1、考研数学三-437 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 ，B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2是任意常数，则 B=（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 un0(n=1，2，)，且 条件收敛，则必有(A) 存在自然数 n0，使得当 nn 0时 成立（分数：4.00）A.B.C.D.4.设连续函数 f(x，y)满足 （分数：4.00）A.B.C.D.5.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(0，1)，则下列选项正确的
2、是（分数：4.00）A.若 EXY=0，则 X 与 Y 一定独立B.若 EXY=0，则 X 与 Y 一定不独立C.若 EXY0，则 X 与 Y 一定独立D.若 EXY0，则 X 与 Y 一定不独立7.设随机变量 X1，X 2，X n，相互独立， （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列有关极限的四个命题若 成立，则存在 M0，使得当|x|M 时 f(x)g(x)若存在 M0，使得当|x|M 时 f(x)g(x)成立，则若 ，则存在 M0，使得当|x|M 时 f(x)g(x)若 都存在，且存在 M0 使得当|x|M 时 f(x)g(x)成立，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总
3、题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)是单调减函数，满足 f(0)=1，若 F(x)是 f(x)的一个原函数，G(x)是 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)可微，且 fi(-1，3)=-2，f 2(-1，3)=1，又 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知向量 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，-2) T， 1=(1，3，4) T， 2=(1，-1，a) T，且 1可以由 1， 2， 3线性表出， 2不能由 1， 2， 3线性表出，则 =_。（分
4、数：4.00）填空项 1:_14.设试验的成功率 p=20%，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 =_。(1)=0.8413，(3)=0.9987)（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.求二元函数 f(x，y)=x4+y 4-2x2-2y2+4xy 的极值。（分数：9.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.求函数 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=2，此外对任何 x(0，+)还满足（分数：10.00）
5、_20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解。（分数：11.00）_21.已知 （分数：11.00）_设随机变量 X1与 X2相互独立且都服从(0，)上的均匀分布，求下列随机变量的概率密度：（分数：11.00）(1).边长为 X1和 X2的矩形周长 L；（分数：5.50）_22.设总体 X 的概率函数为（分数：11.00）_考研数学三-437 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟
6、)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列矩阵（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别，相似的必要条件是：特征值一样，秩相等，A3，A 4虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似，A 1与 A2或 A2与 A3虽秩相等但特征值不一样，因此不相似，用排除法知应选(C)。实际上，A 1，A 3的特征值都是 3，0，0，且 r(0E-A1)=1，r(0EA 3)=1，则n-r(0E-A1)=3-1=2，n-r(0E-A 3)=3-1=2，说明齐次方程组(0E-A 1)x=0 与(0E-A 3)x=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A
7、1和 A3都有 2 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A1和 A3都与对角矩阵*相似，从而 A1与 A3 相似。*2.设 ，B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2是任意常数，则 B=（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由 AB=B 有(A-E)B=0，因而 B 的列向量是齐次方程组(A-E)x=0 的解，又*那么齐次方程组(A-E)x=0 的基础解系是(-1，1) T，所以应选(D)3.设 un0(n=1，2，)，且 条件收敛，则必有(A) 存在自然数 n0，使得当 nn 0时 成立（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 条件收敛的交错级数*具有重要的性质：*均
