1、考研数学三-417 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. A B （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x 是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为_ A.y“-y“-2y=ex-2xex B.y“+y“+2y=ex-2xex C.y“-y“-2y=-ex+2xex D.y“+y“+2y=-ex+2xex（分数：4.00）A.B.C.D.3.曲线 （分数：4.00）A.y=2xB.y=2x+1C.y=2x-1D.y=-2x4.设 f(x)=x 3 -3x+k 只有
2、一个零点，则 k 的取值范围是_（分数：4.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2D.k25.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T ，则 A 的线性无关的特征向量个数为_（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X，Y 为两个随机变量，其中 EX=2，EY=-1，DX=9，DY=16，且 X，Y 的相关系数 ，则由切比雪夫不等式，P|X+Y-1|10_ A B C D （分数：4.00）A.B
3、.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为可微函数，且 ，则 （分数：4.00）10.设 （分数：4.00）11.z=z(x，y)由 (x-ax，y-bz)=0 所确定，其中 (u，v)是变量 u，v 的任意可微函数， ， 存在，则 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设 A，B 为三阶相似矩阵， 1 =1， 2 =-2 为 A 的两个特征值，且 B 的行列式为 1，则行列式|A+E|= 1 （分数：4.00）14.在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，且 f(
4、0)=g(0)，试求 （分数：10.00）_16.计算 （分数：10.00）_设函数 f(x)满足 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x (x 为任意实数)且在 x=x 处 f(x)取得极值，在 x=0 处 f“(x)连续（分数：10.00）(1).当 c0 时，证明 f(c)是极小值；（分数：5.00）_(2).当 c=0 时，求 f“(0)，并判定 f(0)是极大值还是极小值（分数：5.00）_17.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)0， （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_19.已知 n 维向量 1 ， 2
5、， n 中，前 n-1 个向量线性相关，后 n-1 个向量线性无关，b= 1 + 2 + n ，矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )是 n 阶矩阵，证明：方程组 Ax=b 必有无穷多解且其任一解(c 1 ，c 2 ，c n ) T 中必有 c n =1 （分数：11.00）_20.已知矩阵 ，线性方程组 无解，求正交矩阵 P，使 （分数：11.00）_设 X 与 Y 相互独立，且均服从(-1，1)上的均匀分布（分数：11.00）(1).试求 X 和 Y 的联合分布函数；（分数：5.50）_(2).试求 Z=X+Y 的密度函数（分数：5.50）_21.设总体 X 的数学期望 EX=，方差 DX=
6、 2 ，X 1 ，X 2 ，X n ，为来自总体 X 的简单随机样本， ，试求 （分数：11.00）_考研数学三-417 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. A B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 2.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x 是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为_ A.y“-y“-2y=ex-2xex B.y“+y“+2y=ex-2xex C.y“-y“-2y=-ex+2xex D.y“+y“+2y=-ex+2xex（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析
7、y 1 -y 2 =e 2x -e -x 为对应齐次方程的解 特征方程为(-2)(+1)=0，即 2 -2=0，故对应的齐次方程为 y“-y“-2y=0 代入 y 1 ，有 3.曲线 （分数：4.00）A.y=2x B.y=2x+1C.y=2x-1D.y=-2x解析：解析 k 切 =y“=(x-1)(x-2) k 切 | x=0 =2 切线方程为：y-0=2(x-0)，即 y=2x，选 A4.设 f(x)=x 3 -3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围是_（分数：4.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2 D.k2解析：解析 f(x)为三次函数，至少有一个零点因为函数 f(x)不单调
8、，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零 f“(x)=3(x 2 -1)=0得驻点 x=1 (-，-1) 1 (-1，1) 1 (1，+) f“(x) + 0 - 0 + f(x) 大 小 f 大 (-1)=2+k0，k-2， f 小 (1)=-2+k0，k2， |k|2，选 C5.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T ，则 A 的线性无关的特征向量个数为_（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：解析 6.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 B=(A*) T ，B T =A*， |B|=|BT|=|A*|=|A| n-1 =|A|
