矩阵 即 C -1 AC= ，可见要证 C -1 BC= 已知 X，Y 服从相同的分布 （分数：11.01）(1).求出(X，Y)的联合分布律；（分数：3.67）_正确答案：()解析：据题意有 根据联合分布律与边缘分布律的关系，很容易求出表中各个空处的概率都是 1/4所以联合分布律为 (2).求出 X，Y 的相关系数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(3).讨论 X，Y 的相关性，独立性（分数：3.67）_正确答案：()解析： XY =0，X，Y 不相关； 显然 p i p j P ij ，所以 X，Y 不独立设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).确定常数 a；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(2).求 的极大似然估计量；（分数：3.67）_正确答案：()解析： 似然函数 的极大似然估计量为 (3).第二小题中求出的估计量是否为 的无偏估计量?（分数：3.67）_正确答案：()解析：
