1、考研数学三-417 (1)及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.A 是 n(n3)阶矩阵，交换 A 的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B，A *，B *分别是 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：4.00）A.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵 B*B.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B*C.交换 A*的第 l 行与第 3 行得到矩阵-B *D.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵-B *2.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，无穷小量 (x)=(1+x) x-1， （分数：4.00）
2、A.B.C.D.4.正态总体 XN(-3，4)，Y 一 N(-1，5)且 X，Y 相互独立，而 X1，X 2，X 8和 Y1，Y 2，Y 10分别是来自 X，Y 的简单随机样本， 分别是两个样本的样本方差，则服从 F(9，7)的统计量是( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为-1，又随机变量 Z=5Y-X，则 X 与 Z 的相关系数为( )（分数：4.00）_7.当 x0 时 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.a-2，方程(x-a) 2/3=2+n 的实根个数为( )（分数：4.00）A.0
3、个B.1 个C.2 个D.3 个二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.作变量替换 x=lnt 后，方程 （分数：4.00）填空项 1:_12.用恰当的方法计算累次积分： （分数：4.00）填空项 1:_13.矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设(X，Y)在平面区域 D=(x，y)|0x2，0y1 上服从均匀分布，则矩阵 （分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)已知级数 条件收敛，令（分数：10.00）(1).试证： （分数：5.00）_(2).求 （分数：5.00）_设（
4、分数：9.99）(1).极限 （分数：3.33）_(2).fx(0，0)，f y(0，0)是否存在，说明理由。（分数：3.33）_(3).f(x，y)在点(0，0)是否可微，说明理由。（分数：3.33）_15.证明不等式： （分数：10.00）_已知商品的需求量 D 和供给量，S 都是价格 p 的函数：(a0，b0 为常数)价格 p 是时间 t 的函数，且满足方程 （分数：9.99）(1).需求量等于供给量时的均衡价格；（分数：3.33）_(2).价格函数 p(t)；（分数：3.33）_(3). （分数：3.33）_16.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收
5、获时两种鱼的收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y(0)，求使产鱼总量最大的收获量。（分数：10.00）_已知 n 维列向量 1， 2， n-1线性无关，且与非零向量 1， 2都正交，试证：（分数：11.00）(1). 1， 2线性相关。（分数：5.50）_(2). 1， 2， n-1， 1线性无关。（分数：5.50）_设 A=(aij)nn是秩为 n 的 n 阶实对称矩阵，A ij是|A|中元素 aij的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= （分数：11.00）(1).记 X=(x1，x 2，x n)T，试写出二次型 f(x1，x 2，x n)的
6、矩阵形式。（分数：5.50）_(2).判断二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同，并说明理由。（分数：5.50）_17.设 10 个同种同型零件中有 2 个次品，装配机器时，必须从中取出 2 个正品，若任取一个为正品，则留下备用；若取到次品，则弃之不用，在余下的零件中再取一个，直到取到 2 个正品为止，以 X 表示取到为止时的次数，求 X 的概率分布，它的数学期望与方差。（分数：11.00）_设总体 X 的概率密度为 （分数：11.01）(1).求 的矩估计。（分数：3.67）_(2).求 的最大似然估计。（分数：3.67）_(3).求出 的估计量是否为 的无偏估计量。（分数
7、：3.67）_考研数学三-417 (1)答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.A 是 n(n3)阶矩阵，交换 A 的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B，A *，B *分别是 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：4.00）A.交换 A*的第 1 行与第 3 行得到矩阵 B*B.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵 B*C.交换 A*的第 l 行与第 3 行得到矩阵-B * D.交换 A*的第 1 列与第 3 列得到矩阵-B *解析：考点 矩阵的初等变换答案解析 因为 A 可逆故|A|0，而|B|=-|A|0，即 B 也可逆，因为
8、B=AE13故 B-1=(AE13)-1=(E13)-1A-1，在此式两端同乘-|B|=|A|，有-|B|B -1=E13|A|A-1，即-B *=E13A*，故交换 A*的第 1 行，第 3 行得到-B *，应选(C)。2.级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 含参数的正项级数敛散性的审定答案解析 因为是正项级数，用比值法，有*(1)当 01 时，级数收敛；(2)当 1 时级数发散；(3)当 =1 时原级数为*综上所述知级数的敛散性与 ， 都有关，应选(A)。3.当 x0 时，无穷小量 (x)=(1+x) x-1， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 无穷小量的阶
9、的比较答案解析 *即 (x)是 x 的二阶无穷小量。*即 (x)是 x 的 3 阶无穷小量，故从低阶到高阶顺序排列应为，(x)，(x)，(x)，(x)，应选(C)。4.正态总体 XN(-3，4)，Y 一 N(-1，5)且 X，Y 相互独立，而 X1，X 2，X 8和 Y1，Y 2，Y 10分别是来自 X，Y 的简单随机样本， 分别是两个样本的样本方差，则服从 F(9，7)的统计量是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 来自两个独立正态总体的抽样分布答案解析 *，于是 U=*由 X，Y 相互独立，知 U，V 相互独立，于是由 F 分布定义知*5.行列式 （分数：4.00）A.B.
