1、考研数学三-426 及答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：20.00)1.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1 （分数：5.00）2.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0= 1 （分数：5.00）3.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：5.00）4.随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y-2)= （分数：5.00）二、选择题(总题数：8，分数：32.00)5.设随机变量 且满足 P(X 1 X 2 =0)=1，则 P
2、(X 1 =X 2 )等于_ A0 B C （分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于_ A （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(-Xa，Yy)，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(+，y-0)-F(-a，y-0)D.F(+，y)-F(-a，y)8.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则_ AP(X+Y0)= BP(X+Y1)= CP(X-Y0)= DP(X-Y1)
3、= （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则_ APmax(X，Y)0= BPmin(X，Y)0= CP(X+Y0)= DP(X-Y0)= （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 X，Y 为两个随机变量， ，则 Pmin(X，Y)1=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.11.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=P(X 2 +9Y 2 9a 2 )，则_ Ap 的值与 a 无关，且 Bp 的值与 a 无关，且 （分数：4.00）A.B.C.D.12.设(X，Y)服从二维正
4、态分布，则下列说法不正确的是_（分数：4.00）A.X，Y 一定相互独立B.X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，y 相互独立三、解答题(总题数：18，分数：98.00)设 X，Y 的慨率分布为 （分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：3.00）_(2).X，Y 是否独立?（分数：3.00）_设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：6.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；
5、（分数：3.00）_(2).求(X，Y)的概率分布（分数：3.00）_袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：6.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：3.00）_(2).第一次抽取后不放回（分数：3.00）_设(X，Y)在区域 D：0x1，|y|=x 内服从均匀分布（分数：6.00）(1).求随机变量 X 的边缘密度函数；（分数：3.00）_(2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：3.00）_设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：6.00）(1).(X，Y)的边缘密度函数；（分数：3.00）_(2)
6、.Z=2X-Y 的密度函数（分数：3.00）_随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：3.00）_(2).求(X，Y)落在区域 （分数：3.00）_13.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 （分数：6.00）_14.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2X-Y+3 的密度 （分数：6.00）_设 X 在区间-2，2上服从均匀分布，令 （分数：5.00）(1).Y，Z 的联合分布律；（分数：2.5
7、0）_(2).D(Y+Z)（分数：2.50）_15.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：5.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：5.01）(1).求 C；（分数：1.67）_(2).求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?（分数：1.67）_(3).求 Z=max(X，Y)的密度（分数：1.67）_设随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：5.00）(1).X，Y 的边缘密度；（分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_设(X，Y)的联合密度函数为 （分数：5.01）(1).求 a；（分数：1.67）_(2).求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；（
8、分数：1.67）_(3).求 f X|Y (x|y)（分数：1.67）_16.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 y 的分布 （分数：5.00）_设 （分数：5.01）(1).判断 X，Y 是否独立，说明理由；（分数：1.67）_(2).判断 X，Y 是否不相关，说明理由；（分数：1.67）_(3).求 Z=X+Y 的密度（分数：1.67）_设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2 +Y 2 求：（分数：5.00）(1).f
9、U (u)；（分数：2.50）_(2).PUD(U)|UE(U)（分数：2.50）_17.设 X，Y 相互独立，且 （分数：5.00）_18.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变最 Z=X+Y 的概率密度 （分数：5.00）_考研数学三-426 答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：20.00)1.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1 （分数：5.00）解析： 解析 P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)， 由 X，Y 相互独立得 P
10、(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)= 2.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0= 1 （分数：5.00）解析：2(1-p) n -(1-p) 2n 解析 令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X，Y)=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)=P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)-P(X=0，Y=0)=2(1-p) n -(1-p) 2n3.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：5.00）解析：6 解析 由 得 a=6，于是 4.随机变量 XN(0， 2 )，YN
11、(0，4 2 )，且 P(X1，Y-2)= （分数：5.00）解析： 解析 令X1=A，Y-2=B， ， 且 ，则 二、选择题(总题数：8，分数：32.00)5.设随机变量 且满足 P(X 1 X 2 =0)=1，则 P(X 1 =X 2 )等于_ A0 B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题意得 P(X 1 =-1，X 2 =-1)=P(X 1 =-1，X 2 =1)=P(X 1 =1，X 2 =-1)=P(X 1 =1，X 2 =1)=0 P(X 1 =-1，X 2 =0)=P(X 1 =-1)= ，P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)= ， P(X
12、1 =0，x 2 =-1)=P(X 2 =-1)= ，P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)= 6.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于_ A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 XU(0，2)，YE(1)得 再由 X，Y 相互独立得(X，Y)的联合密度函数为 则 7.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(-Xa，Yy)，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(+，y-0)-F(-a，y-0) D.F(+，y)-F(-a，y)解析：解析 P
13、(-Xa，Yy)=P(X-a，Yy) 因为 P(Yy)=P(X-a，Yy)+P(X-a，Yy)， 所以 P(X-a，Yy)=P(Yy)-P(X-a，Yy)=F(+，y-0)-F(-a-0，y-0)，选 C8.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则_ AP(X+Y0)= BP(X+Y1)= CP(X-Y0)= DP(X-Y1)= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1，1)，X+YN(1，2)9.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则_ APmax(X，Y)0= BPmin(X，Y)0= CP(X+Y0)=
