1、考研数学三-434 及答案解析(总分：130.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：25.00)1.设 在(-，+)内连续，且 （分数：5.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b02.设 (xa)，则 等于_ Ae Be 2 C1 D （分数：5.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得_（分数：5.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数4.设 f(x)是二阶常系数非齐次线
2、性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：5.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他5.下列命题正确的是_ A若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续 B若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续 C若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续 D若 （分数：5.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：18，分数：105.00)6.确定常数 a，b，c，使得 （分数：5.00）_7.求 （分数：5.00）_8.求 （分数：
3、5.00）_9.求 （分数：6.00）_10.设 f“(0)=6，且 求 （分数：6.00）_11.设 其中 f(x)连续，求 （分数：6.00）_12.求 （分数：6.00）_13.求 （分数：6.00）_14.求 （分数：6.00）_15.求极限 （分数：6.00）_16.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0， （分数：6.00）_17.设 f(x)在1，+)内可导，f“(x)0 且 令 证明：a n 收敛且 0 （分数：6.00）_18.设 a0，x 1 0，且定义 ，证明： （分数：6.00）_19.设 a 1 =1，当 n1 时， （分数：6.00）_设 f(x)在0，2上
4、连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：6.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c；（分数：3.00）_(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：3.00）_20.设 （分数：6.00）_21.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续 （分数：6.00）_22.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：6.00）_考研数学三-434 答案解析(总分：130.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：25.00)1.设 在(-，
5、)内连续，且 （分数：5.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析 因为 在(-，+)内连续，所以 a0，又因为2.设 (xa)，则 等于_ Ae Be 2 C1 D （分数：5.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，所以 ， 于是 3.设函数 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0 使得_（分数：5.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析 因为 f“(0)0，所以 ，根据极限的保号性，存在 0，当
6、 x(0，)时，有4.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：5.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析 因为 f(0)=f“(0)=0，所以 f“(0)=2，于是 5.下列命题正确的是_ A若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续 B若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续 C若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续 D若 （分数：5.00）A.B. C.D.解析：解析
7、令 显然|f(x)|=1 处连续，然而 f(x)处间断，A 不对； 令 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故 C 不对； 令 显然 ，但 f(x)在 x=0 处不连续，D 不对； 若 f(x)在 x=a 处连续，则 ，又 0|f(x)|-|f(a)|f(x)-f(a)|，根据夹逼定理， 二、解答题(总题数：18，分数：105.00)6.确定常数 a，b，c，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 得 b=-1； 由 得 于是 方法二 由 从而 于是 解得 7.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 8.求 （分数：5
8、00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 9.求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 10.设 f“(0)=6，且 求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(0)=0，f“(0)=0， 11.设 其中 f(x)连续，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 得 于是 12.求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 而 则 13.求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 14.求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 15.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 16.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0， （分数：
9、6.00）_正确答案：()解析：解 则 n-2=2，n=4，且 17.设 f(x)在1，+)内可导，f“(x)0 且 令 证明：a n 收敛且 0 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 a n+1 -a n =f(n+1)- =f(n+1)-f()0(n，n+1)， 所以a n 单调减少 因为 ，而 f(k)-f(x)dx0(k=1，2，n-1) 且 ，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+)，故 a n f(n)0，所以 存在 由 而 (k=2，3，n)，所以 a n f(1)，从而
10、18.设 a0，x 1 0，且定义 ，证明： （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 从而 故 单调减少，再由 x n 0(n=2，3，)，则 存在， 令 ，等式 两边令 n得 ，解得 19.设 a 1 =1，当 n1 时， （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 ，所以数列a n 单调 又因为 a 1 =1，0a n+1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 则有 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：6.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c；（分数：3.
11、00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=f(x)-1+2x，(0)=-1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=1-2c(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M 由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 ， 由介值定理，存在 0，2，使得 20.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 取 0 =1，因为 21.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x)e x0-x f(x 0 )， 令 ，由夹逼定理得 f(x 0 -0)=f(x 0 )； 当 xx 0 时，有 故 e x0-x f(x 0 )f(x)f(x 0 )， 令 22.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，取 ，因为 ，所以存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 ，从而