10、 C.D.解析：考点 求行列式某行元素余子式之和答案解析 方法一：M 41+M42+M43+M44=-A41+A42-A43+A44=*方法二：M 41+M42+M43+M44=*=-56+12-14=-28应选(B)。6.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为-1，又随机变量 Z=5Y-X，则 X 与 Z 的相关系数为( )（分数：4.00）_解析：考点 随机变量的相关系数答案解析 XY是表示随机变量 X，Y 之间线性关系的数字特征，当 XY=-1 时，X，Y 存在负线性相关，即存在常数 a0，常数 b，使得 PY=aX+b=1。今知 Z=5Y-X=5(aX+b)-x=(5a-1)X+5b，由
11、于 5a-10，从而 PZ=(5a-1)X+5b7.当 x0 时 的值为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 换元法计算定积分答案解析 令 lnx=t，则*于是*应选(B)。8.a-2，方程(x-a) 2/3=2+n 的实根个数为( )（分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：考点 求方程实根个数答案解析 即求函数*的零点个数，f(x)在(-，+)连续，且*，因此 x=a 是 f(x)在(-，+)内唯一极小点，故为最小点，且 f(x)在(-，a严格单调减少；在a，+)严格单调增加，同时最小值 f(a)=-a-20(已知 a-2)，因此 f(x)在(-，a
12、)，(a，+)内各有一个零点，即方程共有 2 个实根，应选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x+y=0 或 x+25y=0）解析：考点 求曲线的切线答案解析 显然原点(0，0)不在曲线上，设切点坐标为*故过切点的切线方程为*将(0，0)代入上式，得(x 0+3)(x0+15)=0，即 x0=-3 或 x0=-15*于是切线为 x+y=0 或 x+25y=010. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 换元法计算抽象连续函数的定积分答案解析 由于被积函数 f(x)的表达式不具体，应换元计算，换元后积分
13、区间应保持不变，令 x=6-t，即 t=6-x，则 dx=-dt*11.作变量替换 x=lnt 后，方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 作变量替换，将方程化简答案解析 *将(1)，(2)两式代入*整理得*12.用恰当的方法计算累次积分： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 将直角坐标系下累次积分化为极坐标系下累次积分答案解析 D=(x，y)|0xy，*草图为阴影所示区域，D 在极坐标系下表示为：*13.矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3 或-5）解析：考点 齐次线性方程组解的结构答案解析 AX=0 有非零解，且任一非
14、零解均可由向量 线性表示表明 AX=0 的基础解系仅含一个解向量，故 3-r(A)=1，即 r(A)=2。*由 r(A)=2 知：t=3 或 t=-5。14.设(X，Y)在平面区域 D=(x，y)|0x2，0y1 上服从均匀分布，则矩阵 （分数：4.00）_解析：考点 求二维随机变量取值界定的随机事件的概率答案解析 D 的面积为 2，(X，Y)的概率密度为*矩阵 A 的特征方程为*(-1)( 2-2+XY)=0，为了使 A 的特征值都是实数，只须 2-2+XY=0 的根为实数*(-2) 2-4XY0，即 XY1，记 G=(x，y)|xy1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)已知级数 条件
15、收敛，令（分数：10.00）(1).试证： （分数：5.00）_正确答案：(反证：设*中至少有一个收敛，无妨*)解析：(2).求 （分数：5.00）_正确答案：(*其中用到了有界量与无穷小之积为无穷小。)解析：考点 关于条件收敛的数项级数的有关性质设（分数：9.99）(1).极限 （分数：3.33）_正确答案：(对任意实数*于是*)解析：(2).fx(0，0)，f y(0，0)是否存在，说明理由。（分数：3.33）_正确答案：(*同理 f(0，0)=0。)解析：(3).f(x，y)在点(0，0)是否可微，说明理由。（分数：3.33）_正确答案：(如果 f(x，y)在点(0，0)可微，则有*，其
