1、考研数学三-439 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：18，分数：72.00)1.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)02.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= ，f“(4)=6，则 g“(4)等于_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f“ + (a)
2、与 f“ - (a)都存在，则_（分数：4.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导4.下列命题成立的是_ A若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|x-x 0 | 内连续 B若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|x-x 0 | 内可导 C若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 D若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 （分数：4.00）A.B.C.D.5.则 f(x)
3、在 x=0 处_ （分数：4.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续6.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)可导，则下列正确的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列说法正确的是_ Af(x)在(a，b)内可导，若 Bf(x)在(a，b)内可导， Cf(x)在(-，+)内可导， Df(x)在(-，+)内可导， （分数：4.00）A.B.C.D.9.下列说法中正确的是_（分数：4.00）A.若 f“(x0)0，则 f(
4、x)在 x0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0-，x0)时，f(x)单调增加，当 x(x0，x0+)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值10.设 f(x)二阶连续可导， （分数：4.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点11.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域
5、内连续，且 ，又 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点12.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点13.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则_（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极
6、大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点14.下列说法正确的是_（分数：4.00）A.设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续B.f(x)在(a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点15.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为_（分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个
7、16.设 k0，则函数 （分数：4.00）A.O 个B.1 个C.2 个D.3 个17.曲线 （分数：4.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条18.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有_ （分数：4.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点二、解答题(总题数：6，分数：78.00)19.设 x=x(t)由 确定，求 （分数：13.00）_20.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点 （分数：
8、13.00）_21.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)=e x2+x+1 ，f(0)=3，求 “(3) （分数：13.00）_22.设 f(x)连续， （分数：13.00）_23.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)-2e x |(x-1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性 （分数：13.00）_24.设 （分数：13.00）_考研数学三-439 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：18，分数：72.00)1.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当
9、 x0 时有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0 B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(-x)=-f(x)，f“(-x)=f“(x)，f“(-x)=-f“(x)，即f“(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，选 A2.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= ，f“(4)=6，则 g“(4)等于_ A B C （分数：4.00）A.B.
10、C.D.解析：解析 因为3.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f“ + (a)与 f“ - (a)都存在，则_（分数：4.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续 C.f(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导解析：解析 因为 f“ + (a)存在，所以 存在，于是 4.下列命题成立的是_ A若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|x-x 0 | 内连续 B若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|x-x 0 | 内可导 C若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则
11、f(x)在 x 0 处可导，且 D若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x 0 0，因为 不存在，所以 f(x)在 x 0 处不连续，A 不对； 同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x 0 0，因为 f(x)在 x 0 处不连续，所以 f(x)在 x 0 处也不可导，B 不对； 因为 ，其中 介于 x 0 与 x 之间，且 存在，所以 也存在，即 f(x)在 x 0 处可导且 ，选 C； 令 显然 而 5.则 f(x)在 x=0 处_ （分数：4.00）A.不连续B
12、.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续 解析：解析 显然 f(x)在 x=0 处连续，因为 ，所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时， ，当x0 时， ，因为6.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 不对，如 ，但 f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导； B 不对，因为 存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在； C 不对，因为 而 ，所以 不一定存在，于是 f(x)在 x=1 处不一定右可导，也不一定可导； 由 7.设 f(x)可导，则
13、下列正确的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 f(x)=x，显然 ，A 不对，同理 =-，但 ，B 也不对；令 f(x)=x 2 ， ，但 =+，D 不对；若 ，则对任意的 M0，存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 f“(x)M，于是当 xX 0 时，f(x)-f(X 0 )=f“()(x-X 0 )，其中 (X 0 ，x)，即 f(x)f(X 0 )+M(x-X 0 )，根据极限的保号性，有 8.下列说法正确的是_ Af(x)在(a，b)内可导，若 Bf(x)在(a，b)内可导， Cf(x)在(-，+)内可导， Df(x)在(-，+)内可导， （分数
14、：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 当 时，f“(x)=0，其中 kZ，则 ，A 不对； 设 ，B 不对； 设 f(x)=x， ，但 f“(x)=1， 9.下列说法中正确的是_（分数：4.00）A.若 f“(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0-，x0)时，f(x)单调增加，当 x(x0，x0+)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解析 f“(0)=-10， 当 时，f“(x)0 f(x)在 x=0 的
15、任意邻域内都不单调减少，A 不对； f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，B 不对； 10.设 f(x)二阶连续可导， （分数：4.00）A.f(2)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 ，得 f“(2)=0，又由 ，则存在 0，当 0|x-2| 时，有11.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 ，又 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0
16、 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 得 g(0)=g“(0)=0，f“(0)=0， f“(x)=-4x+g(x)，f“(0)=0，f“(x)=-4+g“(x)，f“(0)=-40， 因为 ，所以存在 0，当 0|x| 时， 12.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析 因为 f(x)二阶连续可导，
17、且 ，所以 ，即 f“(0)=0又 ，由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，有13.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则_（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点解析：解析 由 f“(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=1-2f“(x)f“(x)，f“(0)=10，由极限保号性，存在0，当 0|x| 时，f“(x)0，再由 f“(0)=0，得14.下列说法正确的是_（分数：4.00）A.设 f(x)在 x0 二阶
18、可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续B.f(x)在(a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析 令 f“(0)=0，但 15.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为_（分数：4.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解析 因为 f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f“(a)(x-a)+ ，其中
19、介于 a与 x 之间而 =+，故16.设 k0，则函数 （分数：4.00）A.O 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析 函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 得 x=e，当 0xe 时，f“(x)0；当 xe 时，f“(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又17.曲线 （分数：4.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解析 因为 ，所以曲线 无水平渐近线； 由 ，得曲线 有两条铅直渐近线； 由 ，得曲线 18.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有_ （分数：4.00）A.两个极大点，
20、两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点 D.两个极大点，三个极小点，两个拐点解析：解析 设当 x0 时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当x0 时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f“(x)0，当 x(x 1 ，x 2 )时，f“(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大点；当 x(x 2 ，0)时，f“(x)0，则 x=x 2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3 )时，f“(x)0，则 x=0 为
21、 f(x)的极大点；当x(x 3 ，x 4 )时，f“(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f“(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选 C二、解答题(总题数：6，分数：78.00)19.设 x=x(t)由 确定，求 （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 将 t=0 代入 再由 e -u2 0 得 x=1， 两边对 t 求导得 ， 两边再对 t 求导得 将 t=0，x=1， 20.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定
22、y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点 （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 x 3 -3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 令 得 y=x 2 ，代入 x 3 -3xy+y 3 =3 得 x=-1 或 ， 因为 ，所以 x=-1 为极小点，极限值为 y=1； 因为 ，所以 为极大点，极大值为 21.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x)=e x2+x+1 ，f(0)=3，求 “(3) （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，而 f“(0)=e，所以 ， f“(x)=(2x+1)e x2+x+1 ，f“(0)=e， 因为 所以 22
23、.设 f(x)连续， （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 当 x=0 时， 则 因为 23.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)-2e x |(x-1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性 （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以|x-1|，得 而 24.设 （分数：13.00）_正确答案：()解析：解 当|x|1 时， ； 当 x1 时，y“=1；当 x-1 时，y“=-1； 由 得 y 在 x=-1 处不连续，故 y“(-1)不存在； 由 由 得 y“ + (1)=1， 因为 y“ - (1)y“ + (1)，所以 y 在 x=1 处不可导， 故