8、发散，可用反证法来证明，如果结论不对，则只有以下三种可能性：(i)*均收敛；(ii)*收敛但*发散；(iii)*发散但*收敛。(i) 由正项级数收敛的充分必要条件知：存在 M1和 M2，使得对 n=1，2，u1+u3+u5+u2-1M 1，u2+u4+u6+u2nM 2，从而 u 1+u2+unM 1+M2这表明*绝对收敛，这与已知条件矛盾。(ii) 由*条件收敛知级数*收敛，于是*收敛，导致矛盾类似可证(iii)也不可能。由上面的讨论可知应选(C)。*4.设连续函数 f(x，y)满足 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 取一个满足题设全部条件的连续函数 f(x，y)=xy-(x-
9、y) 2-y2=3xy-x2-2y2，则 f(0，0)=0，f x(0，0)=0，f y(0，0)=0，且 A=lf“xx(0，0)=-2，B=f“ xy(0，0)=3，C=f“ yy(0，0)=-4，由于 B2-AC=9-8=10，故点(0，0)不是函数 f(x，y)的极值点，应选(A)。*5.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于函数*的定义域是(-，+)，故题没的曲线没有垂直渐近线。现将曲线 y 的表达式改写成*其中*故*，且当 x0 时 y=1+g(x)，其中*当 x0 时 y=1-2x+g(x)故题设的曲线当 x-时有方程为 y=1-2x 的斜渐近线，当 x+时有
10、方程为 y=1 的水平渐近线，即应选(C)。6.设随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(0，1)，则下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 EXY=0，则 X 与 Y 一定独立B.若 EXY=0，则 X 与 Y 一定不独立C.若 EXY0，则 X 与 Y 一定独立D.若 EXY0，则 X 与 Y 一定不独立 解析：分析 依题设条件 EXEY=0，如果 EXY0，则 cov(X，Y)=EXY-EXEY0，X 与 Y 一定不独立，应选(D)。如果 EXY=0，则 cov(X，Y)=0，X 与 Y 不相关；如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立；如果(X，Y)不服从二维正态分布，
11、则 X 与 Y 不独立，因此不能选(A)、(B)。7.设随机变量 X1，X 2，X n，相互独立， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 根据林德伯格一列维中心极限定理，如果 X1，X 2，X n相互独立同分布且期望、方差都存在，只有(C)满足该定理条件，因此应选(C)。8.下列有关极限的四个命题若 成立，则存在 M0，使得当|x|M 时 f(x)g(x)若存在 M0，使得当|x|M 时 f(x)g(x)成立，则若 ，则存在 M0，使得当|x|M 时 f(x)g(x)若 都存在，且存在 M0 使得当|x|M 时 f(x)g(x)成立，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析
12、 设*都有 f(x)g(x)成立，这表明命题的结论未必成立，由此可排除(A)，(D)。设 f(x)=1+sin2x，g(x)=0，则*不存在，这表明命题的结论未必成立，由此可排除(B)，因此应选(C)。事实上，命题与命题就是当 x时极限的保号性质。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)是单调减函数，满足 f(0)=1，若 F(x)是 f(x)的一个原函数，G(x)是 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -x）解析：分析 将恒等式 F(x)G(x)=-1 两端求导数，得F(x)G(x)+F(x)G(x)=0，把*代入上式并化简，有*分别积分可得 F(x)=C1e
13、x或 F(x)=C1e-x，求导数即得 f(x)=C1ex或 f(x)=-C2e-x，利用 f(0)=1，可确定由于C1=1，C 2=-1，于是 f(x)=ex或 f(x)=e-x，结合 f(x)是单调减函数，故可确定 f(x)=e-x。10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 因为*则*，且当 x：2+时对应 t：10，代入即得*11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由 F(x)在(-，+)上连续，且*由于 F(0)=0，又*因此，函数 F(x)的值域区间是*12.设 f(x，y)可微，且 fi(-1，3)=-2，f 2(-1，
14、3)=1，又 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-7dx+3dy）解析：分析 *=f1(-1，3)(2dx-dy)+f 2(-1，3)(-3dx+dy)=-7dx+3dy13.已知向量 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，-2) T， 1=(1，3，4) T， 2=(1，-1，a) T，且 1可以由 1， 2， 3线性表出， 2不能由 1， 2， 3线性表出，则 =_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：分析 据题意，方程组()x 1 1+x2 2+x3 3= 1有解，而方程组()x 1 1+x2 2+x3 3= 2无解，那么