16、中 0(当*时)当(x，y)沿直线 y=x(x0)趋于(0，0)时*0(p0)矛盾，故 f(x，y)在(0，0)不可微。)解析：考点 二元函数在一点连续，偏导数存在，可微情况的讨论15.证明不等式： （分数：10.00）_正确答案：(*依二重积分性质，有*)解析：考点 利用二重积分性质证明不等式已知商品的需求量 D 和供给量，S 都是价格 p 的函数：(a0，b0 为常数)价格 p 是时间 t 的函数，且满足方程 （分数：9.99）(1).需求量等于供给量时的均衡价格；（分数：3.33）_正确答案：(由*，得均衡价格*)解析：(2).价格函数 p(t)；（分数：3.33）_正确答案：(*)解析
17、：(3). （分数：3.33）_正确答案：(*)解析：考点 微分方程在经济学中应用16.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 x(万尾)，乙种鱼放养 y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为(3-x-y)x 和(4-x-2y)y(0)，求使产鱼总量最大的收获量。（分数：10.00）_正确答案：(设产鱼总量为 z，则 z=(3-xy)x+(4-x-2y)y=3x+4y-x 2-2y 2-2xy令*由系数行列*)解析：考点 二元函数最值应用题已知 n 维列向量 1， 2， n-1线性无关，且与非零向量 1， 2都正交，试证：（分数：11.00）(1). 1， 2线性相关。（分数：5.50）_正确答案：(
18、用 1， 2， n-1构造(n-1)n 矩阵：*因为 1与 i(i=1，2，n-1)都正交，即*即 1是齐次线性方程组 AX=0 的非零解，同理 2也是 AX=0 的非零解。由于 r(A)=r(球 l，啦，口。一 1)从而齐次方程组 Ax=0 的基础解系，仅由 n-r(A)=1 个解向量组成，从而 1， 2线性相关。)解析：(2). 1， 2， n-1， 1线性无关。（分数：5.50）_正确答案：(设 k1，k 2，k n-1， 是一组数，使k1 1+k2 2+，+k n-1 n-1+ 1=0 (*)用 1作内积，有k1( 1， 1)+k2( 1， 2)+kn-1( 1， n-1)+( 1，
19、1)=0因为(1，i)=0(i=1，2，n-1)，而B 1 2=( 1， 1)0，得 =0，将 代入(*)式，有k1 1+k2 2+kn-1 n-1=0而 1， 2， n-1线性无关，知 k1=k2=kn-1=0，所以(*)式中组合系数全都为 0，即 1， 2， n-1， 1线性无关。)解析：考点 与正交相关联，讨论向量组的线性相关性设 A=(aij)nn是秩为 n 的 n 阶实对称矩阵，A ij是|A|中元素 aij的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= （分数：11.00）(1).记 X=(x1，x 2，x n)T，试写出二次型 f(x1，x 2，x n)
20、的矩阵形式。（分数：5.50）_正确答案：(r(A)=n，故 A 是可逆的实对称矩阵，于是(A -1)T=(AT)-1=A-1，即 A-1也是实对称矩阵，从而由*是实对称的，A *也是实对称的，由此即知 Aij=Aji(i，j=1，2，n)，于是有*因此，二次型 f 的矩阵表示为 XTA-1X，其二次型矩阵为 A-1。)解析：(2).判断二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同，并说明理由。（分数：5.50）_正确答案：(因为 A，A -1都是可逆的实对称矩阵，且 t(A-1)TAA-1=(A-1)TE=(AT)-1=A-1所以 A 与 A-1合同，于是 g(X)与 f(X)有
21、相同的规范形。)解析：考点 二次型的矩阵表示及规范形17.设 10 个同种同型零件中有 2 个次品，装配机器时，必须从中取出 2 个正品，若任取一个为正品，则留下备用；若取到次品，则弃之不用，在余下的零件中再取一个，直到取到 2 个正品为止，以 X 表示取到为止时的次数，求 X 的概率分布，它的数学期望与方差。（分数：11.00）_正确答案：(X 的取值只能是 2，3，4“X=2”=“第 1 次，第 2 次取到正品”，“X=3”=“前 2 次一次取到正品，1 次取到次品，第 3 次取到正品”，“X=4”=“前 3 次一次取到正品，2 次取到次品，第 4 次取到正品”，记 Ai=“第 i 次取到正品”(i=1，2，3，4)*所以 X 的分布律为：*)解析：考点 离散型随机变量的概率分布数学期望与方差设总体 X 的概率密度为 （分数：11.01）(1).求 的矩估计。（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：(2).求 的最大似然估计。（分数：3.67）_正确答案：(设 x1，x 2，x n是来自总体的一组样本值，则样本的似然函数为*令*故*为 的最大似然估计量。)解析：(3).求出 的估计量是否为 的无偏估计量。（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：考点 求参数的矩估计，最大似然估计，评价估计量是否为无偏估计量