9、 3-1 =|A| 2 选 B7.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 XN(0，1)，YN(0，1) X+YN(0，2)，X-YN(0，2)， ，排除 A，B； Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0 =1-PX0，Y0 =1-PX0PY0 ，排除 C； 又 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0 = PX0PY0 8.设 X，Y 为两个随机变量，其中 EX=2，EY=-1，DX=9，DY=16，且 X，Y 的相关系数 ，则由切比雪夫不等式，P|X+Y-1|10_ A B C D （分数：
10、4.00）A.B. C.D.解析：解析 E(X+Y)=EX+EY=1 由切比雪夫不等式 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为可微函数，且 ，则 （分数：4.00）解析：解析 10.设 （分数：4.00）解析：x+2 解析 11.z=z(x，y)由 (x-ax，y-bz)=0 所确定，其中 (u，v)是变量 u，v 的任意可微函数， ， 存在，则 （分数：4.00）解析：1 解析 由 得 12. （分数：4.00）解析：解析 13.设 A，B 为三阶相似矩阵， 1 =1， 2 =-2 为 A 的两个特征值，且 B 的行列式为 1，则行列式|A+E|= 1 （分数：4.00
11、）解析：-1 解析 A，B 相似，|A|=|B|，设 3 为 A 的另一特征值，则 由于 A 有三个不同的特征值，必可对角化，即存在可逆矩阵 P，使 于是 14.在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 （分数：4.00）解析： 解析 以 X，Y 分别表示随机取两数的大小，则 X 与 Y 相互独立，且服从同一分布 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，且 f(0)=g(0)，试求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 又 f(0)=0，代入 f(x)，得 C=0，故 ， 又由 ，g(0)=0，得 g(x)=ln(1+x) 又 16.计算 （分数：10.0
12、0）_正确答案：()解析：解 设函数 f(x)满足 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x (x 为任意实数)且在 x=x 处 f(x)取得极值，在 x=0 处 f“(x)连续（分数：10.00）(1).当 c0 时，证明 f(c)是极小值；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 f(x)在 x=c 处取极值f“(c)=0 而当 c0 时，总有 (2).当 c=0 时，求 f“(0)，并判定 f(0)是极大值还是极小值（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 c=0 时，f“(0)=0 17.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)0，
13、 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 构造辅导函数 F(x)=e g(x) f(x)，依题意不妨设 f(a)0，则有 f(b)0，于是 F(a)0， ，F(b)0 由零点定理，存在 1 ， 2 (如下图)，使得 F( 1 )=0， F(x)在 1 ， 2 上满足罗尔定理条件，故存在 ( 1 ， 2 ) 18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 x=0 时，幂级数收敛， 当 x0 时，由 当|x|1 时，幂级数收敛且为绝对收敛，收敛半径为 1； 当 x=1 时，级数收敛，因此，收敛域为-1，1 令 故 s“(x)=-ln(1-x)， s(x)=-xln(1-x)
14、+x+ln(1-x) 又 19.已知 n 维向量 1 ， 2 ， n 中，前 n-1 个向量线性相关，后 n-1 个向量线性无关，b= 1 + 2 + n ，矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )是 n 阶矩阵，证明：方程组 Ax=b 必有无穷多解且其任一解(c 1 ，c 2 ，c n ) T 中必有 c n =1 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由题设 1 ， 2 ，a n-1 线性相关， 2 ， 3 ， n 线性无关，于是 2 ， 3 ， n-1 ，线性无关，且 1 可由 2 ， 3 ， n-1 线性表示，故 R(A)=n-1，因此Ax=0 有 n-R(A)=1 个线性无关的解
15、向量，因 1 ， 2 ， n-1 线性相关，因此存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k n-1 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 =0，即有 又 R(A)=R( 1 ， 2 ， n )=R( 1 ， 2 ， n b)=n-1， Ax=b 有无穷多解，且有 20.已知矩阵 ，线性方程组 无解，求正交矩阵 P，使 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 对矩阵 作初等行变换，得 当且仅当 a=1 时，R(A)=23=R(A b)，这时 Ax=b 无解 当 a=1 时， 由|A-E|=(1-)(-4)=0， 解得 1 =1， 2 =4， 3 =0， 相应的特征向量为
16、 将 1 ， 2 ， 3 单位化得 取 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 ) 于是 设 X 与 Y 相互独立，且均服从(-1，1)上的均匀分布（分数：11.00）(1).试求 X 和 Y 的联合分布函数；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 X，Y 的联合概率 当-1x1，-1y1 时， X、Y 的联合分布函数为 (2).试求 Z=X+Y 的密度函数（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 求 Z 的概率密度，用密度函数法 图 1图 2图 3-1x1，-1z-x1， -1x1，x-1zx+1， )-2z0， )0z2， )在其他点，f Z (z)=0 21.设总体 X 的数学期望 EX=，方差 DX= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n ，为来自总体 X 的简单随机样本， ，试求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ， 注意： 同理 又 同理