15、对增广矩阵( 1， 2， 3* 1， 2)作初等行变换，有*可见当 a=-1 时方程组()有解，而方程组()无解。14.设试验的成功率 p=20%，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 =_。(1)=0.8413，(3)=0.9987)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.84）解析：分析 以 X 表示“100 次独立重复试验成功的次数”，则 X 服从参数为 n=100，p=0.20 的二项分布，且*根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知随机变量*近似服从分布 N(0，1)，于是*(3)-(-1)=(3)-1-(1)=0.9987
16、-0.1587=0.84，其中 (u)是标准正态分布函数。三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(利用洛必达法则与当 x0 时的等价无穷小关系*可得*注意到*从而*故*)解析：*16.求二元函数 f(x，y)=x4+y 4-2x2-2y2+4xy 的极值。（分数：9.00）_正确答案：(为求函数 f(x，y)的驻点，解如下方程组*得到三个驻点*，为判定这些驻点是否是极值点，再计算A=f“xx=12x2-4，B=f“ xy=4，C=f“ yy=12y2-4在驻点(0，0)处，由于 A=-40，B=4，C=-40，所以 AC-B2=0，故无法用充分
17、条件判断点(0，0)是否是f(x，y)的极值点，但由于在直线 y=x 上，f(x，x)=2x 4在 x=0 处取极小值；在直线 y=-x 上，f(x，-x)=2x4-8x2在 x=0 处取极大值，所以点(0，0)不是函数 f(x，y)的极值点。在驻点*处，由于 A=200，B=4，C=20，AC-B 20，故 f(x，y)在*处取得极小值*在驻点*处，由于 A=200，B=4，C=20，AC-B 20，故 f(x，y)在*处也取得极小值*)解析：17.计算二重积分 （分数：10.00）_解析：18.求函数 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 用分解法求 f(x)的展开式，先将 f(x
18、)分解，即*由*记*可得*从而 a0=0，a 1=a2=1，a 3=a4=2，a 5=a6=3，a 2n-1=a2n=n，代入即得 f(x)的麦克劳林展开式是f(x)=x+x2+2x3+2x4+3x5+3x6+nx2n-1+nx2n+(|x|1)解析：19.设函数 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=2，此外对任何 x(0，+)还满足（分数：10.00）_正确答案：(首先令 u=tx，则*代入题设条件(*)即知 f(x)满足*由上式可知当 x0 时 f(x)可导，将上式两端对 x 求导可得*于是函数 t=f(x)是一阶线性微分方程*满足初值 y(1)=2 的特解。用函数*(称此为微分方程
19、的积分因子)同乘方程的两端，可得*积分上式可得方程的通解 y=Cx2-6x2lnx，利用初值 y(1)=2 可确定常数 C=2，故函数 f(x)的表达式是 f(x)=2x2-6x2lnx。)解析：20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解。（分数：11.00）_正确答案：(由方程组 Ax= 的解的结构，可知r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3，且 1+2t 2+2 3+ 4=， 1-2
20、2+4 3=0因为 B=( 3， 2， 1，- 4)=( 3， 2， 1， 1+2 2+2 3)，且 1， 2， 3线性相关，而知秩r(B)=2。由*知(0，-1，1，0) T是方程组 Bx= 1- 2的一个解。又由*可知 (4，-2，1，0) T，(2，-4，0，1) T是 Bx=0 的两个线性无关的解故 Bx= 1- 2的通解是：(0，-1，1，0) T+k1(4，-2，1，0) T+k2(2，-4，0，1) T。)解析：*21.已知 （分数：11.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*得到 A 的特征值是 1=1-a， 2=a， 3=a+1由|(1-a)E-A|X=0，*得到属于
21、 1=1-a 的特征向量是 1=k1(1，0，1) T，k 10由(aE-A)x=0，*得到属于 2=a 的特征向量是 2=k2(1，1-2a，1) T，k 20由(0+1)E-Ax=0，*得到属于 3=a+1 的特征向量 3=k3(2-a，-4a，a+2) T，k 30。如果 1， 2， 3互不相同，即 1-aa，1-aa+1，aa+1，即*，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A可以相似对角化。若*此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化。若 a=0，即 1= 3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化。)解析：*设随机变量 X1与 X2相互独
22、立且都服从(0，)上的均匀分布，求下列随机变量的概率密度：（分数：11.00）(1).边长为 X1和 X2的矩形周长 L；（分数：5.50）_正确答案：(L=Y 1+Y2，根据两个独立随机变量之和的卷积分式，L 的概率密度为*由于只有当 0y 120，0-y 12 时，被积函数才不为零，如图(1)，于是*)解析：_解析：依题意，X i与 Yi=2Xi(i=1，2)的概率密度分别为*因 X1与 X2独立，故 Y1与 Y2也独立且(X 1，X 2)服从方形区域 D=(x1，x 2)|0x 1，0x 2022.设总体 X 的概率函数为（分数：11.00）_正确答案：(*由于我们不能用 EX 的初等函数将 表示出来，所以我们要再计算 X 的二阶矩*解方程*可得*于是 的矩估计量为*)解析：