14、 DP(X-Y0)= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布， 所以 XYN(0，8)，从而 故 C、D 都不对； Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-P(X0，Y0)=1-P(X0)P(Y0) 因为 XN(0，4)，YN(0，4)，所以 P(X0)=P(Y0)= ，从而有 Pmax(X，Y)0= ，A 不对； Pmin(X，Y)0=P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)= 10.设 X，Y 为两个随机变量， ，则 Pmin(X，Y)1=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 A=X1，B
15、=Y1，则 Pmin(X，Y)1=1-Pmin(X，Y)1=1-P(X1，Y1)=1- =P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 11.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=P(X 2 +9Y 2 9a 2 )，则_ Ap 的值与 a 无关，且 Bp 的值与 a 无关，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 12.设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是_（分数：4.00）A.X，Y 一定相互独立 B.X，Y
16、的任意线性组合 l1X+l2Y 服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，y 相互独立解析：解析 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 B，C，D 都是正确的，只有当 =0 时，X，Y 才相互独立，选 A三、解答题(总题数：18，分数：98.00)设 X，Y 的慨率分布为 （分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0， P(X=-1，Y=0)=P(X=-1)= ，P(X=1，Y=0)=P(X=1)= ， P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=
17、P(Y=1)= (X，Y)的联合分布律为： (2).X，Y 是否独立?（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)=设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：6.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车)，则 P(B|A)=P(Y=m|X=n)= (2).求(X，Y)的概率分布（分数：3.00）_
18、正确答案：()解析：解 P(X=n，Y=m)=P(AB)=P(B|A)P(A)=袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：6.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1) (2).第一次抽取后不放回（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设(X，Y)在区域 D：0x1，|y|=x 内服从均匀分布（分数：6.00）(1).求随机变量 X 的边缘密度函数；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (X，Y)的联
19、合密度函数为 则 (2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 D(X)=E(X 2 )=E(X) 2 = ，D(Z)=D(2X+1)=4D(X)= 设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：6.00）(1).(X，Y)的边缘密度函数；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 0x1 时， 当 x0 或 x1 时，fx(x)=0，所以 同理 (2).Z=2X-Y 的密度函数（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z2 时， F(z)=1-P(Zz)= 所以 随机变量(X，Y)的联
20、合密度函数为 （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得(2).求(X，Y)落在区域 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令区域 (X，Y)落在区域 D 内的概率为 13.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则 T=X+Y， 由已知条件得 X，Y 的密度为 当 t0 时，F T (t)=0；当 t0 时， T 的密
21、度函数为 14.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2X-Y+3 的密度 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2X-Y+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5，D(Z)=4D(X)+D(Y)=9， 则 Z 的密度函数为 设 X 在区间-2，2上服从均匀分布，令 （分数：5.00）(1).Y，Z 的联合分布律；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因为 X 在区间-2，2上服从均匀分布，所以 (Y，Z)的可能取值为(-1，-1)，(-1，1)，
22、(1，-1)，(1，1) P(Y=-1，Z=-1)=P(X-1，X1)=P(X-1)= P(Y=-1，Z=1)=P(X-1，X1)=0； P(Y=1，Z=-1)=P(X-1，X1)=P(-1X1)= P(Y=1，Z=1)=P(X-1，X1)=P(X1)= (Y，Z)的联合分布律为 (2).D(Y+Z)（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 得 15.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 P(Y=1)=0.6， 所以 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：5.01）(1).求 C；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 (2
23、).求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，f X (x)=0；当 x0 时 当 y0 时，f Y (y)=0；当 y0 时 (3).求 Z=max(X，Y)的密度（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时，F Z (z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z=P(Xz，Yz 则 设随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：5.00）(1).X，Y 的边缘密度；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 设(X，Y)的联合密度函数为
24、（分数：5.01）(1).求 a；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 由(2).求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，f X (x)=0； 当 x0 时， 于是 当 y0 时，f Y (y)=0；当 y0 时， 于是 (3).求 f X|Y (x|y)（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 16.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 y 的分布 （分数：5.00）_正确答案：()解
25、析：解 因为 XE()，所以 ，从而 ，根据题意有 Y=min(X，2) 当 y0 时，F(y)=0；当 y2 时，F(y)=1； 当 0y2 时，F(y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=P(Xy)= ， 故 Y 服从的分布为 设 （分数：5.01）(1).判断 X，Y 是否独立，说明理由；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 0x1 时， 则 (2).判断 X，Y 是否不相关，说明理由；（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 因为 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= (3).求 Z=X+Y 的密度（分数：1.67）_正确答案：()解析：解 当 z0 或 z2 时，
26、f Z (z)=0； 当 0x1 时， 当 1x2 时， 所以有 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2 +Y 2 求：（分数：5.00）(1).f U (u)；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 F U (u)=P(Uu)当 u0 时，F U (u)=0； 当 u0 时， 所以 即 U 服从参数 (2).PUD(U)|UE(U)（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 E(U)=2，D(U)=4， PUD(U)|UE(U)=P(U4|U2)= 17.设 X，Y 相互独立，且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 P(Uu)=Pmax(X，Y)u=PXu，Yu=P(Xu)P(Yu)， P(U1.96)=P(X1.96)P(Y1.96)=P(X=0)+P(X=1)P(Y1.96) P(U1)=P(X1)P(Y1)= 18.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变最 Z=X+Y 的概率密度 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 XU(0，1)， 因为 X，Y 相互独立，所以 于是 F Z (z)=PZz=PX+Yz= 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 0z1 时， 当 z1 时， 所以
