1、考研数学三-418 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 （分数：2.00）A.24B.-24C.48D.-482.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为_（分数：2.00）A.0B.54C.-2D.-243.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若
2、 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆5.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵 C.A+B 为对称矩阵 D.kA 为对称矩阵（分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n，则 B=OD.若 ABO，则|A|0 或|B|07.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则_（分数：2.00
3、）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0D.若|A|0 则|B|08.设 A 为 mn 矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则_（分数：2.00）A.rr1B.rr1C.rr1D.r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定9.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则_（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm10.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则_（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=411.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B
4、是非零矩阵，且 AB=O，则_ A.r(B)=n B.r(B)n C.A2-B2=(A+B)(A-B) D.|A|=0（分数：2.00）A.B.C.D.12.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 （分数：2.00）A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P114.设 则_ AB=P 1 AP 2 BB=P 2 AP 1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：15，分数：72.00)设 （分数：4.00）(1).|-2B|；（分数：2.00）_(2).AB-B
5、A（分数：2.00）_15.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O （分数：4.00）_16.设 AX=A+2X，其中 （分数：4.00）_17.设 （分数：4.00）_18.设四阶矩阵 B 满足 且 （分数：4.00）_19.设 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，且 （分数：4.00）_20. （分数：4.00）_21. （分数：4.00）_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：（分数：9.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：4.50）_(2).(A+4E) -1 （分数：4.50）_22.设 A 为 n
6、 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1 （分数：4.50）_设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：9.00）(1).求 PQ；（分数：4.50）_(2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：4.50）_23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A* （分数：4.00）_24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n （分数：4.50）_25.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一 （分数：4.50）_26.设 A 是 mn 矩阵，若 A T A=O，证明：A=O （分数：4.50）_考研数学三-418 (1
7、)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 （分数：2.00）A.24B.-24C.48D.-48 解析：解析 2.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为_（分数：2.00）A.0B.54 C.-2D.-24解析：解析 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又|E+A|=0，所以 A 有特征值-1，于是2E+A 2 的特征值为 18，3，于是|2E+A 2 |=54，选 B3.设 n 维行向量 （分数：
8、2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 4.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析 若 A，B 可逆，则|A|0，|B|0，又|AB|=|A|B|，所以|AB|0，于是 AB 可逆，选 B5.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵 C.A+B 为对称矩阵 D.kA 为对称矩阵（分数：2.00）A. B.C.D.解析
9、：解析 由(A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1 +B -1 ) T =(A -1 ) T +(B -1 ) T =A -1 +B -1 ，得 A -1 +B -1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选 A6.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n，则 B=O D.若 ABO，则|A|0 或|B|0解析：解析 取 显然 AB=O，故 A、B 都不对，取 显然7.n
10、 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则_（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0 D.若|A|0 则|B|0解析：解析 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t ，使得 B=P s P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若|A|=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即|B|=0，选 C8.设 A 为 mn 矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则_（分数：2.00）A.rr1B.rr1C
11、.rr1 D.r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析 因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 C9.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则_（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选 C10.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则_（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=4-1=3，选 C11.设 A
12、，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则_ A.r(B)=n B.r(B)n C.A2-B2=(A+B)(A-B) D.|A|=0（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是|A|=0，选 D12.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A，B 都是可逆矩阵，因为 所以 13.设 （分数：2.00）A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1 解析
13、：解析 P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选 D14.设 则_ AB=P 1 AP 2 BB=P 2 AP 1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然 因为 二、解答题(总题数：15，分数：72.00)设 （分数：4.00）(1).|-2B|；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 |-2B|=(-2) 3 |B|=-8；(2).AB-BA（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 15.设 A，B 为 n 阶矩阵，
14、且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=O 即 AB=-BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA，再在 AB=-BA 两边右乘 A 得 ABA=-BA，则 AB=BA，于是 AB=O16.设 AX=A+2X，其中 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 AX=A+2X 得(A-2E)X=A，其中 因为|A-2E|=-10，所以 X=(A-2E) -1 A， 17.设 （分数：4.00）_正确
15、答案：()解析：解 由 AX+|A|E=A*+X 得 (A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*， 因为|E-A|=-30，所以 E-A 可逆，于是 X=-A*， 由|A|=6 得 X=-6A -1 ， 18.设四阶矩阵 B 满足 且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 19.设 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 A*BA=2BA-8E 得 AA*BA=2ABA-8A， 即-2BA=2ABA-8A，整理得(A+E)B=4E，所以 20. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 21. （分数：4.00）_正确答
16、案：()解析：解 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：（分数：9.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 由 A 2 +2A-3E=O 得 A(A+2E)=3E， 根据逆矩阵的定义，有 (2).(A+4E) -1 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 由 A 2 +2A-3E=O 得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则 22.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1 （分数：4.50）_正确答案：()解析：解 E k -A k =(E-A)(E+A+A 2 +A k-1 )，又 E k -A k =E， 所以
17、(E-A) -1 =E+A+A 2 +A k-1 设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：9.00）(1).求 PQ；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解 (2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 因为|P|=|A|B|，所以当 P 可逆时，|A|B|0，而 PQ=|A|B|E，即 于是 Q 可逆且23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A* （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 AA*=|A|E，又已知 A 2 =|A|E，所以 AA*=A 2 ，而 A 可逆，故 A=A*24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A
18、 2 -2A-8E=O证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n （分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 由 A 2 -2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得 r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E-A)+r(2E+A)=n25.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一 （分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(B-C)=O，故 r(A)+r(B-C)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(B-C)=0，B-C=O，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的26.设 A 是 mn 矩阵，若 A T A=O，证明：A=O （分数：4.50）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)=r(A T A)，而 A T A=O，所以 r(A)=0，于是 A=O
